2022年高考真題——數(shù)學(xué)（全國甲卷）（理科）1.若，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的除法答案：C解析：由，故選C.2.某社區(qū)通過公益講座以及普及社區(qū)居民的垃圾分類知識為了解講座效果，隨機抽取位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

?

則（

）A.

講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.

講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.

講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.

講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差知識點：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)方差與標(biāo)準(zhǔn)差極差與“平均距離”答案：B解析：對A選項，講座前問卷大題的正確率中位數(shù)，所以A錯誤；

對B選項，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為，所以B正確；

對C選項，講座前問卷答題的正確率數(shù)據(jù)波動要大于講座后問卷答題的正確率，故標(biāo)準(zhǔn)差也應(yīng)大于講座后的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯誤；

對D選項，講座前正確率的極差為，講座后正確率極差為，所以D錯誤，故選B.3.設(shè)全集，集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：并集一元二次方程的解集全集與補集答案：D解析：由，，所以，故選D.4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方系的邊長為，則該多面體的體積為（

）

A.

B.

C.

D.

知識點：三視圖分割法求體積棱柱、棱錐、棱臺的體積補形法求體積答案：B解析：由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積

故選B.5.函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A.

??B.

?C.

?D.

?知識點：函數(shù)奇、偶性的圖象特征函數(shù)奇、偶性的定義函數(shù)圖象的識別余弦（型）函數(shù)的奇偶性答案：A解析：設(shè)，，所以為奇函數(shù)，排除BD，令，則，排除C，故選A.6.當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)與最值答案：B解析：，由條件，得，所以，即，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得最大值，所以，故選B．7.在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）?A.

B.

與平面所成的角為

C.

D.

與平面所成的角均為知識點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì)直線與平面所成的角答案：D解析：如圖所示：

不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．

對于A，，，，A錯誤；

對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；

對于C，，，，C錯誤；

對于D，與平面所成角為，，而，所以.D正確．

故選D．8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的會圓術(shù)，如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，在上，.會圓術(shù)給出的弧長的近似值的計算公式：．當(dāng)，時，（

）

A.

B.

C.

D.

知識點：三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化答案：B解析：由條件得，為等邊三角形，有，，所以

，故選B．9.甲，乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和，若，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：圓錐的結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積與表面積圓柱、圓錐、圓臺的體積答案：C解析：如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為，甲，乙兩個圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則，，則，，由勾股定理，得，，所以，故選C．

10.橢圓的左頂點為，點，均在上，且關(guān)于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：橢圓的離心率橢圓的對稱性答案：A解析：橢圓的右頂點為，由于點，均在上，且關(guān)于軸對稱，所以直線，也關(guān)于軸對稱，即，所以，，故選A．

11.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A.

?B.

C.

D.

知識點：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值范圍簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值答案：C解析：依題意可得當(dāng)時，.函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點、兩個零點，結(jié)合的圖象可知解得即的取值范圍是故選.12.已知，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性輔助角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式正弦線與余弦線導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造問題利用函數(shù)單調(diào)性比較大小答案：A解析：法一：構(gòu)造法

構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，另一方面，，顯然在時，，所以，即，所以，故選A.

法二：放縮法

因為當(dāng)，

取得：，故，

，其中，且，

當(dāng)時，，即，

此時，，

故，故，

所以，所以，故選A.?????13.設(shè)向量的夾角的余弦值為，且，則

?知識點：數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的運算律向量的數(shù)量積的定義答案：解析：14.若雙曲線的漸近線與圓相切，則

?知識點：雙曲線的漸近線圓的一般方程直線和圓相切雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案：解析：雙曲線的漸近線方程為即.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以圓心坐標(biāo)為半徑.依題意，圓心到漸近線的距離解得或(舍去).15.從正方體的個頂點中任選個，則這個點在同一平面上的概率為

?知識點：古典概型的概率計算公式立體幾何中的四點共面、三點共線古典概型的應(yīng)用答案：解析：由古典概型計算公式可知，.16.已知中，點在邊上，，，當(dāng)取得最小值時，

?．知識點：余弦定理及其應(yīng)用一元二次方程的解集解三角形中的最值（范圍）問題利用基本不等式求最值答案：解析：法一：基本不等式

設(shè)，

則在中，，

在中，，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，

所以當(dāng)取最小值時，.

故答案為.

法二：判別式法

設(shè)，

則在中，，

在中，，

所以，

設(shè)，則,

若，則，（舍）

若，由方程有解得：??

即，解得，

所以的最小值是，此時，

所以當(dāng)?取最小值時，，即.17.記為數(shù)列的前項和已知.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值.知識點：數(shù)列的前n項和等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的定義與證明等比中項等差數(shù)列的前項和的應(yīng)用答案：(1)由于，變形為，記為①式，

又，記為②式，

①—②可得

即，所以是等差數(shù)列；(2)由題意可知，即，解得，所以

，其中，

則的最小值為.解析：(1)依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；(2)??????由（）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．18.在四棱錐中，底面，，，，

(1)證明：；(2)求與平面所成的角的正弦值.知識點：用空間向量研究直線與平面所成的角直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理答案：(1)∵底面，

∴，

取中點，連接，可知，

∵，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵，

∴為直角三角形，為斜邊，

∴，

∵，

∴平面，

∴.

(2)由（1）知，，，兩兩垂直，，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則

，，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

不妨設(shè)，則，

設(shè)與平面的所成角為，則

，

∴與平面的所成的角的正弦值為.解析：(1)略(2)略19.甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得分，負方得分，沒有平局三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為，，，各項目的比賽結(jié)果相互獨立(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望知識點：離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望相互獨立事件的概率答案：(1)記甲學(xué)校獲得冠軍為事件，

則

答：甲學(xué)校獲得冠軍的概率是.(2)的可能取值為，

則，

，

，

，

的期望值為解析：(1)略(2)略20.設(shè)拋物線的焦點為，點，過的直線交于兩點，當(dāng)直線軸時，.(1)求的方程；(2)設(shè)直線，與的另一個交點分別為，記直線，的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程.知識點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線直線與拋物線的綜合應(yīng)用圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)由題可知，當(dāng)時，，則

則可知，

則在中，

得，解得

則的方程(2)由拋物線的對稱性，不妨設(shè)在軸上方，設(shè)，由（1）可知

則

又三點共線，則，則，則

得，即

同理由三點共線可得

則

由題可知，直線斜率不為，不妨設(shè)

由

則，

則

要使最大，，?，，則最大，

?當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，即最大，此時

的直線方程為，即

又

則的直線方程為，即解析：(1)略(2)略21.已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，，則．知識點：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造問題導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移（雙變量問題）答案：(1)定義域為，，

令，所以時，單調(diào)遞減；

時，單調(diào)遞增；，要使得恒成立

即滿足：.(2)由（）知要使得有兩個零點，則，

假設(shè).要證明，即證明，又由于在單增，即證明.

下面構(gòu)造函數(shù)，

由于，又函數(shù)在單減，

.

，

時在單調(diào)遞增，而，

得證.解析：(1)略(2)略22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（是參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為，（是參數(shù)）.(1)寫出的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點的直角坐標(biāo)，及與交點的直角坐標(biāo).知識點：參數(shù)方程和普通方程的互化極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化答案：(1):，消去參數(shù)得?.(2):，兩邊同乘.

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