教案教學基本信息課題總體百分位數(shù)的估計學科數(shù)學學段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學必修第二冊A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月教學設計參與人員姓名單位設計者任雅群北京市通州區(qū)潞河中學實施者任雅群北京市通州區(qū)潞河中學指導者王學一通州區(qū)教育研修學院課件制作者任雅群北京市通州區(qū)潞河中學其他參與者康杰北京市基教研中心教學目標及教學重點、難點本節(jié)課的主要內(nèi)容是百分位數(shù)的理解與應用.學生通過對“某市政府為實施居民生活用水階梯式水價而確定合理的標準”這一案例的繼續(xù)探究，明確百分位數(shù)的概念，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義，提高數(shù)據(jù)分析的能力.共設計3道例題，學生體會各種數(shù)據(jù)形式條件下樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的計算，從而估計總體百分位數(shù)，為后續(xù)進一步的決策提供數(shù)據(jù)支撐.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入前面的學習中，我們對抽取的100戶居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)進行了整理，用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了某市居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù).由樣本估計總體，從整體分布規(guī)律的角度，推測該市“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”，初步體會了統(tǒng)計中用樣本估計總體的思想.今天我們繼續(xù)對這組樣本數(shù)據(jù)進行分析，進一步地為政府決策服務.在前兩節(jié)課的基礎(chǔ)上，進一步激發(fā)學生的數(shù)據(jù)分析的意識與能力新課問題：如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據(jù)是上節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？思考：如何理解這個問題？分析：根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準，就是要尋找一個數(shù)，使全市居民用戶月均用水量中不超過的占80%，超過的占20%.追問1：尋找的這個數(shù)a，反映這組數(shù)據(jù)的什么特征？位置參數(shù)追問2：如何尋找全市居民用戶月均用水量某個位置的數(shù)a呢？通過樣本數(shù)據(jù)對a的值進行估計.追問3：怎么去找這個位置參數(shù)a呢？在我們以往的學習過程中遇到過類似的問題嗎？中位數(shù)！追問4：100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)的中位數(shù)怎么找？把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第50個和第51個數(shù)據(jù)分別為6.4和6.8.計算這兩個數(shù)的平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).方法小結(jié)：求100個數(shù)據(jù)的中位數(shù)的步驟：第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序第二步：計算100×1/2=50第三步：計算第50和第51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為這100個數(shù)據(jù)的中位數(shù)從50%到80%，我們采用類比的方法來尋找我們需要的數(shù)a，第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序第二步：計算100×80%=80，得到第80個81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間（13.6,13.8）內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.為簡單便于計算，一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，或80%分位數(shù).方法小結(jié)：求100個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)的步驟：第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序第二步：計算100×80%=80第三步：計算第80個和第81個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為第80百分位數(shù)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右.由于樣本數(shù)據(jù)的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標準定為14t，或者把年用水量標準定為168t.思考：若這組數(shù)據(jù)共99個，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)怎么求？第80百分數(shù)呢？我們先回顧99個數(shù)據(jù)的中位數(shù)的求法：第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序第二步：計算99×1/2=49.5第三步：取大于49.5的最小整數(shù)50，則第50個數(shù)據(jù)即為這99個數(shù)據(jù)的中位數(shù)應用類比的方法我們可以求99個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，第一步：將原始數(shù)據(jù)從小到大排序第二步：計算99×80%=79.2第三步：取大于79.2的最小整數(shù)80，則第80個數(shù)據(jù)即為這99個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)這樣，我們得到兩種不同情況下的第80百分位數(shù)的計算方法.更一般地，一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的計算如下：首先明確百分位數(shù)的定義：一、百分位數(shù)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.二、求原始數(shù)據(jù)的百分位數(shù)方法小結(jié)：我們可以通過下面的步驟計算一組個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算.第3步，若不是整數(shù)，而大于的比鄰整數(shù)為，則第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù)..定義我們在初中學過的中位數(shù)，相當于是第50百分位數(shù).在實際應用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計中也經(jīng)常被使用.繼續(xù)對居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)進行分析處理，引導學生經(jīng)歷一個案例的完整數(shù)據(jù)分析分析理解問題的實質(zhì)借助已有的學習經(jīng)驗，采用類比的方法理解計算百分位數(shù)進一步體會用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體是數(shù)據(jù)特征.體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異，歸納推斷與演繹證明的差異再次借助中位數(shù)的計算，采用類比的方法理解計算百分位數(shù)明確百分位數(shù)的概念從特殊到一般，總結(jié)計算一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的方法將舊知與新知進行聯(lián)系，更好地建構(gòu)知識系統(tǒng).例題例1根據(jù)9.1.2節(jié)問題3中女生的樣本數(shù)據(jù)，估計樹人中學高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù).