專業(yè)來自百分百的投入專業(yè)來自百分百的投入#-15PRM手冊-第三冊：風險管理實踐目錄導言第三卷前言：風險管理實踐HL0資本配置與RAPM111.0.1引言111.0.2經(jīng)濟資本111.0.3監(jiān)管資本111.0.4資本配置與風險分布111.0.5PAROC和風險調(diào)整后績效111.0.6小結與結論參考書目II[?A?1市場風險管理III.A.1.1引言III.A.1.2市場風險III.A.1.3市場風險管理模式III.A.1.4市場風險管理的組織架構III.A.1.5基金的風險管理III.A.1.6銀行的風險管理III.A.1.7非金融機構的分險管理III.A.1.8小結參考書目m.A.2在險價值模型概述III.A.2.1引言III.A.2.2VaR定義III.A.2.3市場風險資本的內(nèi)部模型III.A.2.4VaR模型分析III.A.2.5蒙特卡洛模擬III.A.2.6歷史模擬法III.A.2.7風險因子的映射III.A.2.8VaR模型的驗證III.A.2.9金融市場不服從正態(tài)分布的解釋III.A.2.10小結參考書目m.A.3高級VaR模型

III.A.3.1引言III.A.3.2標準分布假設III.A.3.3波動率聚類模型III.A.3.4波動率聚類與VaR的聯(lián)系III.A.3.5非正態(tài)分布的備擇方案III.A.3.6VaR的分解III.A.3.7主成分分析III.A.3.8小結參考書目III.A.4.1引言III.A.4.2歷史研究III.A.4.3研究理念III.A.4.4壓力測試在實踐中的運用III.A.4.5壓力測試的方法概述III.A.4.6歷史背景III.A.4.7假設前提III.A.4.8壓力測試的系統(tǒng)算法III.A.4.9極值理論III.A.4.10小結與結論.A.4壓力測試延伸閱讀參考書目II[?B?1信用風險管理IIIII.B.1.1引言III.B.1.2信用計劃表III.B.1.3其他模型III.B.1.4總結參考書目m.B.2信用風險建模基礎III.B.2.1引言III.B.2.2什么是違約風險？III.B.2.3暴露，違約和恢復的過程III.B.2.4信用損失分布III.B.2.5預期到的與未預期到的損失III.B.2.6恢復率III.B.2.7結論參考書目[?B?3信用暴露III.B.3.1引言III.B.3.2結算與結算風險III.B.3.3風險暴露狀況III.B.3.4暴露緩釋II參考書目IIIII.B.4.1違約概率和違約率的期限結構III.B.4.2信用評級III.B.4.3代理評級III.B.4.4信用計分表與內(nèi)部評級模型III.B.4.5市場隱含違約風險III.B.4.6信用評級與信用基差III.B.4.7小結[?B?4違約與信用緩釋參考書目.B.5信用損失的投資組合模型III.B.5.1引言III.B.5.2投資組合中驅動信用風險的因素III.B.5.3風險緩釋框架III.B.5.4條件交易概率：信用投資組合視角III.B.5.5度量信用風險的要求權法III.B.5.6KMV法III.B.5.7精算法III.B.5.8小結與結論參考書目m.B.6信用風險資本計算III.B.6.1引言III.B.6.2經(jīng)濟信用資本計算III.B.6.3監(jiān)管信用資本:巴塞爾協(xié)議IIII.B.6.4監(jiān)管信用資本:巴塞爾協(xié)議IIIII.B.6.5巴塞爾協(xié)議II：信用模型估計與有效性III.B.6.6巴塞爾協(xié)議II：證券化III.B.6.7經(jīng)濟信用資本的高級主題III.B.6.8小結與結論參考書目III.C?1操作風險管理框架343III.C.1.1引論III.C.1.2操作失靈實例III.C.1.3定義操作風險III.C.1.4操作風險類型III.C.1.5操作風險管理的目標和范圍III.C.1.6操作風險的關鍵組成部分III.C.1.7操作風險的監(jiān)管指導

