第四章（2）剛體4-1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4-2轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4-3力矩功動(dòng)能定理1第1頁(yè)

平動(dòng)在剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,假如剛體上任意一條直線始終保持平行,這種運(yùn)動(dòng)就稱為平動(dòng)。可用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論。T5-0.exe轉(zhuǎn)動(dòng)在剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,假如剛體上所有點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng),那么這種運(yùn)動(dòng)就稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。T5-1.exe剛體

在任何情況下,其大小和形狀都不變化物體。平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)最基本形式。

一、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)(Translationandrotation)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)加繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體運(yùn)動(dòng)2第2頁(yè)在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中,假如轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng),稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。過(guò)剛體上任意一點(diǎn)并垂直于轉(zhuǎn)軸平面稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所有點(diǎn)都具有相同角速度和角加速度,在相同時(shí)間內(nèi)有相等角位移。不過(guò)位移、速度和加速度卻不相等。一般情況下,角速度和角加速度是矢量,但在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中它們方向沿著轉(zhuǎn)軸,能夠用帶正負(fù)號(hào)標(biāo)量來(lái)表達(dá)。二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(Fixed-axisrotation)3第3頁(yè)三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度角速度方向由右手定則確定。

角加速度剛體在Dt時(shí)間內(nèi)角速度增量Dw與Dt之比極限單位：Pd

rzxθ

角速度剛體在dt時(shí)間內(nèi)角位移dq與dt

之比。4第4頁(yè)、本來(lái)是矢量，由于在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中軸方位不變，故只有沿軸正負(fù)兩個(gè)方向，能夠用標(biāo)量替代。在剛體作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)公式如下：四、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式（

=衡量）ω1Dw>0

>0ω1Dw<0

<05第5頁(yè)五、剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中角量和線量關(guān)系T5-2.exe由定義得：

例1：設(shè)圓柱型電機(jī)轉(zhuǎn)子由靜止經(jīng)300s后達(dá)成18000r/min，已知轉(zhuǎn)子角加速度a

與時(shí)間成正比，求轉(zhuǎn)子在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)圈數(shù)。解：因角加速度隨時(shí)間而增大，設(shè)：=ct6第6頁(yè)對(duì)上式兩邊積分由條件知因此由角速度定義得到：轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)數(shù)：7第7頁(yè)設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度

轉(zhuǎn)動(dòng),各體元質(zhì)量分別為

m1,

m2,…,

mn,各體元到轉(zhuǎn)軸Oz距離依次是r1

,

r2

,

…

,

rn。

n個(gè)體元繞Oz軸作圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)能總和為：T5-3.exe一、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能(Rotationalkineticenergy)剛體動(dòng)力學(xué)8第8頁(yè)式中稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。代入動(dòng)能公式中,得到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一般體現(xiàn)式剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能在體現(xiàn)形式上是相同性。T5-3.exe

用J表達(dá)：9第9頁(yè)二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Momentofinertia)

從轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式看到,剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m相對(duì)應(yīng)。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性量度。在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中,剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性量度。若剛體質(zhì)量連續(xù)分布,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中求和號(hào)用積分號(hào)替代與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)原因：剛體質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸位置、剛體形狀。10第10頁(yè)

例1：一根質(zhì)量為m=1.0kg

、長(zhǎng)為l=1.0m均勻細(xì)棒,繞通過(guò)棒中心并與棒相垂直轉(zhuǎn)軸以角速度

=63rad

s-1

旋轉(zhuǎn),求轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

解：先求細(xì)棒對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,然后求轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek。將棒中點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系Oxy,取y軸為轉(zhuǎn)軸,如圖所示。在距離轉(zhuǎn)軸為x

處取棒元dx,其質(zhì)量為xdxxyo11第11頁(yè)根據(jù)式(5-4),應(yīng)有棒轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為T5-4.exe12第12頁(yè)兩個(gè)定理1.平行軸定理式中JC為剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,

m是剛體質(zhì)量，d是兩平行軸之間距離。2.垂直軸定理若z軸垂直于厚度為無(wú)限小剛體薄板板面,xy平面與板面重合,則此剛體薄板對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有如下關(guān)系13第13頁(yè)

解：兩平行軸距離,代入平行軸定理，得

例2：在上一例題中,對(duì)于均勻細(xì)棒,我們已求得對(duì)通過(guò)棒心并與棒垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為求對(duì)通過(guò)棒端并與棒垂直軸J。14第14頁(yè)·Roxy

例3：求質(zhì)量為m、半徑為R均質(zhì)薄圓盤對(duì)通過(guò)盤心并處于盤面內(nèi)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：盤質(zhì)量分布均勻,盤質(zhì)量面密度為

取半徑為r、寬為dr圓環(huán)如圖所示，其質(zhì)量為T5-5.exe圓盤對(duì)Oz軸(過(guò)O點(diǎn)垂直于紙面)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為rdr15第15頁(yè)根據(jù)垂直軸定理由于對(duì)稱性,,因此解得16第16頁(yè)三、力矩作功在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中,假如力矩作用使剛體發(fā)生了角位移,那么該力矩也作了功。由于dsi=rid

