專題三壓軸解答題第一關(guān)以立體幾何中探索性問題為背景的解答題【名師綜述】利用空間向量解決探索性問題立體幾何中的探索性問題立意新穎，形式多樣，近年來在高考中頻頻出現(xiàn)，而空間向量在解決立體幾何的探索性問題中扮演著舉足輕重的角色，它是研究立體幾何中的探索性問題的一個(gè)有力工具，應(yīng)用空間向量這一工具，為分析和解決立體幾何中的探索性問題提供了新的視角、新的方法.下面借題”發(fā)揮，透視有關(guān)立體幾何中的探索性問題的常見類型及其求解策略，希望讀者面對(duì)立體幾何中的探索性問題時(shí)能做到有的放矢，化解自如.1.以“平行”為背景的存在判斷型問題典例1如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，ZBCD=600，PA丄平面ABCD，E是AB求證：平面PDE丄平面PAB;棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF//平面PDE?若存在，確定F的位置并加以證明；若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)連接BD，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，上BCD=60°，所以AABD為正三角形.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以DE丄AB因?yàn)镻A丄面ABCD,DEu面ABCD，?:DE丄PA因?yàn)镈E丄AB，DE丄PA，ABnPA=A所以DE丄面PAB又DEu面PDE，所以面PDE丄面PABGAGA(2)當(dāng)點(diǎn)F為尸C的中點(diǎn)時(shí)，BF//面刃曲.事實(shí)上，取尸C的中巨F,PD的中點(diǎn)G」連結(jié)FG」GE、TFG為三角形戸仞的中位線，：.FG//CD且丄CD」7又在菱形￡3<?。中」應(yīng)為且&的中點(diǎn)‘:.BE//CDS.SE二丄匸口，7.4:.FG//且FG=3E?所以,四邊形SEGF為平行四邊形?所以BF〃GE又GEu面PDE，BF@面PDE???BF〃面PDE，結(jié)論得證.學(xué)—【名師指點(diǎn)】本題是直線和平面平行的存在性問題，這種問題可以利用空間直角坐標(biāo)系，通過建系設(shè)點(diǎn)，利用空間向量求解，如果利用傳統(tǒng)立體幾何的方法，就需利用分析法，利用直線和平面平行的性質(zhì)定理尋求點(diǎn)的位置.【舉一反三】如圖所示，在四棱錐八4中，四邊形心；是正方形，點(diǎn)'「‘分別是線段n：的中點(diǎn).