III.C.1.8識別操作風險：風險目錄III.C.1.9操作風險評估流程III.C.1.10操作風險控制流程III.C.1.11一些最終的思考參考資料II.C.2操作風險流程模型III.C.2.1引論III.C.2.2總體流程III.C.2.3特殊工具III.C.2.4高級模型III.C.2.5操作風險管理框架的關鍵特征III.C.2.6綜合經(jīng)濟資本模型III.C.2.7管理措施III.C.2.8風險轉移III.C.2.9IT外包參考資料.C.3操作在險價值(Vaue-at-Risk)III.C.3.1損失模型方法III.C.3.2頻率分布III.C.3.3嚴重性分布III.C.3.4內(nèi)部評估法III.C.3.5損失分布法III.C.3.6操作風險資本加總III.C.3.7結論參考資料m?B?2信用風險建?；APhilippSchOnbucher111m.B.2.1導言本章介紹有關信用損失的三個基本組成部分：敞口、違約概率和回收率。每部分視為一個隨機過程，這就是說，其終值是個未知數(shù)。取而代之，每個值代表了一個隨機變量的概率分布。信用損失分布被界定為這三個分布的積。大型風險組合的信用損失分布可能相當復雜，并且我們將在第五章看到，許多先進的技術可以用于投資組合建模。本章我們僅介紹信用損失分布。III.B.2.2給出違約風險的確切定義，III.B.2.3和III.B.2.4介紹三個基本過程和信用損失分布。III.B.2.5詳細區(qū)分預期損失和非預期損失，III.B.2.6我們就一個信用風險組合詳細討論回收率，III.B.2.7總結和得出結論。什么是違約風險?違約風險是指對手未能履行義務的風險。這里所指的義務可以是付款義務，也可以是違約如果供應商沒有提供其承諾提供的零件或者合同方?jīng)]有給予承諾的服務。界于以上理解，違約風險到處可見，任何業(yè)務都會面臨各方不履行義務的風險。對金融機構來說，違約風險的最大和最重要的組成部分是指付款義務，例如貸款、債券、場外衍生品交易款項。拖欠付款的風險稱為信用風險尤其在涉及到貸款和債券的時候。我們作出以下區(qū)分：違約：沒有履行義務。拖欠付款：債務人沒有到期支付款項，這可以是：拒付：拒絕接受有效索賠。延期償付:宣布停止一段時間的支付款項，通常只有主權國家能夠這樣做。信用違約：借款違約（貸款和債券）無力償還：無力支付（即使只是暫時的）111D-MATH,ETHZUrich,Ramistrasse101,8092Zurich破產(chǎn)：啟動正式的法律程序，確保公平對待違約債務人的所有債權人。例如，債務人可能是：違約但并非拖欠付款（例如，如果他拖欠非金融債務）拖欠付款但并非無力償還（例如，他有能力支付但選擇不支付），以及違約但并非破產(chǎn)（例如，如果破產(chǎn)程序還沒有啟動或者沒有破產(chǎn)程序（例女口，如果債務人是主權國家））。嚴格來講，違約風險與其所涉及到的義務相關，債務人沒有理由不履行一項義務而履行另一義務。幸運的是，在大多數(shù)情況下，我們可以依賴于正常運作的法律制度，確保不做出這種選擇。違約債務的債權人有權訴諸于法院，然后法院會強制要求債務人履行義務（如果可行的話），或者，如果債務人基本無法做到這一點，將強制其進入正式的破產(chǎn)程序。破產(chǎn)程序是為了公平、有秩序地解決債權人的索賠，也可能是其他一些社會事項，譬如維護工作。破產(chǎn)程序的細節(jié)取決于當?shù)剡m用的破產(chǎn)法，并因國家的不同而有所差異。因此，破產(chǎn)法使我們可以考慮債務人的信用風險，而不僅僅是單個債務，我們將在下面介紹單個債務。m.B.2.3敞口、違約和回收步驟為了分析違約風險的組成部分，我們現(xiàn)在需要介紹一些符號。假設存在一個債務人集合I,其指標為1，???1。并且，為第i個債務人違約的時點。以下三個指標用以描述債務人i的信用風險。N（t）:違約指標。如果債務人i在時點t違約，則N（t）的值為1，而如果ii債務人i在時點t沒有違約，則N（t）的值為0。顯然，違約指數(shù)化過程的i完整路徑相當于債務人違約的時點路徑，但是我們常常只能了解部分情況（即債務人至今沒有違約）?；蛘呶覀儍H僅對部分事件感興趣（即在貸款到期日之前違約）。E（t）:敞口指標。債務人i在時點啲違約敞口（EAD）等于債務人i在時i點t的付款義務總額，如果在時點t違約，可能進入破產(chǎn)程序。敞口過程將在III.B.3.詳細講解。

