#實數(shù)指數(shù)冪及其運算(I)教學設計課程名稱：3.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算(第一節(jié))教材分析：1.數(shù)系的擴充眾所周知，人類對于數(shù)的認識經歷了漫長的過程，從Z到Q，從Q到R，從R到C，乃至擴充到四元數(shù)等等。雖然每一次數(shù)的范圍的擴大往往伴隨著質疑，但隨著時間的發(fā)展，人們逐漸能夠接受越來越多的數(shù)，而且尋找到了許多新的數(shù)背后所蘊含的實際意義。數(shù)系擴充的動力主要包括兩個方面：生產生活的推動就本節(jié)課所涉及內容而言，指數(shù)模型是一種重要的數(shù)學模型，能較好的刻畫許多自然現(xiàn)象(如放射性元素的衰變)，在模型中變量t顯然是連續(xù)的，因此要求我們將指數(shù)推廣到實數(shù)范圍內。數(shù)學本身的推動許多數(shù)的出現(xiàn)都與方程有關(如負數(shù)，分數(shù)，復數(shù)等)，根式也不例外。當我們將數(shù)系擴充后，我們任然希望新的數(shù)系能較好的繼承原有數(shù)系的一些性質。事實上，如果我們假定指數(shù)運算拓展到實數(shù)范圍內后，仍然繼承下述性質：(1)am+n—am?a”(a>0，m,neR)2)當a>1時，若m>n，則am>an(a>0，m,neR)當a—1時，若m>n，則am—an(a>0，m,neR)當a<1時，若m>n，則am<an(a>0，m,neR)則指數(shù)an的定義是唯一的Cauchy法從Z到Q是非常重要的一步，這一步將一個疏集上定義的函數(shù)延拓到了一個稠密集上的函數(shù)，依靠的是<Q,+,?>是<Z,+,?>的分式環(huán)；從Q到R也是非常重要的一步，這一步將一個稠密集上的函數(shù)延拓到了一個連續(xù)集上的函數(shù)，依靠的是逼近的想法。這種方法即為Cauchy法.事實上，如果附加上連續(xù)性條件，我們可以得到許多函數(shù)的“特征性質”如：f(x)是正比例函數(shù)或零函數(shù)of(m+n)—f(m)?f(n),Vm,neRf(x)是指數(shù)函數(shù)或零函數(shù)of(m+n)—f(m)?f(n),Vm,neRf(x)是對數(shù)函數(shù)或零函數(shù)of(m?n)—f(m)+f(n),Vm,n>0f(x)是冪函數(shù)或零函數(shù)of(m?n)—f(m)?f(n),Vm,n>0指數(shù)運算和加法運算，乘法運算的區(qū)別乘法運算是連加法運算的推廣，指數(shù)運算是連乘法運算的推廣。但是同加法運算以及乘法運算相比，指數(shù)運算有一個非常大的區(qū)別，即一個冪的底數(shù)與指數(shù)的地位是不平等的。換言之，一般的ab豐ba因此盡管有冪指數(shù)對底數(shù)的分配律成立，即(a-b)=ac-b一般的，仍然有：abc豐ab-ac而這恰恰是學生的易錯點學情分析：初中階段，學生學習過整數(shù)指數(shù)冪，經歷了從正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推演過程，能較為熟練的運用整數(shù)指數(shù)冪的運算性質解題，但零次冪和負整數(shù)指數(shù)冪為何選用該方式定義則較模糊，不夠深刻。初中階段，學生學習過平方根運算和立方根運算，對于平方根和立方根運算相關性質掌握較好，易于接受高次方根的概念。本班是一個普通班，純數(shù)學的推導較為抽象，相對較難，從具體模型入手則相對容易。教學目標：知識與技能：1.了解指數(shù)模型的實際背景理解根式及有理指數(shù)冪的含義掌握有理指數(shù)冪的運算性質過程與方法：在解決簡單實際問題的過程中，體會有理指數(shù)冪的含義情感態(tài)度與價值觀：體驗數(shù)學與生產實踐的緊密聯(lián)系，提高數(shù)學應用意識教學重點、難點：教學重點：分數(shù)指數(shù)冪的概念和分數(shù)指數(shù)冪的運算性質教學難點：根式的概念及分數(shù)指數(shù)概念教學設計：一、課前閱讀：閱讀下述材料，回答問題衰變是放射性元素放射出粒子后變成另一種元素的現(xiàn)象。不穩(wěn)定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可變得較為穩(wěn)定，這個過程稱為衰變。放射性同位素衰變的快慢有一定的規(guī)律。例如，氡-222經過a衰變?yōu)獒?218，如果隔一段時間測量一次氡的數(shù)量級就會發(fā)現(xiàn)，每過3.8天就有一半的氡發(fā)生衰變。也就是說，經過第一個3.8天，剩下一半的氡，經過第二個3.8天，剩有1/4的氡；再經過3.8天，剩有1/8的氡因此，我們可以用半衰期來表示放射性元素衰變的快慢。放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變所需的時間，叫做這種元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差別非常大。例如，氡-222衰變?yōu)獒?218的時間為3.8天，鐳-226衰變?yōu)殡?222的時間為1620年，鈾-238衰變?yōu)殁Q-234的半衰期竟長達4.5x109年。