高中必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)《10.2事件的相互獨(dú)立性》獲獎(jiǎng)?wù)f課教案教學(xué)設(shè)計(jì)。在本節(jié)中，我們將進(jìn)一步探討事件之間的關(guān)系，特別是相互獨(dú)立性。相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件之間互不影響的情況。通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，我們將學(xué)會(huì)如何判斷相互獨(dú)立事件，并進(jìn)行相關(guān)的概率計(jì)算。本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，而教學(xué)難點(diǎn)則在于與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計(jì)算。我們將通過(guò)多媒體教學(xué)的方式，幫助學(xué)生掌握這些概念和計(jì)算方法。在探究新知的過(guò)程中，我們將以拋硬幣為例，討論事件A和事件B之間的關(guān)系。通過(guò)計(jì)算P(A),P(B),P(AB)，我們發(fā)現(xiàn)積事件AB的概率恰好等于P(A)與P(B)的乘積，即P(AB)=P(A)P(B)。這表明兩個(gè)事件相互獨(dú)立。因?yàn)閮擅队矌欧謩e拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們將發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。具體來(lái)說(shuō)，我們將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使其能夠判定相互獨(dú)立事件；提高學(xué)生的邏輯推理能力，讓他們理解相互獨(dú)立事件與互斥事件的關(guān)系；加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，讓他們能夠進(jìn)行與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計(jì)算；同時(shí)，我們還將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)抽象能力，讓他們理解相互獨(dú)立事件的概念。思考2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1、2、3、4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異。采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球。設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”。事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？分析：對(duì)于試驗(yàn)2，因?yàn)槭怯蟹呕孛颍谝淮蚊虻慕Y(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率。我們分別計(jì)算P(A)、P(B)、P(AB)，看看它們之間有什么關(guān)系。樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}。因此，P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=4/16=1/4。于是也有P(AB)=P(A)P(B)。積事件AB的概率P(AB)也等于P(A)、P(B)的乘積。這是相互獨(dú)立事件的特點(diǎn)。相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A、B兩個(gè)事件，如果事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響（即P(AB)=P(A)P(B)），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。顯然：（1）必然事件Ω及不可能事件?與任何事件A相互獨(dú)立。（2）若事件A與B相互獨(dú)立，則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立：①A與B；②A與B；③A與B。例如，證①：AAA(BB)ABAB。通過(guò)具體問(wèn)題的事件分析，歸納出相互獨(dú)立事件的概念。根據(jù)前面的計(jì)算，我們可以得到P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)。而且AB與AB互斥，所以是相互獨(dú)立事件。1.判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件。①籃球比賽的“罰球兩次”中，事件A：第一次罰球，球進(jìn)了。事件B：第二次罰球，球進(jìn)了。是。②袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)白球，采取不放回的取球。事件A：第一次從中任取一個(gè)球是白球。事件B：第二次從中任取一個(gè)球是白球。是。③袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)白球，采取有放回的取球。事件A：第一次從中任取一個(gè)球是白球。事件B：第二次從中任取一個(gè)球是白球。不是。2.下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是：A．一枚硬幣擲兩次，A＝{第一次為正面}，B＝{第二次為反面}B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}C．?dāng)S一枚骰子，A＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}D．A＝{人能活到20歲}，B＝{人能活到50歲}答案：A解析：對(duì)于每次擲硬幣而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事件B受事件A的影響。3.拋擲一枚均勻的骰子一次，記事件A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B=“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系是：A.互斥B.相互獨(dú)立C.既相互互斥又相互獨(dú)立事件D.既不互斥又不相互獨(dú)立事件答案：B解析：因?yàn)锳={2,4,6}，B={3,6}，A∩B={6}，所以P(A)=3/6，P(B)=2/6，P(AB)=1/6，所以A與B相互獨(dú)立。通過(guò)實(shí)例分析，可以讓學(xué)生掌握相互獨(dú)立事件的判定及概率計(jì)算，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。注：互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同概念：兩個(gè)事件互斥是指這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響。相互獨(dú)立事件的判斷方法：1.定義法：P(AB)=P(A)P(B)2.直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個(gè)事件的發(fā)生是否相互影響。例如，一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異，采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立？因?yàn)闃颖究臻gΩ={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共有12個(gè)樣本點(diǎn)，A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,2),(2,1)}，所以此時(shí)P(AB)≠P(A)P(B)，因此，事件A與事件B不獨(dú)立。AB互斥，根據(jù)概率的加法公式和事件獨(dú)立性，得P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=(3/16)(4/9)+(1/16)(8/9)=7/36生更好地理解本文所涉及的概率知識(shí)。其中，第一段介紹了概率計(jì)算公式，并通過(guò)一個(gè)例子進(jìn)行了說(shuō)明。第二段講述了兩個(gè)鬧鐘的概率計(jì)算，通過(guò)公式計(jì)算得出兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.98。第三段則是一個(gè)比較題，通過(guò)計(jì)算得出三個(gè)臭皮匠中至少有一個(gè)人解出問(wèn)題的概率為0.835，大于諸葛亮解出問(wèn)題的概率0.8。最后一段總結(jié)了互斥事件和相互獨(dú)立事件的定義及其區(qū)別。習(xí)本節(jié)課程主要講解了概率公式和解決概率問(wèn)題的關(guān)鍵。在概率公式方面，我們學(xué)習(xí)了P(A+B)=P(A)+P(B)和P(AB)P(A)P(B)兩個(gè)公式。這些公式可以幫助我們計(jì)算復(fù)雜的概率問(wèn)題。在解決概率問(wèn)題方面，我們需要將復(fù)雜問(wèn)題分解為基本的互斥事件和相互獨(dú)立事件。這樣做可以讓我們更好地理解和解決問(wèn)題。為了判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，我們可以采用直接法