L(t):債務人i在時點啲違約損失率(LGD)。LGD通常介于0到1之間，?i并且R(t)二1，L(t)是債務人的回收率，通常小于1,反映了在破產(chǎn)程序ii中，違約敞口的一定比例會得到回收。我們將在III.B.2.6更詳細地討論回收率。令p(T)為時點T之前，債務人i的個人違約概率(PD)。例如，如果1年違i約概率p(1)二0.01%，意味著該債務人在來年的某個時點有1/10000的幾率會違i約。利用這些過程，債務人在時點T之前的違約損失可以表示如下：違約損失=違約概率x違約敞口x違約損失率或者，用數(shù)學符號T表示債務人的違約時點，D(T)=N(T)E(x)L.((III.B.2.1)iiii對于固定的時間跨度T,違約指數(shù)N(T)是二進制變量(0/1)，我們可以通i過該變量捕捉到違約事件發(fā)生的風險，也就是，無論是否出現(xiàn)違約風險。采用固定額時間跨度T(通常為1年)是信用風險管理中的常見方法，但是，在許多案例中，這個時間跨度是不夠長的，并且也必須加以考慮違約的時間風險。II信用損失分布II信用損失分布對銀行而言，債務人的單次信用違約并非是很尋常的事件，即便是痛苦和不方便，這些事件都是正常業(yè)務過程中的一部分。如果敞口并不是很大的話，則可以使用正常營業(yè)的現(xiàn)金流來緩沖。但是當同時發(fā)生多次違約事件時(或者在很短的時間跨度內(nèi))，就會威脅到金融機構的生存。因此，信用風險管理師的主要任務是測度和控制整個信用投資組合的損失風險。舉例來說，假設信用損失之間具有相關性，則某一債務人違約更有可能會引起其他債務人違約。投資組合中也存在集中風險需要加以管理。我們利用單個違約損失的定義(III.B.2.1)，將投資組合在時點T的損失D(T)定義為單個信用損失D(T)的總和，其中i=1,...,1：iD(T)=工D(T)工N(T)-E(T)-L(t).(III.B.2.2)iiiii=1i=1我們可以預先知道單個信用損失D(T),因此，所有投資組合的損失D(T)是一個i隨機變量。該投資組合的信用損失分布是這個隨機變量的概率分布(見II.E)。F(x)=P[D(T).x](III.B.2.3)D(T)的分布中的最重要部分是各單個損失之間的獨立性。我們將在III.B.4提出一些比較常用的模型，顯示如何對違約相關性建模。這里，我們僅提及兩個重要問題：單個信用損失之間獨立的假設通常會導致嚴重低估該投資組合的信用風險。違約相關性參數(shù)通常會對損失分布的尾部產(chǎn)生重大影響，既而也會影響風險價值。圖m.B.2.1貸款組合損失的密度函數(shù)。垂直線表示平均損失(期望損失)，VaR(99%)以及VAR(99.9%)?圖III.B.2.1是在假設一個組合具有100個債務人，且每個債務人都有1千萬的敞口(即總額為10億的組合)后，得出的一個典型的信用組合的信用損失分布的密度函數(shù)，我們使用了CreditMetrics信用評估模型(見III.B.5.3),該模型假設每個債務人的無條件違約概率各不相同、回收率為50%且資產(chǎn)的相關性為20%。信用組合損失分布有幾個特點，能夠通過市場變量(例如股票、利率或者匯率)的“利潤和損失”分布(或者收益分布)將其區(qū)分開來：分布不對稱：上界有限(最可能的情況就是信用損失為0)，而下界可以無窮大。分布具有高偏度：小損失事件發(fā)生的概率大(比如圖III.B.2.1中的損失介于0至50之間)。同樣，有些事件我們也不太可能從歷史數(shù)據(jù)集觀測至【」。在圖III.B.2.1的例子中，損失少于6千萬的概率為80%。分布具有厚尾：意味著大損失概率減少速度非常緩慢，且VaR分位數(shù)偏離尾部相當遠。這點也可以從圖III.B.2.1看出。HLB.2.5預期損失和非預期損失在人們認為債務人違約風險是“沒有違約”時，就是說沒有損失，人們直觀地期望發(fā)生“標準情景”。