求證線段⑷上是否存在一點(diǎn)”，使得面面V,若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)門并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】證明：由四邊形皿「二；為正方形可知，連接譏:必與相交于中點(diǎn)丁故n；?.?：，；■匸面'■■■■.???：「面皿線段"■■上存在一點(diǎn)廠滿足題意，且「點(diǎn)廠是"■■中點(diǎn)理由如下：由點(diǎn)；二分別為匸「門中點(diǎn)可得：GH||EB||AD匕面'm???^面兒江由(1)可知，匚廠面江「且川■■故面11面譏；類型2以“垂直”為背景的存在判斷型問題典例2如圖，在四棱錐」?：'一中，四邊形V’為平行四邊形，―:小為小中點(diǎn)，P—(1)求證:打、平面【解析】【解析】(I)證明：在三棱柱1中,(2)若T川是正三角形，且3.([)當(dāng)點(diǎn)叮在線段I'上什么位置時(shí)，有；'l'：-平面V?仃I)在(I)的條件下，點(diǎn)'在線段上什么位置時(shí)，有平面UI平面Lb?【解析】⑴證明：連接竺RD,"創(chuàng)』因?yàn)檠汴狡叫兴倪呅巍粍tD為肚中為連接叫又=E対PC中點(diǎn),aGE//PA.OEc面?^PA住面EBD+iAP//平面EBD⑵解1I)當(dāng)點(diǎn)M在線段珈中點(diǎn)咋有DM丄平面ME収陽(yáng)中點(diǎn)叫連接DMtCDLPD?又AB//GD-<AB1PD^又AB丄FA,PAnPD=1^-*AR丄平面IVkDW丄D叫又是正三*DM±PArPAAAB=A*'D帕丄平面PAR1仃I)當(dāng)二：：：」時(shí)，有平面"丄平面I'.；，過陽(yáng)作麗NI卩日于N，由(I)矢口DM」.PE,何N門DM一M，■p3I平面2門，所以平面w平面1易得【名師指點(diǎn)】以直線和平面垂直、直線和直線垂直為背景的垂直問題，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，通過直線的方向向量與平面的法向量共線或者直線方向向量垂直求得，也可以利用傳統(tǒng)立體幾何知識(shí)利用分析的方法，確定線、面垂直關(guān)系來求解.【舉一反三】【北京市通州區(qū)2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末考試】如圖，在三棱柱r—Cr中,-八-丄底面"'△ABC是邊長(zhǎng)為f的正三角形，?！?，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).AA】求證：■飛-平面"■'r''■■；求二面角―一的余弦值；在線段'T-上是否存在一點(diǎn)M,使；；「平面"八？說明理由.因?yàn)镮「底面CD平面ABC,所以"'i丄"：，：.又！!；；!；為等邊三角形，”為"；-的中點(diǎn),所以；：門丄腫.因?yàn)榇ㄩT■■',所以門小平面匚；'：；：；（II）取三汽中點(diǎn)廠，連結(jié)”匚貝y因?yàn)?，‘分別為的中點(diǎn)，所以由（I）知厲:T屈，「門J小，如圖建立空間直角坐標(biāo)系打由題意得仇訕，鞏口叫叫，坷也叫即-13°丿,53吋）,嘰訓(xùn)嚴(yán)（-；礙）,設(shè)平面法向量;：.-；■.■:.訂「孑紜-0,可眄=0,即,2令S1，則紋二刃I一丿‘.即5'廠.1~~42JIU】+嚴(yán)1~~42JIU】+嚴(yán)-斗,因?yàn)?（U3U）?（1"嚴(yán)=2,|力如"，|可一由題意知二面角八」’|為銳角，所以它的余弦值為］門.

（Ill）解：在線段込5上不存在點(diǎn)M,使」平面.理由如下.假設(shè)線段上存在點(diǎn)M,使常：」平面'則I〕「山丨，使得￡產(chǎn)"-;|'|.因?yàn)椋?■"■■■：；，所以77777又HH]=（03,0）,所以￡兩—EH]+E機(jī)—仇3.護(hù)玫）由（由（II）可知，平面“：法向量[二注丄平面“；，當(dāng)且僅當(dāng)市11j',所以3~所以3~f一腫出這與f」矛盾.所以在線段上不存在點(diǎn)M,使心；」平面.類型3以“角”為背景的探索性問題典例3如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABCD中，E,F分別為AD和CC的中點(diǎn).1111111（1）求證：EF||平面ACD1；（2）在棱BB上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P-AC-B的大小為30。，若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在,1請(qǐng)說明理由.【解析】⑴證明：如圖所示，分別以DA,DC,DD所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系1Dxyz，由已知得D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,B（2,2,2）,D（0,0,2）11

E(1,0,2),F(0,2,1)???平面ACD的一個(gè)法向量是DB=(2,2,2)ii又:EF=(-1,2,-1)???EF?DB=-2+4-2=0???EF丄D1，而已卩9平面ACD1???EF||平面ACD1.Cl:1憶°Cl:1憶°；i\i1；A(2)解：設(shè)點(diǎn)P(2)解：設(shè)點(diǎn)P(2,2,t)(0vt<2)平面ACP的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)則｛n?AC=0，?:AP=(0,2,t),AC=(—2,2,0)n-AP=02y+tz=2y+tz=0—2x+2y=0取y=1，則x=12z=—tf1,1,—2J

