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文檔簡(jiǎn)介
數(shù)理統(tǒng)計(jì)從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說(shuō)明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作.但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的簡(jiǎn)單記錄和整理，而沒(méi)有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科,它們都以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律為研究對(duì)象.但在研究問(wèn)題的方法上有很大區(qū)別：概率論——已知隨機(jī)變量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、數(shù)字特征、及其應(yīng)用;數(shù)理統(tǒng)計(jì)——通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征,從而推斷總體的規(guī)律性.概括起來(lái)可以歸納成兩大類:參數(shù)估計(jì)──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對(duì)分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì).假設(shè)檢驗(yàn)──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對(duì)分布的未知參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).它們構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式.這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個(gè)分支.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心問(wèn)題——由樣本推斷總體第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體和樣本數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的某些常用分布抽樣分布6.1
總體和樣本一、總體與個(gè)體二、樣本與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本三、統(tǒng)計(jì)量一、總體與個(gè)體總體:
所研究的對(duì)象的全體,也稱母體.一般用
X
表示某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)民意測(cè)驗(yàn)的全體對(duì)象某林區(qū)的樹木直徑個(gè)體：組成總體的單個(gè)對(duì)象,一般用Xi
表示X和Xi均是隨機(jī)變量二、樣本與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本抽樣:從總體中抽取一部分個(gè)體的過(guò)程隨機(jī)抽樣:從總體中隨機(jī)抽取一部分個(gè)體的過(guò)程簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣:總體中每個(gè)個(gè)體等可能被抽取的隨機(jī)抽樣樣本:
經(jīng)抽樣取得的個(gè)體的集合簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本:經(jīng)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣取得的個(gè)體的集合一般用
(
X1
,
X
2
,
,
Xn
)表示樣本點(diǎn):樣本中的個(gè)體樣本容量:樣本中包含的個(gè)體的數(shù)量樣本觀測(cè)值:對(duì)樣本進(jìn)行觀測(cè)的結(jié)果,以后未經(jīng)聲明抽樣即為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣樣本即為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本一般用(x1
,x2
,
,xn
)表示常見(jiàn)的要求和敘述:設(shè)(X
1
,X
2
,
,Xn
)為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本則(
X1
,
X
2
,
,
Xn
)為一個(gè)隨機(jī)向量
X為一個(gè)隨機(jī)變量X1
,X
2
,
,Xn相互獨(dú)立,且具有和總體X同樣的分布樣本的同分布性和相互獨(dú)立性三、統(tǒng)計(jì)量對(duì)所研究的對(duì)象收集了有關(guān)樣本的數(shù)據(jù)后,還要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工和提煉,將樣本的有關(guān)信息,利用數(shù)學(xué)的工具進(jìn)行加工.引入統(tǒng)計(jì)量的概念定義設(shè)(X1
,X
2
,
,Xn
)為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,若n元函數(shù)f
(X1
,X
2
,
,Xn
)不含任何未知參數(shù),則稱f
(X1
,X
2
,
,Xn
)為X1
,X
2
,
,X
n的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.f
(X1
,X
2
,
,Xn
)是否為統(tǒng)計(jì)量關(guān)鍵是不含未知參數(shù)例12設(shè)(X
1
,X
2
,
,Xn
)為來(lái)自總體N
(m,s
)的一個(gè)樣本當(dāng)m,s
2為未知參數(shù)時(shí)nXn
ii
=11(1)
f1
(
X1
,
X
2
,
,
Xn
)
=為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量nnXn
2ii
=12121(2)
f
(
X
,
X
,
,
X
)
=為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量
ninni
=12(
X
-
EX
)1(3)
f3
(
X1
,
X,
,
X
)
=不是統(tǒng)計(jì)量=m，而m未知因?yàn)镋X
in
in
i
=122215(
X
-
X
)1s(5)
f
(
X
,
X
,
,
X
)
=為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量
n不是統(tǒng)計(jì)量
kini
=116-
X
)(
X1(6)
f
(
X
,
X
2
,
,
Xn
)
=其中k為常數(shù)n
n
ii
=1214(
X
-
X
)1(4)
f
(
X
,
X
2
,
,
Xn
)
=為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量ini
=1n其中X
=
1
X常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量:樣本均值n
iXX
=121nn=
(
X
+
X
+
+
X
)樣本方差
i
=1n
iS
=22(
X
-
X
)1n1顯然
i
=1nS
=22i2-
2
Xi
X
+
(
X
)
][
Xn1
i
=1n
iXn22i
n-
2
X
X
+
n(
X
)
]i
=1=
[n1
=i
=1nX22i-
2
X X
+
(
X
)1222n1ni
=1niX
-
(
X
)S
=
i
=1樣本均方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差n
inS
=
S
=
i
=122(
X
-
X
)1?