如果我們單個考慮每個債務人（除非我們認為債務人的信用質(zhì)量極低），這確實是最有可能發(fā)生的情景。該情景也被頻繁地使用來處理會計問題：貸款或債務被記為名義價值（實質(zhì)上是假設零損失），并且僅當其陷入危機時才會貶值。一些機構的資本回報率仍然是采用此方法計算得出的。不幸的是，這是不成熟的機構導致我們誤入歧途的案例之一：’標準情景'不是單個債務人的損失的數(shù)學期望。如果我們假設敞口E和違約損失率L已知并ii且為常數(shù)，則期望損失是：E[D（T）]二p（T）-E-L豐0，（III.B.2.4）iiii這里，P（T）是指債務人的違約概率。i如果對單個債務人進行考慮，預期損失也許起先就和直覺相反，因為我們不會觀測到期望損失的實現(xiàn)：無論是沒有違約的債務人（實際損失將會為0）或是違約的債務人（實際損失將會比預期損失大得多）。這里有一個相關的技巧問題。下次您出門，如果下一個進入酒吧的人沒有達到以上平均腿數(shù)，則您得為您的朋友買一杯飲料。當然，如果那個人確實超過以上平均腿數(shù)，您的朋友會為您購買一杯飲料。如果下一個人有兩條腿，您將會贏得這次賭注：每個人的平均腿數(shù)必須略微少于2，因為總有那么一些不幸的人，這些人失去一條或兩條腿（但是沒有人會有兩條以上的腿）。同樣的道理也適用于信用債務人：大多數(shù)債務人會比預期的要表現(xiàn)得好（他們不會違約），但是也有些人比預期的要表現(xiàn)得更差。但是沒有人會表現(xiàn)得和預期一樣。通常來講，期望損失比較小（因為p很?。┑菫檎龜?shù)。在我們考慮多債務i人組合的時候，這些小誤差將會被累積起來。在1000個債務人的組合中，我們可以不再假設這些債務人都沒有違約。即便每個債務人僅有1%的違約概率，我們得預期可能會出現(xiàn)10次違約。在圖III.B.2.1中，第一條（最左邊）垂直線代表了組合的期望損失水平，大約為3500萬，也就是，組合名義價值的3.5%。當需要對業(yè)績進行度量，尤其是與風險調(diào)整資本回報率的計算有關時（見III.O)。期望損失非常重要。當貸款的預期收益(超過資金和行政管理成本的利潤)不足以彌補這筆貸款的預期損失時，將不會發(fā)放貸款。遭受期望損失并不是運氣不好：這應是你期望碰到的事情。因此，預期損失應能夠彌補組合的收益。而不需要資本準備金或介入風險管理過程。組合的預期損失是單個債務人的預期損失的和：112E[D(T)#￡E[D(T)](III.B.2.5)ii=1然而，這個簡單的求和對非預期損失是不成立的！非預期損失通常用VaR分位數(shù)和組合損失的概率分布來定義。我們假設D是組合的99%的VaR分位數(shù)，99%也就是，P[D(T)<D]=99%.99%然后，將組合在VaR(99%)分位數(shù)上的非預期損失定義為99%的分位水平和組合預期損失之間的差：UELD-E[D(T)](III.B.2.6)99%如果其他風險度量比如采用條件VaR，就要對(III.B.2.6)進行擴展。在這種情況下，利用一般風險度量代替非預期損失D。其他風險度量方法將在99%III.A.3.5.2詳細講解。起先，“非預期損失”可能會比較讓人迷惑，因為沒有考慮沒有預期到的損失，但是僅與最差情景有幾分象。最后，人們可能直觀地將非預期損失定義為組合的信用損失超過最初的預期損失的那部分總額：mA^DT-)EDT}],0(III.B.2.7)這里，我們將使用方程(III.B.2.6)中使用非預期損失，而不是(III.B.2.7)中的非預期損失。圖Ill.B.2.1用兩條垂直線分別表示VaR(99%)的和VaR(99.9%)，且這兩條垂直線與損失分布的尾部相交。VaR(99%)大約為1.6億，則非預期損失為1.6-0.35=1.25億。VaR(99.9%)約為2.2億，則非預期損失為1.85億。即便是99.9%的高水平VaR，非預期損失仍然大大少于10億的最大可能損失，最大可能損失是112由期望算子特性：E(X+Y)=E(X)+E(Y)得出，見II.E指所有組合都違約且回收率為0時產(chǎn)生的損失。這種效應源于組合的部分分散，除了資產(chǎn)的相關性為20%之外。