It丿平面ABC的一個(gè)法向量平面ABC的一個(gè)法向量BB=(0,0,2)1依題意知，:BB,n；=30?；?BB,n;：=150。4cosV'343cosV'343~2t24，即—一2+R，解得t=(舍),???在棱bb［上存在一點(diǎn)P，當(dāng)BP的長(zhǎng)為￡時(shí)，二面角P-AC-B的大小為30?！久麕熤更c(diǎn)】與“兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角”有關(guān)的存在性問題，常利用空間向量法解決，可以避開抽象、復(fù)雜地尋找角的過程，只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式，就可以把'是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解等.事實(shí)說明，空間向量法是證明立體幾何中存在性問題的強(qiáng)有力的方法?學(xué)—【舉一反三】【山東省德州市躍華中學(xué)2017-2018學(xué)年下學(xué)期高三模擬】如圖所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為?若點(diǎn)E為PD上的點(diǎn)，且PB〃平面EAC.試確定E點(diǎn)的位置；在(I)的條件下，點(diǎn)F為線段PA上的一點(diǎn)且;*"■'，若平面AEC和平面BDF所成的銳二面角1的余弦值為］，求實(shí)數(shù)的值.【解析】(I)設(shè)BD交AC于點(diǎn)O連結(jié)OE，TPB〃平面AEC，平面AECn平面BDP=OE,:、PB//OE，又O為BD的中點(diǎn)，.:在ABDP中，E為PD中點(diǎn).(II)連結(jié)OP,由題意得PO丄平面ABCD,且AC丄BD,?:以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OD、OP所成直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，OP八J-：?A(Y,0,0),B(0,-護(hù),0),C0,0),D(0,護(hù),0),P(0,0,護(hù)),，屮:（0,；,，屮:（0,；,0）,,OC~(、,0,0),CE-('、：,^-,設(shè)平面AEC的法向量二—(x,y,z),

m?0C—?jiǎng)trn-CE~-Jx+_0,令z=1,得平面AEC的一個(gè)法向量諜:-m?0C—?jiǎng)trn-CE~-Jx+_0,令z=1,得平面AEC的一個(gè)法向量諜:-（0,1#^,1）,設(shè)平面BDF的法向量;；一（x,y,z）,由鬲=加，得F（-円,0,眉-?）,DF=（_\阻_/,眉妙）,舁1DF---+（爐—初可）孑—（1-羽,，令Z=1，得八（,0,1),1???平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為“,..cos1_而,冋I1用2I+-1./'【精選名校模擬】1.【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期末考試】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體■'I--I中，點(diǎn)“分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且求證：J「f當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角m-匚的正切值.【解析】設(shè)AE=BF=x.以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,x,0),F(2-x,2,0).(1)因?yàn)榘?'--■--"-所以-■--''■::■'(2)因?yàn)椤?；1.'■':■所以當(dāng)(2)因?yàn)椤?；1.'■':■所以當(dāng)S^EF取得最大值時(shí)，三棱錐B1-BEF的體積取得最大值.1因?yàn)镴所以當(dāng)x=1時(shí),即E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn)時(shí),三棱錐B1-BEF的體積取得最大值,此時(shí)E,F坐標(biāo)分別為E(2,1,0),F(1,2,0).設(shè)平面B]EF的法向量為.;，訂■-.(a.c)■(0.-1,0'嚴(yán)+--得EF_他耳門-(-1.1,0)-02c-00,取a=2,b=2,c=-1,得?-".顯然底面ABCD的法向量為...■=--i■I設(shè)二面角B-EF-B的平面角為0,—rr，，mn1因?yàn)?時(shí)I叫由題意知0為銳角.所以n,于是■—所以■-即二面角B1-EF-B的正切值為\廠2..【湖北省2019屆高三1月聯(lián)考測(cè)試】如圖，在四棱錐中，—切1苛，w-且PC=BC=2AD=2CD=2f,PM(2)在線段廣"上，是否存在一點(diǎn)打，使得二面角八-I的大小為??？如果存在，求⑴:的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由網(wǎng)【解析】⑴T在庶面佃他中，初II疏，初丄他且2AD二比g乙F'AB=AC=i?BC=2丄川匚又?.?川丹丄FC,ACnPt；二匚JAC匚平面FzlfjPC；C平面冋It：■yif?iipgp/ic又?.?卩川廠平面卩川￡'ah丄卩川■-PA=AC=2PC=2衛(wèi)■PALACy_-_-PA丄沖/?,AfiHAC；=A?M啟匚平面/VKR,川匚匚平面ABCD二FA丄平面A3CD(2)方法一：在線段川■上取點(diǎn)巴使則m又由(1)得“平面心：；??盧戸平面心第又平面，；'■■'■：?UI'二作J：'■'"■于-又?.?MNn!W—N，啊N匚平面陽(yáng)ZVO，NOj平面MNO.?.匚：丄平面'八'又?丄,''：〔平面'■'■'.??：丄m又?:n是二面角】?；；「的一個(gè)平面角PM-2fZ設(shè):；-貝卩卞_門_-^-?"，2-即'■MIVON這樣，二面角'一人I〕的大小為即'■MIVON2—2x—tan60*—x