,

并且cos

i=sin

i

,因此假設(shè)作用于以z軸為轉(zhuǎn)軸剛體上多種外力分別是

在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中,外力

所作元功為17第17頁(yè)式中Mzi

是外力Fi

對(duì)轉(zhuǎn)軸Oz力矩。T5-6.exe

在整個(gè)剛體轉(zhuǎn)過(guò)d

角過(guò)程中，n個(gè)外力所作總功為式中是作用于剛體所有外力對(duì)Oz軸力矩代數(shù)和,也就是作用于剛體外力對(duì)轉(zhuǎn)軸合外力矩Mz。18第18頁(yè)假如剛體在力矩Mz

作用下繞固定軸從位置

1轉(zhuǎn)到

2,在此過(guò)程中力矩所作功為力矩瞬時(shí)功率能夠表達(dá)為式中

是剛體繞轉(zhuǎn)軸角速度。19第19頁(yè)

例：半徑為R光滑圓環(huán)上A點(diǎn)有一質(zhì)量為m小球，從靜止開始下滑，若不計(jì)摩擦力，求小球達(dá)到B點(diǎn)時(shí)角動(dòng)量和角速度。

解：小球受重力矩作用θABPR20第20頁(yè)四、動(dòng)能定理

(theoremofkineticenergy)根據(jù)功能原理,外力和非保守內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)作總功等于系統(tǒng)機(jī)械能增量。對(duì)于剛體一切內(nèi)力所作功都為零。對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,外力功即為外力矩所作功;系統(tǒng)機(jī)械能為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。將轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能詳細(xì)形式代入上式并積分,得21第21頁(yè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,外力矩作功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量。這就是作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能定理。五、轉(zhuǎn)動(dòng)定理

(Theoremofrotation)T5-7.exe將力矩作功和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能詳細(xì)形式代入式子得22第22頁(yè)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,剛體相對(duì)于某轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積,等于作用于剛體外力相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸協(xié)力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)定理和牛頓第二定律在數(shù)學(xué)形式上是相同,合外力矩與合外力相對(duì)應(yīng),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量相對(duì)應(yīng),角加速度與加速度相對(duì)應(yīng)。m反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)慣性，J反應(yīng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。或者寫為上式就是轉(zhuǎn)動(dòng)定理數(shù)學(xué)體現(xiàn)式。23第23頁(yè)a

[例]定滑輪可視為均勻圓盤，物體與桌面間滑動(dòng)摩擦系數(shù)為繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸摩擦忽視。1)下落加速度

2)繩中張力24第24頁(yè)[例]可視為均勻圓柱體兩個(gè)滑輪同軸固結(jié)在一起，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可加25第25頁(yè)ocmg[例]均勻米尺繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)1)剛釋放米尺角加速度2)豎直位置角加速度3)任意位置角加速度,加速度26第26頁(yè)[例]已知：均勻直桿m，長(zhǎng)為l，初始水安靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺q角后，角速度w=?軸對(duì)桿作用力vN=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

則：

12402Jmglowq-=sin

(1)27第27頁(yè)

由平行軸定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()

(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)28第28頁(yè)algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq

(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()29第29頁(yè)[例]板靜止于光滑臺(tái)面圖示位置，在恒力作用下使之與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)通過(guò)輪子，忽視軸摩擦。1)板在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與輪間摩擦力2)板與輪脫離接觸時(shí)速率30第30頁(yè)設(shè)剛體繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，體元

mi對(duì)軸角動(dòng)量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量

Lz等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度乘積。一、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量(Angularmomentum)riviOiz·

mi

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量守恒定律31第31頁(yè)二、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量定理將轉(zhuǎn)動(dòng)定理Mz=Ja

寫成下面形式:試驗(yàn)表白,此式更具普遍性。由上式得到

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量時(shí)間變化率，等于剛體相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸所受外力協(xié)力矩。32第32頁(yè)角動(dòng)量定理也能夠?qū)憺?/p>

Mz

dt稱為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體時(shí)間乘積?？梢?，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受沖量矩等于剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量增量。對(duì)上式積分得到角動(dòng)量定理積分形式

33第33頁(yè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒定律當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸協(xié)力矩為零時(shí),剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量不隨時(shí)間變化。剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化,角速度大小也同步變化但二者乘積保持不變?；蚝懔吭诙ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)中,假如Mz=0,則三、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒定律34第34頁(yè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒是經(jīng)常能夠見到，如人手持啞鈴轉(zhuǎn)動(dòng),芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員作多種迅速旋轉(zhuǎn)動(dòng)作,都利用了對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒定律。T5-10.exe

35第35頁(yè)

若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，

當(dāng)Mz外=0時(shí)，Jconst.iziw=?，這時(shí)角動(dòng)量可在內(nèi)部傳遞。[例]如圖示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬間盤w0=？

P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)36第36頁(yè)碰撞

t

極小，對(duì)m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可忽視，角動(dòng)量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對(duì)m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：P、x重合時(shí)EP=0。令1mgRJ