第10學(xué)時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用第1頁1．幾類函數(shù)模型基礎(chǔ)知識梳理函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)第2頁2.三種增加型函數(shù)之間增加速度比較(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x一定范圍內(nèi)ax會(huì)不大于xn，但由于ax增加

xn增加，因而總存在一種x0，當(dāng)x＞x0時(shí)有

.基礎(chǔ)知識梳理快于ax＞xn第3頁(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)與冪函數(shù)y＝xn(n＞0)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)增加速度，無論a與n值大小如何總會(huì)

y＝xn增加速度，因而在定義域內(nèi)總存在一種實(shí)數(shù)x0，使x＞x0時(shí)有

.基礎(chǔ)知識梳理慢于logax＜xn第4頁由(1)(2)能夠看出三種增加型函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們增加速度不一樣，且不在同一種檔次上，因此在(0，＋∞)上，總會(huì)存在一種x0，使x＞x0時(shí)有

.基礎(chǔ)知識梳理ax＞xn＞logax第5頁三基能力強(qiáng)化答案：A第6頁2．一等腰三角形周長是20，底邊y是有關(guān)腰長x函數(shù)，它解析式為(

)A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)答案：D三基能力強(qiáng)化第7頁3．某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品構(gòu)造做了重大調(diào)整，調(diào)整后早期利潤增加迅速，后來增加越來越慢，若要建立恰當(dāng)函數(shù)模型來反應(yīng)該公司調(diào)整后利潤y與時(shí)間x關(guān)系，可選用(

)A．一次函數(shù)

B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù)

D．對數(shù)型函數(shù)答案：D三基能力強(qiáng)化第8頁4．一根彈簧原長15cm，已知在20kg內(nèi)彈簧長度與所掛物體重量成一次函數(shù)，現(xiàn)測得當(dāng)掛重量為4kg物體時(shí)，彈簧長度為17cm，問當(dāng)彈簧長度為22cm時(shí)，所掛物體重量應(yīng)為______kg.答案：14三基能力強(qiáng)化第9頁5．2023年12月18日，溫家寶總理代表中國政府在哥本哈根氣候變化會(huì)議上做出莊嚴(yán)承諾：2023年至2023年，中國單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放強(qiáng)度下降40%，則2023年至2023年二氧化碳排放強(qiáng)度平均每年減少百分?jǐn)?shù)為________．三基能力強(qiáng)化第10頁解析：設(shè)從2023年至2023年平均每年減少百分?jǐn)?shù)為x，則2023年排放量為(1－x)15，即(1－x)15＝0.4，解得x＝0.059.答案：5.9%三基能力強(qiáng)化第11頁1．現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題都是用分段函數(shù)表達(dá)，如出租車計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅等，分段函數(shù)是刻畫實(shí)際問題主要模型．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一分段函數(shù)模型第12頁課堂互動(dòng)講練2．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循規(guī)律不一樣，能夠先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量范圍，尤其是端點(diǎn)值．第13頁課堂互動(dòng)講練例1電信局為了配合客戶不一樣需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間x(分鐘)之間關(guān)系如圖所示(實(shí)線部分)(注：圖中MN∥CD)．試問：第14頁課堂互動(dòng)講練(1)若通話時(shí)間為2小時(shí)，按方案A、B各付話費(fèi)多少元？(2)方案B從500分鐘后來，每分鐘收費(fèi)多少元？第15頁【思緒點(diǎn)撥】根據(jù)圖建立話費(fèi)有關(guān)通話時(shí)間函數(shù)關(guān)系→結(jié)合解析式、圖形轉(zhuǎn)化處理→作答．課堂互動(dòng)講練【解】由題圖可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD，設(shè)這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)與通話時(shí)間函數(shù)關(guān)系分別為fA(x)，fB(x)，第16頁課堂互動(dòng)講練(1)通話2小時(shí)，即x＝120時(shí)，fA(120)＝116，fB(120)＝168.因此A、B兩種方案應(yīng)付話費(fèi)分別為116元、168元．第17頁(2)方案B每分鐘收費(fèi)就是fB(n＋1)－fB(n)(n＞500，n∈N*)，因此方案B從500分鐘后來，每分鐘收費(fèi)0.3元．課堂互動(dòng)講練第18頁課堂互動(dòng)講練第19頁課堂互動(dòng)講練互動(dòng)探究例1條件不變，顧客選用哪種方案更優(yōu)惠？解：由圖可知，當(dāng)0≤x≤60時(shí)，fA(x)<fB(x)；當(dāng)x>500時(shí)，fA(x)>fB(x)；當(dāng)60<x≤500時(shí)，fA(x)>fB(x)，第20頁課堂互動(dòng)講練第21頁二次函數(shù)是我們比較熟悉函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型能夠求出函數(shù)最值與范圍，處理實(shí)際中優(yōu)化問題，值得注意是一定要分析自變量取值范圍，利用二次函數(shù)配辦法通過對稱軸與單調(diào)性求解是這一類函數(shù)問題特點(diǎn)．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二二次函數(shù)模型第22頁課堂互動(dòng)講練例2今有一長2米、寬1米矩形鐵皮，如圖所示，在四個(gè)角上分別截去一種邊長為x米正方形后，沿虛線折起可做成一種無蓋長方體形水箱(接口連接問題不考慮)．第23頁課堂互動(dòng)講練(1)求水箱容積體現(xiàn)式f(x)，并指出函數(shù)f(x)定義域；(2)若要使水箱容積不大于4x3立方米同步，又使得底面積最大，求x值．第24頁【思緒點(diǎn)撥】可先根據(jù)長方體體積公式建立函數(shù)關(guān)系式f(x)，然后根據(jù)題目要求處理，但對自變量x取值范圍要考慮到使實(shí)際問題故意義．課堂互動(dòng)講練第25頁課堂互動(dòng)講練【解】