和預期損失相反，非預期損失在敞口中不會相加。舉例來說，如果我們假設回收率為0,并且每個債務人的違約概率為3%,違約敞口為1,于是，每個債務人的VaR(99%)為1,其總敞口。但是每個債務人的大型投資組合的VaR(99%)不會超過該組合的總敞口(除非我們碰到所有債務人完全獨立的情況)。我們通常用非預期損失來確定需要提存多少資本準備金來防范組合信用風險。將所有資本準備金都用來防范組合的總損失風險在經(jīng)濟是上行不通的，如果重點是為了利用分散效應，則為相當高的分位水平的非預期損失提存準備金是可行和有效的。所以，非預期損失的覆蓋范圍在業(yè)務線的范圍之內(nèi)，但是通常由中央風險管理部門來管理非預期損失。然后風險管理部門對每個業(yè)務線收取風險管理費。典型的資本配置程序如下：1、確定信用損失的VaR分位數(shù)(通常為99%或99.9%)。該分位數(shù)反映了機構遭受信用損失后的期望存活率(這個概率可以從其具有針對性的信用評級中獲得)，這是一個最高管理決策。2、確定組合的預期損失。3、根據(jù)(III.B.2.6)確定組合的非預期損失。4、以非預期損失總額來對組合進行風險資本配置。5、根據(jù)組合的各成分對風險資本的貢獻，劃分組合的風險資本。組合的損失超過預期損失總額的部分由單個業(yè)務線來承擔(因為這些損失是經(jīng)濟損失)，但是超過預期損失的任何損失將會沖擊風險資本準備金。如果這些準備金不足以彌補所有損失，銀行不得不違約。但是通過設置初始VaR水平，該事件發(fā)生的概率是可以控制的。II正如我們在方程(III.B.2.1)和(III.B.2.4)所看到的，債務人的回收率(或者LGD)在根據(jù)違約概率確定違約損失或期望違約損失的過程中非常重要。然而，我們在很長一段時間都忽視了回收率的研究，而是將研究重點集中在違約事件和違約概率。部分原因是因為回收率的數(shù)據(jù)比違約事件的數(shù)據(jù)更離散且更不可靠。雖然我們期望債務人在任何法律環(huán)境（可能使違約事件不受法律體制的約束）中竭盡全力去避免破產(chǎn)，債務人違約時進入破產(chǎn)程序，而回收率與破產(chǎn)程序緊密相關。通常，在破產(chǎn)程序中，所有債權人應在破產(chǎn)法院登記法律索賠額。現(xiàn)在有一個明確界定的程序來確定法律索賠額，而無需反映索賠額的市場價值:舉例來說，我們僅考慮貸款或債券的名義金額（以及目前到期支付的利息），而不考慮債券實際的市場價值或未來支付的息票價值。如果利率因債券的發(fā)行而發(fā)生變化，這些價值也許非常重要。根據(jù)國際掉期及衍生產(chǎn)品總協(xié)議中的標準定義，場外交易的衍生品的法律索賠額通常是合同目前的重置價值，這里我們假設對手與其違約前的信用等級相同。然后按照優(yōu)先級（抵押品、優(yōu)先債、次級債等等）來進行索賠。同時，破產(chǎn)程序開始出現(xiàn)明顯的分歧：一些程序志在尋找一種方式來對對債權人進行重組，并使他們能夠再次獲得利潤（例如，第11章中美國的情況），而其他程序則是為了清算債務人的業(yè)務，采用破產(chǎn)程序來支付這些債務（例如，第7章中美國的情況）。這些債權人的最終所得一般首先取決于所選擇的破產(chǎn)程序，以及許多當事方之間的復雜談判。我們將在這里忽視這些因素的影響，只提醒讀者：由于對程序細節(jié)的依賴性非常強，很難比較各個國家之間的回收率。一般來講，任何破產(chǎn)程序都會解決具有相同索賠額的債權人之間的問題，并同等對待相同優(yōu)先級的債務，有擔保的債權人最先擁有其抵押品和公司的其他資產(chǎn)的索賠權，接下來是沒有擔保的債權人，股東最后才擁有索賠權，并且可能什么也得不到。如果債權人的索賠用現(xiàn)金來結算，回收率的定義相對來說比較明了：如果法律索賠額的每一美元獲得40美分的現(xiàn)金結算，然后回收率是40%，則LGD等于1-40%=60%。唯一的問題是決定是否將款項折回到實際的違約日（尤其是對大型的債務人來講，破產(chǎn)程序也許會花費幾年時間，且通常這個問題的回答是'是'），并且要決定是否應該減去法律費用（答案也為'是'）。