PM即'■PM???滿足要求的點(diǎn)加存在，且.:=--■■■-方法二：取^的中點(diǎn)二則心、2、方法二：取^的中點(diǎn)二則心、2、心三條直線兩兩垂直???可以分別以直線譏、，〔山為—軸建立空間直角坐標(biāo)系且由（1）知上：-是平面川二的一個(gè)法向量PM設(shè)比=I'是平面總左的一個(gè)法向量則宀-AM=I-[2-=0-AC=“卩a+,pb=0flb令:m,則「上’'：'?■??：?■'■，它背向二面角又???平面n*的法向量UN-■',它指向二面角這樣，二面角肘_沖］-D的大小為辺。即：—"—：：?.■<-'■心-；「二■.<■■<■■：■■■：.■即k4-王異=cos60°=-【福建省龍巖市2019屆高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查】如圖，四邊形'是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面MCDL平面KEC，且丄陋E（1）證明：平面，;'''：1平面「'?；；：；（2）當(dāng)山'?匚,且F與平面所成角的正切值為〔時(shí)，求二面角的正弦值.【解析】（1）由題設(shè)知，平面V；1平面■■■'■'，交線為兒巴因?yàn)楸硜A宀，門X平面所以門門平面U；川,因此D何丄CE，又D!咗丄?vfR，CBn個(gè)E—丹，所以DM丄平面CMB而平面1■'■'■■'■■■，所以平面WI平“面必;；（2）以"為坐標(biāo)原點(diǎn)，二衛(wèi)的方向?yàn)閕軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系"■'■，'/，則有r^C'j.：：|,■■■'，過點(diǎn)卅作u：丁于門，設(shè)皿J則八―因?yàn)椤?廠,所以汩打一"?-「；，屮-hMH5?空〔）?5由題設(shè)可得甘，即J-]■，?2雹/'「+】—廠解得：二d或：=DC因?yàn)槊?'■''■■，所以:川I,所以?=〔，由「叮丨n,知魯*：：_1.1；是平面心▼的法向量,設(shè)平面「亦的法向量為,--2x-y+z~0則?.；；?,!,匚.!<::取''設(shè)二面角，lj，1:為,I^CM|2W則門心.…「j,「「因?yàn)?",,15綜上，二面角的正弦值為I,.【福建省廈門市2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期末質(zhì)檢】如圖，在四棱錐；’中，平面…：四邊形X為平行四邊形，且1；:I,d1':'（2）當(dāng)直線;"與平面所成角的正切值為：時(shí)，求二面角1的余弦值.【解析】（1）證明：由已知，得-\'在I"'中，三：.「；?「J」:-.■.:即譏I?.J"平面*，譏:平面?—JL???,又..八'i|'：'：，'：」?平面；」’；，；"「平面'''■'，??.譏平面'（2）?.?汀丄平面「心，??二八為直線；二與平面「譏‘所成角,AC?“=:??,在中；W「廠：‘取心的中點(diǎn)匚連結(jié)則」心,?:心平面iV七二平面八耳tl',：-：??又：?、m：:;,，廠：平面'：；；?‘，'；；■〔平面'：：；：,???■「平面心X,以"點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系八:八,則;—:.辿「f切平";?；:」-「:??廠-J存丨八」設(shè)平面一亍的法向量為y門n■PC=x13y-=0一r…rm則=：『.？「.：.,取^-,解得”：-j.i*“又平面二'：的法向量為c「i.'■JPBn.10.?..，：w「；：：.：「n?|PF||n5?,10???二面角—「的余弦值為］.【北京市朝陽(yáng)區(qū)2018-2019高三數(shù)學(xué)期末考試】如圖,三棱柱UTU的側(cè)面:丁八竹是平行四邊形,平面平面二,且分別是二"的中點(diǎn).求證：；；平面V"!'■■'；當(dāng)側(cè)面V是正方形,且時(shí),(i)求二面角「二「二的大??；(ii)在線段；」上是否存在點(diǎn)丿，使得打-宀‘？若存在，指出點(diǎn)；的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1所以且相八「在平行四邊形處八中，因?yàn)椋菏?二的中點(diǎn)，-,1所以:"i'且◎〔=：“「.所以;■-■■■■-,且，::.所以四邊形心煮是平行四邊形.所以又因?yàn)樾l(wèi)f平面y,平面y,所以】「平面m.(2)因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以宀丄又因?yàn)槠矫鎅i，-平面廠-|'，：|，且平面平面'■/'