解：把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0158.0158.0159.0161.0161.0162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%x27=20.25，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第7，14，21項數(shù)據(jù)，分別為155.5，161，164.據(jù)此可以估計樹人中學高一年級女生的第25，50，75百分位數(shù)分別約為155.5，161和164.分組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)求解下面我們再來探究分組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)如何求解在某些情況下，我們只能獲得整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，與原始數(shù)據(jù)相比，它們損失了一些信息.例如由表9.2-1，我們知道在[16.2,19.2)內(nèi)有5個數(shù)據(jù)，但不知道這5個數(shù)據(jù)具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區(qū)間上.例2（1）根據(jù)表9.2-1，估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第86百分位數(shù)，第39百分位數(shù).解:由表9.2-1可知，月均用水量在16.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%+9%=86%，據(jù)此，估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第86百分位數(shù)約為16.2.月均用水量在4.2t以下的居民用戶所占比例為23%，月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%=55%，第39百分位數(shù)一定位于[4.2,7.2)區(qū)間內(nèi).3×1/2=1.54.2+1.5=5.7據(jù)此，估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第39百分位數(shù)約為5.7例2（2）繼續(xù)根據(jù)表9.2-1，估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，第95百分位數(shù).解析：根據(jù)頻率分布表，月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%-9%=77%在16.2t以下的居民用戶所占的比例為77%+9%=86%因此，80%分位數(shù)一定位于[13.2,16.2)內(nèi).由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2類似地,由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95方法小結(jié)：根據(jù)頻率分布表求百分位數(shù)的方法與步驟：第1步，計算各小組的累計頻率第2步，確定第p百分位數(shù)所在小組區(qū)間第3步，按比例計算出不足頻率部分對應的區(qū)間長度第4步，計算得出第p百分位數(shù)練習1：根據(jù)圖9.2-1，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù).解析：根據(jù)圖9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，0.231+0.321=0.552,0.043×3=0.129，0.030×3=0.09，0.030×3=0.09，……月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為月均用水量在16.2t以下的居民用戶所占比例為0.771+0.09=0.861因此，第80百分位數(shù)一定位于[13.2,16.2)區(qū)間內(nèi).由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2.對比分析：原始數(shù)據(jù)頻率分布表頻率分布直方圖13.714.214.2依據(jù)原始數(shù)據(jù)計算的第80百分位數(shù)為13.7，依據(jù)頻率分布表或頻率分布直方圖計算的第80百分位數(shù)為14.2，稍有差異，但相差不大.練習2：根據(jù)圖9.2-1，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù).解析：根據(jù)圖9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，0.043×3=0.129，……月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為0.231+0.321=0.552,月均用水量在16.2t以下的居民用戶所占比例為0.552+0.129=0.681因此，第60百分位數(shù)一定位于[7.2,10.2)區(qū)間內(nèi).由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)約為8.32.練習3：為了分析某校高一年級數(shù)學期末測試成績情況，抽取了50名同學的測試成績?nèi)缦拢?74554566476828993959699103104104105105108108110110115115116119120120122122122123124125125126127129129129130130131132132132134137138141145估計該校高一數(shù)學期末測試成績的第5,50,95百分位數(shù).解：把這50個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，50×5%=2.5所以樣本數(shù)據(jù)的第5百分位數(shù)為第3項數(shù)據(jù)54.據(jù)此估計該校高一數(shù)學期末測試成績的第5百分位數(shù)約為54.同樣地，計算第50百分位數(shù)，50×50%=25，樣本數(shù)據(jù)的第25個數(shù)據(jù)是119，第26個數(shù)是120，所以樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為第25、26項數(shù)據(jù)的平均數(shù)119.5.據(jù)此估計該校高一數(shù)學期末測試成績的第50百分位數(shù)約為119.5.計算第95百分位數(shù)，50×95%=47.5，所以樣本數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)為第48項數(shù)據(jù)138.據(jù)此估計該校高一數(shù)學期末測試成績的第95百分位數(shù)約為138.通過對例1的分析求解，熟練掌握求一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的方法與步驟通過對例2的分析求解，體會根據(jù)統(tǒng)計圖表估計一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的方法與步驟小結(jié)根據(jù)頻率分布表求分組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的方法分析頻率分布表與頻率分布直方圖的聯(lián)系與差異將原始數(shù)據(jù)根據(jù)和根據(jù)分組數(shù)據(jù)（統(tǒng)計圖表）求得的百分位數(shù)進行比較，體會“用數(shù)據(jù)說話”總結(jié)本節(jié)課我們對階梯水價案例中的樣本數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)分析，重點學習了百分位數(shù)；采取了類比的方法，從一般到特殊地總結(jié)了依據(jù)原始數(shù)據(jù)、分組數(shù)據(jù)求百分位數(shù)的方法與步驟；并由樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)對總體百分位數(shù)進行估計推斷，體會統(tǒng)計思想的應用.回顧整理本節(jié)研究的內(nèi)容（基本知識和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途徑（基本活動經(jīng)驗），讓學生明確本節(jié)課學習的內(nèi)容和要求（四基）作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：（1）在居民用戶月均用水量標準制定的問題中，根據(jù)教科書中的調(diào)查數(shù)據(jù)，如果要讓60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?（2）根據(jù)樹人中學高一年級男生身高的樣本數(shù)據(jù)，請你估計樹人中學高一年級男生的第25，50，75百