(1)由已知得該長方體形水箱高為x米，底面矩形長為(2－2x)米，寬(1－2x)米．∴該水箱容積為f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x3－6x2＋2x.第26頁課堂互動(dòng)講練第27頁課堂互動(dòng)講練第28頁【誤區(qū)警示】不能注意實(shí)際問題中定義域，只考慮x>0，而未考慮2－2x>0且1－2x>0.課堂互動(dòng)講練第29頁指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)應(yīng)用是高考一種重點(diǎn)內(nèi)容，常與增加率相結(jié)合進(jìn)行考查．在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增加、銀行利率、細(xì)胞分裂等增加問題能夠用指數(shù)函數(shù)模型表達(dá)，一般能夠表達(dá)為y＝N·(1＋p)x(其中N為本來基礎(chǔ)數(shù)，p為增加率，x為時(shí)間)形式．另外，指數(shù)方程常利用對數(shù)進(jìn)行計(jì)算，指數(shù)、對數(shù)在很多問題中可轉(zhuǎn)化應(yīng)用．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)模型第30頁課堂互動(dòng)講練例32023年10月1日，某都市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬，假如年自然增加率為1.2%，試解答下列問題：(1)寫出該都市人口總數(shù)y(萬人)與年數(shù)x(年)函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算23年后該都市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)．(1.01210＝1.127)第31頁【思緒點(diǎn)撥】先寫出1年后、2年后、3年后人口總數(shù)→寫出y與x函數(shù)關(guān)系→計(jì)算求解→作答．課堂互動(dòng)講練【解】為(1)1年后該都市人口總數(shù)y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)第32頁2年后該都市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后該都市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.…課堂互動(dòng)講練第33頁x年后該都市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)x.因此該都市人口總數(shù)y(萬人)與年數(shù)x(年)函數(shù)關(guān)系是y＝100×(1＋1.2%)x.(2)23年后人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬)．因此23年后該都市人口總數(shù)為112.7萬．課堂互動(dòng)講練第34頁【規(guī)律小結(jié)】

