能控性和能觀(guān)性

在現(xiàn)代控制理論中，能控性和能觀(guān)性是兩個(gè)重要的概念，它是卡爾曼(Kalman)在1960年提出的，是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。能觀(guān)性針對(duì)的是系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中的狀態(tài)x的能觀(guān)測(cè)性，它反映系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)x（通常是不可以直接測(cè)量的）被系統(tǒng)的輸出量y(t)（通常是可以直接測(cè)量的）所反映的能力。能控性嚴(yán)格上說(shuō)有兩種，一種是系統(tǒng)控制輸入u(t)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)x(t)的控制能力，另一種是控制輸入u(t)對(duì)系統(tǒng)輸出y(t)的控制能力。但是一般沒(méi)有特別指明時(shí)，指的都是狀態(tài)x的能控性。能控性和能觀(guān)性在現(xiàn)代控制理論中，能控性和能觀(guān)11.能控性的定義線(xiàn)性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義在有限時(shí)間段[t0,tf]內(nèi),通過(guò)改變u，若能使x,由任意初態(tài)

x(t0)轉(zhuǎn)移到終態(tài)x(tf)＝0，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。反之，只要有一個(gè)狀態(tài)不能控，就稱(chēng)系統(tǒng)不能控。若在有限時(shí)間[t0,tf]內(nèi),通過(guò)改變u，能使x,由初態(tài)x(t0)＝0轉(zhuǎn)移到終態(tài)x(tf)為任意值，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)。x3x1x20x(t0)x(tf)x3x1x20x(t0)x(tf)1.能控性的定義線(xiàn)性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義在有22.能觀(guān)性定義

在有限的時(shí)間段[t0，tf]內(nèi),通過(guò)觀(guān)測(cè)y能唯一確定系統(tǒng)全部初始狀態(tài)

x(t0)，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀(guān)測(cè)的。

若在有限時(shí)間段[t0，tf]內(nèi),通過(guò)觀(guān)測(cè)y能唯一確定系統(tǒng)全部終端狀態(tài)

x(tf)，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能檢測(cè)的。對(duì)線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)，能觀(guān)性與能檢性是完全等價(jià)的。2.能觀(guān)性定義在有限的時(shí)間段[t0，tf]內(nèi),33.能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型一.單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型1.能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型3.能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型一.單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型1.能控4將系統(tǒng)變成能控Ⅰ型其中將系統(tǒng)變成能控Ⅰ型其中5能控和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型課件6

【例3-12】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型【例3-12】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型7能控和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型課件82.能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型將系統(tǒng)變成能控Ⅱ型2.能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型將系統(tǒng)變成能控Ⅱ型9其中其中10【例3-13】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型【例3-13】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型11計(jì)算計(jì)算12二.單輸出系統(tǒng)的能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型1.能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型若S(A

bC)是能觀(guān)的,則通過(guò)

將S(A

bC)化為能觀(guān)Ⅰ型二.單輸出系統(tǒng)的能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型1.能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型若S(Ab13能控和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型課件14【例3-14】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型【例3-14】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型15和例3-13求得的能控Ⅱ型相比較,可知兩者之間互為對(duì)偶。能觀(guān)Ⅰ型和例3-13求得的能控Ⅱ型相比較,可知兩者之間16能觀(guān)Ⅰ型與能控Ⅱ型相對(duì)偶能控Ⅱ型能觀(guān)Ⅰ型能觀(guān)Ⅰ型與能控Ⅱ型172.能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型其中若S(Ab

C)是能觀(guān)的,則通過(guò)將S(A

b

C)化為能觀(guān)Ⅱ型2.能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型其中若S(AbC)是18能觀(guān)Ⅱ型與能控Ⅰ型相比較,可知兩者之間互為對(duì)偶。能觀(guān)Ⅱ型與能控Ⅰ型相比較,可知兩者之間互為對(duì)偶。19和能控Ⅰ型一樣，根據(jù)能觀(guān)Ⅱ型，也可直接寫(xiě)出傳遞函數(shù)：和能控Ⅰ型一樣，根據(jù)能觀(guān)Ⅱ型，也可直接寫(xiě)出傳20例3-14試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型例3-14試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型21直接寫(xiě)出計(jì)算能觀(guān)Ⅱ型和例3-12求得的能控Ⅰ型相比較,可知兩者之間互為對(duì)偶。直接寫(xiě)出計(jì)算能觀(guān)Ⅱ型和例3-12求得的能控Ⅰ型22能控Ⅰ型能觀(guān)Ⅱ型能觀(guān)Ⅰ型與能控Ⅱ型相對(duì)偶能控Ⅰ型與能觀(guān)Ⅱ型相對(duì)偶能控Ⅰ型能觀(guān)Ⅱ型能觀(guān)Ⅰ型234.傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題一.實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的基本概念對(duì)于給定的傳遞函數(shù)陣W(s)，若有一狀態(tài)空間表達(dá)式S：使其滿(mǎn)足

則稱(chēng)該狀態(tài)空間表達(dá)式S為傳遞函數(shù)陣W(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。4.傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題一.實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的基本概念使其滿(mǎn)足24(1)傳函陣W(s)中的每個(gè)元Wik(s)(i=1,2‥m;k=1,2‥,r)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。(2)