所以人二平面所以人「1又因?yàn)橐?；為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系1V,如圖所示.設(shè)貝y'■'■■■.■--：.■:aaaaa：：Lc,估.(i)設(shè)平面d的一個(gè)法向量為一.吋=艮--口吋=艮--口得ax=（XaaaI尹尹+產(chǎn)-0.［工=Q即和「令"■，所以■-=1^'-1."又因?yàn)槠矫鎦,所以以八—EG是平面V又因?yàn)槠矫鎦,所以以八—EG是平面V的一個(gè)法向量.|石石-n\所以二|；廠「3/r由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為-(ii)假設(shè)在線段^上存在點(diǎn)二使得二'丄汽EP設(shè)；.，貝y2=■=；：*.因?yàn)閍aaaaa麗=TTT+IT=莊+IE7=（-.a）+彳（心-吟）=（戸?g-譏-厲I詁）,a所以;J：-■■：-,:所以-1-■-l:,]l故點(diǎn)「在點(diǎn)Y處時(shí)，有■■■■'-L':';'6.如圖，在多面體ABCDMN中，四邊形ABCD6.如圖，在多面體ABCDMN中，四邊形ABCD為直角梯形,AB//CD，BC丄DC，四邊形BDMN為矩形.(1)求證：平面ADM丄平面ABCD；兀（2）線段MN上是否存在點(diǎn)H，使得二面角H-AD-M的大小為一？若存在，確定點(diǎn)H的位置并加4以證明.【解析】（1）證明：由平面幾何的知識(shí)，易得BD二2，AD二2又AB=2邁，所以在AABD中，滿足AD2+BD2=AB2，所以AABD為直角三角形，且BD丄AD因?yàn)樗倪呅蜝DMN為矩形，所以BD丄DM由BD丄AD，BD丄DM，DMcAD二D可得BD丄平面ADM-又BDu平面ABD所以平面ADM丄平面ABCD-（2）存在點(diǎn)H，使得二面角H-AD-M為大小為二，點(diǎn)H為線段AB的中點(diǎn).4事實(shí)上，以D為原點(diǎn)，DA為x「軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz則D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2,0）JM（1,0,1）設(shè)H（x,y,z）,由MH=XMN=XDB，即（x-1,y,z-1）=九（0,2,0），得H（1,2九,1）設(shè)平面ADH的一個(gè)法向量為n=（x,y,z），￡）A^=0￡）A^=0則lux，即+Offn=02x,=0Jtj+22^4衛(wèi)|=0'