0樣本修正方差
n
iS
=i
=12*
2(
X
-
X
)n
-
11顯然S
2nn
-
1S
*
2
=?
S
2nS
2
=
n
-
1
S
*
2
￡
S
*
2樣本k階中心矩n
k
ini
=1(
X
-
X
)1b
k
=n
kiXni
=11a
k
=樣本k階原點(diǎn)矩顯然X
=
a
1S
2
=
b26.2
數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的某些常用分布一、c2
分布二、t
分布三、F
分布一、c2
分布c2分布的定義及概率密度設(shè)隨機(jī)變量X1
,X
2
,
,Xn獨(dú)立同分布,且Xi
~
N
(0,1),i
=1,2,
,n,若隨機(jī)變量c
2
=X
2
+X
2
+
+X
2
,則稱隨機(jī)變量c
2服1
2
n從自由度為n的c
2
-
分布.記為c
2
~
c
2
(n).c2分布的密度函數(shù)為
212e x
?
0x
<
0G(n
2)0f
(
x,
n)
=
xn-1
-x
2n
2來(lái)定義.0
+￥e-t
t
x
-1dt,
x
>
0G
(
x)
=其中伽瑪函數(shù)
G(
x)
通過(guò)積分c2分布的密度函數(shù)的圖形且X1
,X2相互獨(dú)立，則21221X
+
X
~
c
(n
+
n
),222121(1)設(shè)X~
c
(n
)~
c
(n
),
XN
(m,s
2
),(2)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布設(shè)X1
,X
2
,
,Xn則(
)n22
2n
1
c
=
(
X
-
m) ~
cs
2
ii
=1相互獨(dú)立的c
2
-分布隨機(jī)變量迭加,自由度也迭加c
2分布的可加性E(c
2
)
=
E(
X
2
+
X
2
+
+
X
2
)1
2
n=
E(
X
2
)
+
E(
X
2
)
+
+
E(
X
2
)1
2
nii
i=
nE(
X
2
)
=
n{D(
X
)
+[E(
X
)]2
}=
n(1
+
02
)
=
nD(c
2
)
=
D(
X
2
+
X
2
+
+
X
2
)1
2
n=
D(
X
2
)
+
D(
X
2
)
+
+
D(
X
2
)1
2
nii
i=
nD(
X
2
)
=
n{E(
X
4
)
-[E(
X
2
)]2
}
+￥
-￥1=
n
2-
xx4
e2p2
dx
-
12
=
n(3
-
1)=
2nD(c
2
)
=
2nE(c
2
)
=
n,c2分布的期望和方差1-aa(n)為c
2
-分布的上側(cè)分位數(shù)記為x
=
c
2
(n)
而稱x
=
c
2a
1-aa1-aP{c
2
￡
c
2
(n)}=
1
-a
P{c
2
>
c
2
(n)}
=
a若c
2
~
c
2
(n)分布函數(shù)為F
(x)"
a
,0
<
a
<
1若F
(
x)
=
P{c
2
￡
x}
=
a則其解稱為c
2
-
分布的a
-
分位數(shù)(臨界值)c
2
(n)1-aac
2
(n)0.025c2c0.95
(20)(20)2c0.9752c0.05
(20)
=
10.92
(20)
=
9.59=
31.4=
34.2例1
查表求臨界值例2
設(shè)X1
,
,X
6
是來(lái)自總體N
(0,1)的樣本,又設(shè)2
2Y
=
(
X1
+
X
2
+
X
3
)
+
(
X
4
+
X
5
+
X
6
)
,試求常數(shù)C
,解因?yàn)閄1
+
X
2
+
X
3
~
N
(0,3)X4
+
X5
+
X6
~
N
(0,3)~
N
(0,1),所以X1
+X
2
+X
33~
N
(0,1),X
4
+
X
5
+
X
63且相互獨(dú)立,于是3
34
51
2~
c
2
(2),6
3
+
X
+
X
+
X
2
X
+
X
+
X
233故應(yīng)取
C
=
1
,
則有
1Y
~
c
2
(2).使CY
服從c
2
分布.XY
/
nt
=t分布的定義及概率密度設(shè)X
～
N(0,1),
Y
～
c2(n),且X,Y相互獨(dú)立,稱隨機(jī)變量二、t分布（學(xué)生氏分布）服從自由度為n的t分布.記為t
～
t(n).t分布的密度函數(shù)為：2)-
n+1nx
2f
(
x,
n)
=
(1
+G
(n
2)
npG
[(n
+
1)
2]若隨機(jī)變量
X
~
N
(m,s
2
),Y
~
c
2
(n),
X
,Y相互獨(dú)立則隨機(jī)變量T
=
X
-ms
Y
/
n~
t(n)若隨機(jī)變量
X
~
N
(m,s
2
),Y
/
s
2
~
c
2
(n),
X
,Y相互獨(dú)立s
Y
/
s
2
nY
/
n則隨機(jī)變量
T
=
X
-
m
=
X
-
m~
t(n)0
.
