第第頁遼寧省鞍山市臺安縣高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）20222023學(xué)年度期末考試卷

高一數(shù)學(xué)

考試模塊：必修第三冊、第四冊

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作各，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題范圍：人教B版必修第三冊、第四冊。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）

A.B.C.D.

2.已知，，，則與的夾角是（）

A.B.C.D.

3.已知，，則（）

A.B.C.D.

4.設(shè)，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若，，，則B.若，，，則

C.若，，，則D.若，，，則

5.已知外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）

A.B.C.D.

6.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為（）

A.B.C.D.

7.如圖，小明想測量自己家所在樓對面的電視塔的高度，他在自己家陽臺M處，M到樓地面底部點(diǎn)N的距離為，假設(shè)電視塔底部為E點(diǎn)，塔頂為F點(diǎn)，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點(diǎn)P，且E，N，P三點(diǎn)共處同一水平線，在P處測得陽臺M處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽臺M處測得電視塔頂F處的仰角，假設(shè)，和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，則小明測得的電視塔的高為（）

A.B.C.D.

8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）

A.B.C.D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，且，則的值可能為（）

A.B.C.D.

10.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下列說法正確的是（）

A.若，則Z在第二象限

B.若為純虛數(shù)，則在虛軸上

C.若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為

D.若，且，則為實(shí)數(shù)

11.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列敘述正確的是（）

A.若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)

B.若，則為鈍角三角形

C.若不是直角三角形，則

D.若，則為等腰三角形

12.在棱長為1的正方體中，為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)（含邊界），則下列說法正確的是（）

A.隨著點(diǎn)移動，三棱錐的體積有最小值為

B.三棱錐體積的最大值為

C.直線與平面所成角的余弦值為

D.作體對角線的垂面，則平面截此正方體所得截面圖形的面積越大，其周長越大

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.

14.已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，頂點(diǎn)M在底面的射影恰為A點(diǎn)，且為等腰三角形，則四棱錐外接球的體積為______.

15.在矩形中，，，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)P，使得，，過M點(diǎn)作交于N點(diǎn)，若上存在一動點(diǎn)E，上存在一動點(diǎn)F，使得，則的最小值為______.

16.已知銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，，求與的數(shù)量積.

18.（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，O分別為上、下底的中心，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若三棱錐的體積為，求棱柱的側(cè)面積.

19.（本小題滿分12分）

已知，.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

20.（本小題滿分12分）

在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.

（1）求角A的大??；

（2）若，求的取值范圍.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若對，使得關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.

22.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，，，，O為的中點(diǎn)，P為上的動點(diǎn)，E在上，且滿足.現(xiàn)延長至D點(diǎn)，使得.

（1）若二面角的平面角為30°，求的長；

（2）若三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.

期末數(shù)學(xué)答案

1.B.故選B.

2.D設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所?故選D.

3.D，∵，∴.故選D.

4.B由于，m是不同的直線，，是不同的平面，若，，，則與m的位置關(guān)系不定，故A錯(cuò)誤；若，，，則與平行，故B正確；若，，，則與m的位置關(guān)系不定，故C，D錯(cuò)誤.故選B.

5.C由，知外接圓圓心O為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，如圖，又，所以為等邊三角形，所以，，向量在向量上的投影向量為.故選C.

6.C在正方體中，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)A作于F，連接，如圖，因平面平面，于是得平面，則的長即為點(diǎn)A到平面的距離，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，在中，，，即，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為.故選C.

7.A在中，，在中，，，故，由正弦定理，得，故，在中，.故選A.

8.C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則，由，，得，，若在上單調(diào)遞增，則解得即，，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍是.故選C.

9.AD因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱，所以，，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選AD.

10.BD對于A，，故，Z點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，故A錯(cuò)誤；對于B，若z為純虛數(shù)，則Z在虛軸上，故B正確；對于C，，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形是半徑為3的圓，面積為，故C錯(cuò)誤；對于D，，，則，故D正確.故選BD.

11.ABC對于A，由，則，又，知滿足條件的三角形只有一個(gè)，故A正確；對于B，，即，A為鈍角，故B正確；對于C，由不是直角三角形且，則，所以，故C正確；對于D，，由正余弦定理可得，則，所以或，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

12.BC對于A，為定值，故A錯(cuò)誤；

對于B，在正方體中，易知當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，三棱錐即的體積取最大值，，故B正確；對于C，根據(jù)題意作圖如下，在正方體中，易知，，因?yàn)?，所以平面，即，同理可得，因?yàn)?，所以平面，連接，，則為直線與平面所成角，在中，，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的余弦值為.故C正確；

對于D，如下圖，平面時(shí)，截面從A點(diǎn)到面過程中，截面面積和周長都越來越大；從面到面過程中，面積先變大后變小而周長不變；從面到過程中，面積和周長越來越小，D錯(cuò)誤.故選BC.

13.當(dāng)時(shí)，∵，則，由題意可得，∴.

14.如圖所示，在四棱錐中，頂點(diǎn)M在底面的射影恰為A點(diǎn)，則平面，底面是邊長為4的正方形，則球心為的中點(diǎn)，為等腰三角形，則，∴，∴，則四棱錐外接球的半徑為，其體積.

15.方法一：由題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，E，F(xiàn)分別在線段，上，設(shè)，，則，，所以，所以，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)或，，時(shí)，取等號，所以的最小值為.

方法二：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?

16.因?yàn)?，由余弦定理得，則，所以，又，所以，解得或，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，因?yàn)?，所以，，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以即所以，所以，所以，所以，，故.

17.解：（1）∵，，

∴，……1分

，……2分

∵，∴，……4分

解得.……5分

（2）由已知可得，，

∴.……10分

18.（1）證明：連接.

∵點(diǎn)O，E分別為，的中點(diǎn)，∴，

∵平面，平面，∴平面.……5分

（2）解：取中點(diǎn)，連接，.

∵E為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，且.……7分

∵，∴，

由菱形的性質(zhì)知，為邊長為2的等邊三角形.……8分

又平面，∴平面，，

∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

∴，……11分

∴，即.∴.……12分

19.解：（1）∵，

∴，解得.……5分

（2）∵，∴，且，

∴，

∴，……8分

∴，則，

∴，……10分

∵，∴.……12分

20.解：（1），

由余弦定理可得，

整理得，……2分

∴，

∵，∴，∴，∴.……5分

（2）由正弦定理得，∴，，

∴

.……8分

∵為銳角三角形，∴即∴，……10分

∴，∴，，

即的取值范圍為.……12分

21.解：（1）由所給函數(shù)圖象可知，，，即，所以，……3分

又圖象過點(diǎn)，所以，，

解得，，……5分

因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，

故.……6分

（2）若對于，關(guān)于x的不等式恒成立，

即對于，關(guān)于x的不等式恒成立，……8分

即對于，恒成立.

當(dāng)時(shí)，，

令時(shí)，為減函數(shù)，……10分

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即的最小值為，

故實(shí)數(shù)，所以m的最大值為.……12分

22.解：（1）據(jù)題意延長至D點(diǎn)，使得，連接，，，

取的中點(diǎn)M，連接，，

因?yàn)?，，O為的中點(diǎn)，所以，……1分

又∵，∴，，

所以為等邊三角形.所以，

易知，所以，所以，

所以為二面角的平面角，即.