不妨設(shè)y二1，取n=（0,1,—2九）11平面ADM的一個(gè)法向量為n=（0丄0）二面角H—AD—M為大小為上斗/T||I72于是c=[.,<.=..4Ixjl十4屮2解得或=〔（舍去）.2所以當(dāng)點(diǎn)H為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，二面角H—AD—M為大小為上.47.在三棱錐P—ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO丄平面ABC，垂足O落在線段AD上,已知BC=4,PO=3,AO=2,OD=1-（1）證明：AP丄BC；（2）在線段AP上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角A—MC—B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.C存在，請(qǐng)說明理由.C【解析注一:T屈SD^BC的中點(diǎn),:.AD-BC,'：戸。—平面ABC,:.PO_BC,T垂足。落在線段上仍上」5C_平面FAD』方向上的單位向量為單位:.AP-^C?方向上的單位向量為單位法二：如圖，以o為原點(diǎn)，分別以過O點(diǎn)與DB共線同向的向量，OD，op

正交基建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O（0,0,0）,A（0,-2,0）,B（2,1,0）,C（-2,1,0）,P（0,0,3）,AP=（0,2,3）,BC=（-4,0,0）,AC=（-2,3,0）?:AP-BC=0???AP丄BC（2）假設(shè)m點(diǎn)存在，設(shè)AM=XAP，M（x,y,z），則AM=（x,y+2,z）??x=0{y+2=2九z=3九?:M（0,2九一2,3九）?BM=（-2,2九一3,3九）設(shè)平面MBC的法向量為n=（x,y,z），平面APC的法向量為n=（x,y,z）11"1'122由rn-BM=0

{丄n-BC=01得-由rn-BM=0

{丄n-BC=01111

-4x=01可得n可得n10丄診由n?AC=0得廠2x+3y=0{_L—.{22n?AP=02y+3z=0222令y1=6，可得n=（9,6,—4）2若二面角A—MC-B為直二面角，則n?n=0，得3—2九TOC\o"1-5"\h\z]26—4=0123九解得“■???am=回1313故線段AP上是否存在一點(diǎn)M，滿足題意，AM的長(zhǎng)為6.J13132?r【安徽省江南十校2019屆高三第二次大聯(lián)考】如圖，已知四邊形叫"中，對(duì)角線汀*,八門，.：為等邊三角形.（1）求=匚面積的最大值；（2）當(dāng)「V的面積最大時(shí)，將四邊形1W沿;*折起成直二面角▼聖…，在鳥■■上是否存在點(diǎn)叮使直線../7U山與平面^：所成的角■滿足：小J'「若不存在，說明理由；若存在，指出點(diǎn)打的位置.【解析】（1）在中，記冷■=?-??，-"】■=「；，則由余弦定理：?：：??_：?_：，??「：??.?：-■-：'-I（當(dāng)且僅當(dāng)宀昇…「時(shí)，上式取等號(hào)）12tt啟此時(shí)，「二疋■二：?：；「.■；1心的面積的最大值為二上.（2）由（1）知，m'；—廠「，“匸，設(shè)存在圧，在三棱錐m；中，取的中點(diǎn)二z由平面/RD丄平面RfDnME丄平面AED.故曲在平面心丁上的投影為譏?‘曲與平面MO所成的角為一^二一'嚴(yán)衛(wèi)ME設(shè)」=得H；?'-...故■:-..「：：'i-'■'■'?故存在*：■，且":;，滿足題意.（2）另解：由（1）*一爪一J」，幾=-■，設(shè)存在*:■，則在三棱錐一忍二中，取應(yīng)「的中點(diǎn)二連接易求^二'?以為坐標(biāo)原點(diǎn)°為軸，「二為:軸，…為'?軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面川J的法向量為設(shè)―氓，得書一；：，得立：二’」；，又「「Jr:「『:,..l'-A.'::'i-■:故存在怎，且；■=「，滿足題意.【云南省昆明市2019屆高三1月復(fù)習(xí)診斷測(cè)試】如圖，在四棱錐「中，底面是平行四邊形,J門平面w,；⑺匯''心二心-「，0是棱;"上的一點(diǎn).（1）若》必"平面BDE，證明:PE-EC；網(wǎng)（2）在（1）的條件下，棱■':上是否存在點(diǎn)匕使直線”'，'與平面廠::?所成角的大小為川？若存在，求；⑴:；的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）連接"交從于'，連接V：則「是平面工‘、與平面工上的交線?因?yàn)槠矫娑岸矫妗?-,所以又因?yàn)?是譏:中點(diǎn)，所以'是匕的中點(diǎn)?所以「一一匚.（2）由已知條件可知V-'■!'.'I，所以廣?汕以I；為原點(diǎn)，/為軸，“為苒由，⑴為?軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，I二，口-220」，E（-1」「打，能=（_［丄1），皿=〔0,2衛(wèi)）.假設(shè)在棱宀上存在點(diǎn)人，設(shè)⑺J得摳化2-2A），血二（0,2九2-2鮎.