3
50.
30
.
2
50.
20
.
1
50.
10
.
0
5
n
=
10-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.
40.
3
50.
30.
2
50.
20.
1
5
n
=
30.
10.
0
5
n
=
10-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.
40.
3
50.
30.
2
5n=
1
00.
20.
1
5
n
=
30.
10.
0
5
n
=
10-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5-5-4-3-2-101234500
.
0
50
.
10
.
1
50
.
20
.
2
50.
30
.
3
50
.
4n=
1n=
3n=
1
0N
(
0
,
1
)t
-分布的密度曲線t
-分布的密度曲線關(guān)于y軸對(duì)稱n增大隨著n的增大,t
-分布的密度曲線越陡n
fi
￥
時(shí)，t
-分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N
(0,1)a
ata
(n)
t1-a
(n)記為ta
(n)a即P{T
￡
t
(n)}
=
a若T
~
t(n)則"0
<a
<1稱P{T
￡
x}=a的解為t(n)的a
-分位數(shù)對(duì)于P{T
>x}=a
稱其解x
=t1-a
(n)為t(n)分布的上側(cè)分位數(shù)P{T
>
x}
=
1
-
P{T
￡
x}=
a
P{T
￡
x}
=
1
-
ax
=
t1-a
(n)由t
-分布的對(duì)稱性-
ta
(n)
=
t1-a
(n)查分位數(shù)的重要公式P{T
￡
-
x}
=
P{T
?
x}查表求下列臨界值=
1.8331若T
~
t(9)即x
=t0.01
(9)=
-t0.99
(9)
=
-2.821t0.05
(9)
=
-t0.95
(9)=
-1.8331t0.025
(9)
=
-t0.975
(9)
=
-2.2622則x
=
t0.99
(9)
=
2.821則P{T
￡
x}=0.01例3t0.95
(9)t0.975(9)
=
2.2622若P{T
<x}=0.99若P{T
>x}=0.99則P{T
<x}=0.975若P{|
T
|<x}=0.95即x
=
t0.975
(9)
=
2.2622設(shè)隨機(jī)變量
X
~
N
(2,1),例4
隨機(jī)變量
Y1
,Y2
,Y3
,Y4
均服從
N
(0,4),
且
X
,Yi(i
=
1,2,3,4)
都相42
iY互獨(dú)立,令T
=4(X
-2),試求T的分布,i
=1并確定
t0
的值,
使
P{|
T
|>
t0
}
=
0.01.解
由于
X
-
2
~
N
(0,1),Yi
/
2
~
N
(0,1),
i
=
1,2,3,4,故由t
分布的定義知424
44
22Y
ii
=1i
=1
2
i
=1
4
Yi
Yi
T
=
4(
X
-
2)
=
X
-
2
=
X
-
2
~t(4),424
44
22Yi
i
=1
i
=1
4
i
=1
2
Yi
Yi
T
=
4(
X
-
2)
=
X
-
2
=
X
-
2
~t(4),即T
服從自由度為4的t
分布:T
~
t(4).由P{|
T
|>
t0
}
=
0.01.t0
=
t0.995
(4)
=
4.6041.Y
/
n則稱隨機(jī)變量F
=X
/m
服從自由度分別為m,n的F
-分布Y
/
n記為
F
=
X
/
m
~
F
(m,
n)m,n分別為第一和第二自由度三、F
分布F
分布的定義及概率密度設(shè)隨機(jī)變量
X
~
c
2
(m
),Y
~
c
2
(n),
X
,Y相互獨(dú)立10
.
90
.
8
F
(
2
0
,
2
0
)
0
.
70
.
60
.
50
.
40
.
30
.
20
.
100 0
.
5
1 1
.
5
2 2
.
5
310
.
90
.
8
F
(
2
0
,
2
0
)
0
.
70
.
60
.
50
.
40
.
3F
(
1
0
,
1
0
)
0
.
20
.
100 0
.
5
1 1
.
5
2 2
.
5
30 0
.
5
1 1
.
5
2 2
.
530
.
100
.
20
.
40
.
30
.
70
.
60
.
50
.
810
.