設計意圖：創(chuàng)設問題情境問題一：現(xiàn)有一種新的放射性物質M,自然條件下每經過一年，剩余M的量為一年前的量的a倍。假設某時刻放射性物質M的量為1,則在自然條件下：1年后，剩余放射性物質M的量為多少？2年后，剩余放射性物質M的量為多少？3年后，剩余放射性物質M的量為多少？n年后，剩余放射性物質M的量為多少？為什么？問題二：現(xiàn)有一種新的放射性物質M，自然條件下每經過一年，剩余M的量為一年前的量的a倍。假設在自然條件下，放射性物質M放置了一段時間，剩余的量為1,貝V：若放置時間為1年，則1年前放射性物質M的量為多少？若放置時間為2年，則2年前放射性物質M的量為多少？若放置時間為3年，則3年前放射性物質M的量為多少？若放置時間為n年，則n年前放射性物質M的量為多少？為什么？問題三：根據前面的回答，填寫下表時間n年刖???2年前1年前今年1年后2年后???N年后量1設計意圖：復習整數(shù)指數(shù)冪的概念，重溫負整數(shù)指數(shù)冪生成過程二、問題引入問題四：前述表達中，n的取值范圍是什么？問題五：現(xiàn)有一種新的放射性物質M，自然條件下每經過一年，剩余M的量為一年前的量的a倍。假設某時刻放射性物質M的量為1,則在自然條件下：半年后，剩余放射性物質M的量為多少？為什么？一個月后，剩余放射性物質M的量為多少？為什么？一年半后，剩余放射性物質M的量為多少？為什么？設計意圖：結合具體模型為進一步引入有理指數(shù)冪及根式的概念作必要的準備三、概念形成：一般地，設a，b是實數(shù)，n為正整數(shù).若bn=a，則稱b為a的n次單位根.當n為奇數(shù)時，任何實數(shù)均恰有一個n次單位根，記作na；當n為偶數(shù)時，負數(shù)沒有n次單位根；0有唯一的n次單位根0；正數(shù)有兩個n次單位根，記作土n萬根式運算性質：/—a,n為奇數(shù)Van=<IaI,n為偶數(shù)問題六：觀察等式a2=\：'a3=(：'a)，an(其中m、n是正整數(shù))應該如何定義？設計意圖：引入正有理指數(shù)冪的概念m問題七：參考負整數(shù)次冪的實際意義，a-n(其中m、n是正整數(shù))有何實際意義？應

該如何定義？設計意圖：引入負有理指數(shù)冪的概念mm..問題八：為了對任意的整數(shù)m、n,an和a-n都有意義，應該對a的取值范圍補充哪些規(guī)定？設計意圖：強調底數(shù)的取值范圍.例1.用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式③4(a+b)3④3④3m2+n2⑤旦3y2設計意圖：有理指數(shù)冪形式與根式形式相互轉化例2.先將下列各式寫成根式形式，再求值TOC\o"1-5"\h\zi(64、一12①362②|642③273149丿1丄(1\3④100004⑤4-2⑥6—2I4丿設計意圖：體驗根式形式的優(yōu)點四、運算律：問題九：觀察等式：a2=(a1丿l(a3)2，a=al-a1，它們分別是初中階段哪條性質的I丿推廣？設計意圖：引入指數(shù)運算的性質問題十：結合模型，說明am+n=am?an的含義.設計意圖：闡明指數(shù)運算律的意義，幫助學生理解運算律.設a，b是任意正數(shù)，m，n是任意有理數(shù)，則：am+n=am?Qn，(flm)=Qmn，Qmbm=(ab)m例3.計算①a4-a3-a8②設計意圖：有理指數(shù)運算性質應用例4.計算①2邁-4'2-邁②設計意圖：體驗有理指數(shù)運算的優(yōu)點

五、課堂小結：本節(jié)課我們學習了分數(shù)指數(shù)冪的概念及與根式的關系本節(jié)課我們將指數(shù)運算性質從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)冪回顧數(shù)系的擴充，我們經歷了NtNtQ+J+ZtQtR回顧冪指數(shù)的擴充，我們經歷了NtNtQ+JJZQtR六、課后作業(yè)：課本90頁B組1、2題的偶數(shù)題三新（3.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算（一））板書設計：3.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算二、分數(shù)指數(shù)冪一、根式若xn=a板書設計：3.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算二、分數(shù)指數(shù)冪一、根式若xn=a（neN）+則x為a的n次方根若n為奇數(shù)，則x=naanm(a>0,m,neN,m既約)+nm1an=—man三、運算律aa-aP=aa+pCal=aa-p(ab》=aaba若n為偶數(shù)，則x=±na(a>0,m,neN,+教學反思：課堂實踐基本實現(xiàn)了課前預期.以應用背景為主線，貫穿本節(jié)課的教學，有效的克服了本節(jié)課的難點，使學生較易接受有理指數(shù)冪的概念，為后期進一步學習實數(shù)指數(shù)冪、指數(shù)函數(shù)，乃至對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)都提供了素材.學生在得到下述連等式時：a2=703=（/a）=ai-a2往往僅能關注到其中的一個或