記平面::宀"的法向量為|:|''■■■，則n1DE=OPn1DV-0,-k14-y.+z1_0,即｛血―出取幻“,貝鬥T,|TTNT-njl則麗要使直線心與平面九上所成角的大小為|TTNT-njl則麗1x00x2A+lx(2.2X)|1■]W，即：??"；：「，解得'—；所以在棱亠上存在點(diǎn)v使直線：工與平面二「所成角的大小為'；”.此時(shí).丄【河南省開封市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬考試】如圖所示，是邊長(zhǎng)為2的正方形，’；L平面'工：,且叮I求證：平面1平面X'「；線段V上是否存在一點(diǎn)'，使二面角1；'，;'''所成角的余弦值為［?若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)；的位置;若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】(I)fl平面⑴「，：：「*-平面；：「，；：「■平面；：「；；.'「■："：「；?'?:二又LAB，.?.AE門AB—沖，.?.ECI平面ABE，又玄.平面「汽；，.：平面’："；：［平面「以.(II)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系兒?"E—lAB-2必EIRE?RE—H?,,???t?假設(shè)線段，、上存在一點(diǎn)「滿足題意，E黒；皿鞏DZO),F((w),(20),易知：平面"°的一個(gè)法向量為wm：

???b，廠=:-「仆???設(shè)平面^;的一個(gè)法向量為:上影.-■-,3In■BE-0,y_x-_y0..一._2由&伽=0'得$2取y—1,得?2=審」）,<-2y+hz~0itmH..C.3cos^m.n}—————一苓一v網(wǎng)?加44?代一1，…?6點(diǎn)'為線段a的中點(diǎn)時(shí)，二面角'、二^所成角的余弦值為四邊形四邊形BCC1B1是矩形,11.如圖，五面體A一BCCB中，AB二4，底面ABC是正三角形，AB=2，111面角A一BC一C為直二面角.1D在AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D在何處時(shí)，有AB//平面BDC，并說明理由;11當(dāng)AB//平面BDC時(shí)，求二面角C—BC—D余弦值.111【解析】(1)當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，有AB//平面BDC11