不幸的是，現(xiàn)金結算方法往往比較罕見，更多的是部分采用現(xiàn)金結算（特別地，如果是債務人重組而并非業(yè)務清算），部分采用其他證券類型，比如股票、優(yōu)先股或債務人重組后的重組債務）。在這種情況下，確定結算價值往往幾乎不可能，特別是如果債務人在破產(chǎn)過程中從證券交易所的名單中被除名。由于這些原因，回收率的定義一般不會涉及到最終的結算方法。定義1（市場價值的回收）?；厥章适侵冈谶`約后短期（例如,1個月或3個月）內(nèi)，違約債務的每單位法律索賠額的市場價值。該定義與信用違約掉期（現(xiàn)金結算）中的回收率的確定方式不謀而合（見I.B.6）。通常是針對大型債務人的（比如，通過公共評級機構評級的債務人）。當考慮小型債務人時（例如，零售債務人和/或中小型企業(yè)），財困債務沒有市場價值，并且我們不得不直接對最終違約清償價值進行估價，將回收率定義為：定義2（清償價值的回收）?；厥章适侵冈跍p去法律費和行政管理費后，每單位法律索賠額折回到違約日的違約清償價值。根據(jù)以上討論，我們預期以下因素會直接影響到違約債的回收率：抵押品索賠的法律優(yōu)先級破產(chǎn)法（英國的立法往往對債權人非常友好，而法國和美國更多地對債務人友好，因此回收率比較低）。對于其他一些情況，實踐調(diào)查表明，較少見的因素非常重要（可參見tmanetal.,2001;Guptonetal.,2001;VandeCastleetal.,2001;RenaultandScaillet,2004）：債務人所在的行業(yè)。金融機構的回收率往往明顯異于（高于）工業(yè)企業(yè)的回收率。債務人業(yè)務的資本密集度越低，在破產(chǎn)時需要清算的財產(chǎn)就越少。舉例來說，網(wǎng)絡公司的回收率通常趨于0。違約前債務人的評級。相對于高評級等級的債務人突然違約來講，違約過程經(jīng)歷較長時間的債務人的資產(chǎn)較少有被清償用來支付給債權人。所在行業(yè)的其他債務人的平均等級和經(jīng)濟周期這個影響到債務人業(yè)務的清償價值和/或公司重組后的價值和發(fā)展能力。在經(jīng)濟衰退、行業(yè)周期性低潮或者生產(chǎn)力大量過剩時的回收率往往比較低。這些實證研究表明：事實上預測回收率有太多的不確定性。誤差邊際確實非常大。表III.B.2.1列出了回收率的估計值，以及美國不同優(yōu)先級公司債券的回收率的標準誤差。我們可以看出，平均標準誤差與回收率的均值具有相同的數(shù)量級。表ni.B.2.1：按索賠優(yōu)先級排序的回收率從風險管理角度來看，如果我們至少希望幾次違約后，平均估計誤差消失，則回收率的預測誤差不會太大。不好的是，回收率對商業(yè)周期的系統(tǒng)依賴摧毀了這個希望?；厥章室蕾囉谝粋€共同因素，因此相互之間存在聯(lián)系。尤其是我們會在經(jīng)濟衰退期經(jīng)歷2次打擊：首先，相比以往違約事件會更多；第二，回收率會降低。因此，我們在考慮經(jīng)濟衰退時，應加強信用風險模型中的回收率的假設。這一點可以通過表III.B.2.2來確認，表III.B.2.2給出了經(jīng)濟衰退期的不同階段的平均回收率。相比最近的低潮期（2001年和2002年），1982年到2000年期間（'長期平均'的代名詞）的回收率往往要高很多，違約事件也顯著增加。例如，無擔保的優(yōu)先級債務的長期平均回收率從43.8%減少至35.5%，2001/02衰退期為34.0%。表III.B.2.2違約債在不同時期的平均回收率（%）beta分布是回收率的常用數(shù)學模型。beta分布是隨機變量的分布，且隨機變量的值介于［0,1］，其概率密度為f（x）=c-xa（4xb）（III.B.2.8）這里a和b是beta分布的兩個不同參數(shù)，c是非標準化常數(shù)。通過選擇不同的a和b，可以得到不同形狀的回收率分布。我們可以直接用以下公式將beta分布中的參數(shù)擬合成數(shù)據(jù)集中的均值和方差：卩2（1卩）口,卩（1"a