W(s)中的每個(gè)元素Wik(s)均為s的真有理分式,n≥m當(dāng)n>m時(shí)，對(duì)應(yīng)D=0當(dāng)n=m時(shí),對(duì)應(yīng)根據(jù)嚴(yán)格真有理分式傳遞函數(shù)陣C(sI

-A)-1B=W(s)-

D尋求形式為S(A,B,C)的實(shí)現(xiàn)。需指出,并不是任意一個(gè)W(s)陣都能找到實(shí)現(xiàn)，它必須滿(mǎn)足物理可實(shí)現(xiàn)條件，即(1)傳函陣W(s)中的每個(gè)元Wik(s)(i=1,2‥m;25將W(s)化為嚴(yán)格的真有理分式。解根據(jù)式(3-126)得將W(s)化為嚴(yán)格的真有理分式。解根據(jù)式(3-1226二.系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)1.單變量系統(tǒng)二.系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)1.單變量系統(tǒng)27其能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)其能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)282.多變量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)對(duì)具有個(gè)r輸入和m個(gè)輸出的多變量系統(tǒng)，可把m×r

維的傳遞函數(shù)陣W(s)寫(xiě)成和單變量系統(tǒng)相類(lèi)似的形式，即分母多項(xiàng)式—該傳遞函數(shù)陣的特征多項(xiàng)式。2.多變量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)對(duì)具有個(gè)r輸入29能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)30能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)31例3-18試求的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)例3-18試求的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)32r=2m=2n=33.將系數(shù)代入式(3-128)～(3-130),得能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)r=2m=2n=33.將系數(shù)代入式33能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)344.能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)4.能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)35三.最小實(shí)現(xiàn)1.定義設(shè)W(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為(3-134)如果W(s)不存在其它實(shí)現(xiàn)(3-135)三.最小實(shí)現(xiàn)1.定義(3-134)如果W(s)不存在其362.尋求最小實(shí)現(xiàn)的步驟(1)先求W(s)的能控標(biāo)準(zhǔn)型(或能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型)實(shí)現(xiàn),(若r<m采用能控實(shí)現(xiàn);若m<r采用能觀(guān)實(shí)現(xiàn))。再判斷其能觀(guān)性(或能控性),若為能控又能觀(guān),則S(A

BC)便是最小實(shí)現(xiàn)。(2)否則的話(huà),對(duì)以上S(A

BC)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,找出既能控又能觀(guān)的子系統(tǒng),從而得到最小實(shí)現(xiàn)。2.尋求最小實(shí)現(xiàn)的步驟(1)先求W(s)的能控標(biāo)準(zhǔn)型(或能觀(guān)37m<r采用能觀(guān)實(shí)現(xiàn)Anm=3,

若用能控Anr=6【例3-19】試求W(s)的最小實(shí)現(xiàn)。m<r采用能觀(guān)實(shí)現(xiàn)Anm=3,若用能控Anr38能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)m=1n=3能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)m=1n39【例3-20】試求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。解1.先將W(s)化為嚴(yán)格的真有理分式,并寫(xiě)出能控標(biāo)準(zhǔn)型。r=2m=2n=3【例3-20】試求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。解1.先將40由例3-18，得能控標(biāo)準(zhǔn)型由例3-18，得能控標(biāo)準(zhǔn)型41,所以該能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)不是最小實(shí)現(xiàn)。為此必須按能觀(guān)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。3.根據(jù)式(3-114)構(gòu)造變換陣,將系統(tǒng)按能觀(guān)性進(jìn)行分解。2.判斷能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)是否完全能觀(guān)測(cè)。,423.根據(jù)式(3-114)構(gòu)造變換陣,將系統(tǒng)按能觀(guān)性進(jìn)行分解。取3.根據(jù)式(3-114)構(gòu)造變換陣,將系統(tǒng)按能43于是得變換后的各矩陣于是得變換后的各矩陣44經(jīng)檢驗(yàn)，是能控且能觀(guān)的子系統(tǒng)，因此W(s)的最小實(shí)現(xiàn)為:據(jù)上列Am,

Bm,

Cm,

D求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣，則可檢驗(yàn)所得結(jié)果。經(jīng)檢驗(yàn)，是能控且454.檢驗(yàn)所得結(jié)果當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)等于W(s)陣的階數(shù)時(shí)，稱(chēng)該系統(tǒng)為W(s)的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)。4.檢驗(yàn)所得結(jié)果當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)等于W(s)陣的46§3-10能控性、能觀(guān)性與傳遞函數(shù)陣的關(guān)系單輸入單輸出系統(tǒng)S(A,b,C)定理：系統(tǒng)S(A,b,C)能控又能觀(guān)的充要條件是W(s)中沒(méi)有零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)消。由上述定理可得以下兩個(gè)結(jié)論:(1)W(s)表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀(guān)的那一部分子系統(tǒng)。(2)W(s)中若有零、極點(diǎn)對(duì)消，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控,或是不能觀(guān);或是