證明：連結(jié)BC交BC于O，連結(jié)DOTOC\o"1-5"\h\ziir???四邊形BCCB是矩形，ii0為BC中點(diǎn)，又D為AC中點(diǎn)，從而DO//ABii?/AB0平面BDC，DOu平面BDCiii.??AB//平面BDCii(2)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，如圖所示，^33則B((W)，AE1,O)，C(020)，DC，0)，CW3)所以BD=BC=(0,2,2所以BD=BC=(0,2,2間i設(shè)ni=(x，y,z)為平面BDCi的法向量’則有＜2忑丄3ox丄y=0,22y丄亦z=0,x=3z,y=-*3z令z=1，可得平面BDq的一個(gè)法向量為兀=⑶-巨1)一一n-n12而平面BCCi的一個(gè)法向量為兀=(I’一一n-n12所以cos<n,n>=ii2|n|?|nI希131213故二面角C-BCi-D的余弦值為主一2AB=4.將12.如圖，已知平面四邊形ABCP中,D為PA的中點(diǎn)，PA丄AB，CD//AB，且PA=CD此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角P—DC—B，連接PA、PB，設(shè)2AB=4.將證明：平面PBD丄平面PBC；右不存在，請(qǐng)?jiān)诰€段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF丄平面PBC?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置;說明理由.右不存在，請(qǐng)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）點(diǎn)F存在，且為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)；⑶咚.6【解析】（1）直二面角P-DC-B的平面角=又FD—DO,則平面A8CD,所PD-BC.又在平面四邊形曲CP中」由已知數(shù)據(jù)易得BD±BC?而PDClBD=D,故SC_平面PBD?因^8C：~平面PSC?所以平面FED_平面尸EC（4井）（2）解法一：由（1）的分析易知，pd丄da,pd丄DC,DC丄DA，則以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.zxzx結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)則PB中點(diǎn)E(1,1,1-?:Fg平面abcd，故可設(shè)F(x,y,0)貝卩EF=(x-1,y-1,-1)EF丄平面ABCD，EF-PB=0,EF-PC=0又PB=(2,2,-2),PC=(0,4,-2)由此解得x=y=2，即F(2，2,0)（8分）易知這樣的點(diǎn)F存在，且為線段BD上靠近點(diǎn)D（8分）解法二：（略解）如圖所示,C解法二：（略解）如圖所示,C在APBD中作EF丄PB，交BD于F因?yàn)槠矫鍼BD丄平面PBC，則有EF丄平面PBC33在RtAPBD中，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，利用三角形相似等知識(shí)可以求得BF=2=匚BD24故知所求點(diǎn)F存在，且為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)；..（8分）——11——?jiǎng)t得cos<EF=AB>=6⑶解法一：由⑺嚇1）是平面丹則得cos<EF=AB>=6所以,■；：EF:AB>=arcco5-f6記直線AB與平面PBC所成角為8、則知品婦?■：:匪衛(wèi)+季6故所求角的正弦11為理一■■<12分）解法二：（略解）如上圖中，因?yàn)锳B//CD，所以直線AB與平面PBC所成角等于直線CD與平面PBC所成角，由此，在RtAPBD中作DH丄PB于H「，易證DH丄平面PBC連接CH，則ZDCH為直線CD與平面PBC所成角，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得sinZDCH，故所求角的正弦值為二6...（12分）6613.四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD丄平面ABCD.（1）求證：AB丄PD;（2）若ZBPC=90,PB=巨,PC=2,問AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面PBC與平面DPC夾角的余弦值.弦值為V10弦值為V10【答案】（1）詳見解析，（2）AB二時(shí)，四棱錐的體積【答案】（1）詳見解析，（2）AB二【解析】試題分析：（1）先將面面垂直轉(zhuǎn)-化為線面垂直：ABCD為矩形，故AB丄AD,又平面PAD丄平面ABCD，平面PADI平面ABCD=AD，所以AB丄平面PAD,再根據(jù)線面垂直證線線垂直：因?yàn)镻Du平面PAD，所以AB丄PD學(xué)_叫則戶乎—OU二故四棱錐2-ABCD的體積為（2）求四棱錐體積關(guān)鍵婪作出高?弦可利用面面垂直性質(zhì)定理:過P作AD的垂線，垂足為0,又平面PAD丄平面ABGD,平面PADfl平面AEdAD,所以.P0—平面叫則戶乎—OU二故四棱錐2-ABCD的體積為A3—F二+-麗-斑-■-時(shí)二彳Jw阮-故當(dāng)m=今時(shí)、即AS二￥時(shí)、四樓錐的體積P-ABCD最