(1)年自然增加率＝(2)在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增加、銀行利率、細(xì)胞分裂等增加問題能夠用指數(shù)函數(shù)模型表達(dá)，一般能夠表達(dá)為y＝N(1＋p)x(其中N為本來基礎(chǔ)數(shù)，p為增加率，x為時(shí)間)形式．課堂互動(dòng)講練第35頁課堂互動(dòng)講練互動(dòng)探究例3條件不變，試計(jì)算(1)計(jì)算大約多少年后該都市人口將達(dá)成120萬人(精確到1年)；(2)假如23年后該都市人口總數(shù)不超出120萬人，年自然增加率應(yīng)控制在多少？解：(1)設(shè)x年后該都市人口將達(dá)成120萬人，即100×(1＋1.2%)x＝120，第36頁課堂互動(dòng)講練因此大約23年該都市人口將達(dá)成120萬人．(2)設(shè)年自然增加率為x，依題意有100×(1＋x)20≤120，由此得(1＋x)20≤1.20，由計(jì)算器計(jì)算得1＋x≤1.009，∴x≤0.9%.因此年自然增加率應(yīng)控制在不大于或等于0.9%.第37頁課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)四函數(shù)模型綜合應(yīng)用(解題示范)(本題滿分12分)有一種受到污染湖泊，其湖水體積為V立方米，每天流出湖泊水量等于流入湖泊水量，都為r立方米．現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能較好地混合．用g(t)表達(dá)某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)克數(shù)，我們稱其為在時(shí)刻t時(shí)湖水污染質(zhì)量分第38頁課堂互動(dòng)講練(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；第39頁(3)假如政府加大治污力度，使得湖泊所有污染停頓，那么需要通過多少天才能使湖水污染水平下降到開始時(shí)(即污染停時(shí))污染水平5%?課堂互動(dòng)講練第40頁【思緒點(diǎn)撥】

(1)水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)，即g(t)為常數(shù)函數(shù)；(2)污染程度越來越嚴(yán)重，即證明g(t)為增函數(shù)；(3)轉(zhuǎn)化為方程即可處理．課堂互動(dòng)講練第41頁課堂互動(dòng)講練第42頁課堂互動(dòng)講練第43頁∴g(t1)－g(t2)＜0，∴g(t1)＜g(t2)．故湖泊污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.8分(3)污染源停頓，即p＝0，此時(shí)設(shè)要通過t天能使湖水污染水平下降到開始時(shí)污染水平5%.即g(t)＝5%·g(0)，課堂互動(dòng)講練第44頁課堂互動(dòng)講練第45頁【名師點(diǎn)評】高考數(shù)學(xué)試題中聯(lián)系生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)際應(yīng)用問題，其創(chuàng)意新奇，設(shè)問角度獨(dú)特，解題辦法靈活，一般文字論述長，數(shù)量關(guān)系分散且難以把握．處理此類問題關(guān)鍵要認(rèn)真審題，確切理解題意，進(jìn)行科學(xué)抽象概括，將實(shí)際問題歸納為對應(yīng)數(shù)學(xué)問題，然后利用函數(shù)、方程、不等式等有關(guān)知識解答．課堂互動(dòng)講練第46頁課堂互動(dòng)講練高考檢閱(本題滿分10分)(2023年高考上海卷)有時(shí)可用函數(shù)第47頁課堂互動(dòng)講練描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識掌握程度，其中x表達(dá)某學(xué)科知識學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*)，f(x)表達(dá)對該學(xué)科知識掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān)．(1)證明：當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度增加量f(x＋1)－f(x)總是下降；第48頁(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)a取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時(shí)，掌握程度是85%，請確定對應(yīng)學(xué)科．課堂互動(dòng)講練第49頁課堂互動(dòng)講練而當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y＝(x－3)(x－4)單調(diào)遞增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)單調(diào)遞減．∴當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度增加量f(x＋1)－f(x)總是下降.5分第50頁課堂互動(dòng)講練第51頁常見函數(shù)模型理解1．直線模型，即一次函數(shù)模型，其增加特點(diǎn)是直線上升(x系數(shù)k＞0)，通過圖象能夠很直觀地結(jié)