9F
(
2
0
,
2
0
)
F
(
1
0
,
1
0
)
F
(
5
,
5
)
m,n增大F
-分布密度曲線從F
-分布密度曲線中可知隨著m
,n的增大,密度曲線越來(lái)越陡服從F
-分布的隨機(jī)變量的取值集中在1附近m
,n
fi
￥
時(shí),密度曲線將近似地關(guān)于x
=1對(duì)稱Fa
(m,
n)
F1-a
(m,
n)若F
~
F
(m,
n)則"0
<a
<1稱P{F
￡
x}=a的解為F
-分布的a
-分位數(shù)記為F
(m,
n)a即P{F
￡
Fa
(m,n)}=a稱P{F
>x}=a的解x
=F1-a
(m,n)為F
-分布的上側(cè)分位數(shù)即P{F
>
F1-a
(m,
n)}
=
a
或P{F
￡
F1-a
(m,
n)}
=
1
-aaa定理若F
~
F
(m,
n)
則"
0
<
a
<
1,
有1F
(n,
m)a1-a且
F
(m,
n)
=1~
F
(n,
m
),FFX
/
mY
/
n又
P{F
￡
Fa
(m,
n)}
=
a證明:
因?yàn)镕
=
X
/
m
~
F
(m,
n),
則
1=
Y
/
n
~
F
(n,
m)1F
Fa
(m,
n)則
P{
1
?1}=
1
-
P{
1
￡}
=
aa}
=
1
-
a1F
F
(m,
n)P{
1
￡F
Fa
(m,
n)1F
(m,
n)a1-a=
F
(n,
m)0.025F0.05
(10,8)
=例5
查表求下列分位數(shù)F0.95
(10,8)
=
3.35F0.99
(10,8)
=
5.811
1=3.85=F0.95
(8,10)
3.071
1F0.975
(8,10)F
(10,8)
==
0.3257=
0.2597x
=
F0.975(15,12)
=
3.18例6
若F
~
F
(15,12),
求x，使下列等式成立
.(1)
P{F
￡
x}
=
0.975(2)
P{F
>
x}
=
0.975P{F
￡
x}
=
0.0250.02510.975F
(12,15)x
=
F
(15,12)
=2.961==
0.3378例7
設(shè)總體
X
服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,
X1
,
X
2
,
,
Xn是來(lái)自總體X
的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,試問(wèn)統(tǒng)計(jì)量
5
-
1XnY
=5
n=1
i
=6
i
i
2
2i252X
,n
>5
服從何種分布?nii
=1
i
=6iX
~
c
(5),
X
~
c
2
(n
-
5),且解
因?yàn)?/p>
X
~
N
(0,1),
2
i5i=12iX與
nXi=62i相互獨(dú)立, 所以5X
(n
-
5)
~
F
(5,
n
-
5),X
5n
2ii
=6
2ii
=1再由統(tǒng)計(jì)量Y
的表達(dá)式,
即得
Y
~
F
(5,
n
-
5).作業(yè)P156
練習(xí)6.21.
2.6.3
抽樣分布一、一個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布二、二個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)(
X1
,
X
2
,
,
Xn
)為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本且EX
=
m,
DX
=
s
2
inX
=
n
n
inX
S
=i
=1
i
=122(
X
-
X
)1
1
n
iS
=i
=12*
2(
X
-
X
)n
-
11樣本均值 樣本方差樣本修正方差X
,S
2
,S
*
2仍是隨機(jī)變量它們的數(shù)學(xué)期望或方差為1n
iE(
X
)
=
E(X
)=n
iEXni
=11=
n
nm
=
m1n1=1i
=1nn
iD(
X
)
=
D(
Xi
)
=nn211n2
DXi
=i
=11s
2nns
2
=一、一個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布122n
i
=1inE(
S
)
=
E[(
X
-
X
)
]=nin
i
=12
E(
X
-
X
)1=ni2E[(
X1-
m)]-
m)
-
(
Xn122
=
i
=1ni
=1ii-
2(
X-
m)
]-
m)
+
(
X-
m)(
XE[(
X
-
m)n1=nii+
DX
][DX
-
2E(
X
-
m)(
X
-
m)n12
=
i
=1ni
=1ns
2[s
-
2E(
Xi
-
m)(
X
-
m)
+
n
]ninn
i
=11=
-2(n
+
1)s
2E(
X
-
m)(
X
-
m)
+ninn
i
=11=
-2E[(
X
-
m)(
X
-
m)]
+nn(n
+
1)s
2n
i
=11E
(
S
2
)=
-2(n
+
1)s
2
E(
Xi
-
m)(
X
-
m)
+n2(n
+
1)s
2=
-2E[(
X
-
m) ]
+n(n
+
1)s
2=
-2DX
+nns
2(n
+
1)s
2=
-2
+n(n
-
1)s
2=nn
-
1E(
S
*
2
)
=
E(nn
-
1S
2
)
=E(
S
2
)
=
s
2E(
X
)
=
mns
2D(
X
)=nE(S
2
)
=
(n
-1)
s
2E(S*2)
=s2因此(3)nS
2
niXni
=11(2)
X
=定理s
2~
N
(m,
n
)=n
ii
=12(
X
-
X
)1s
2
s
2~
c
2
(n
-
1)s
2(n
-
1)S
*
2~
c
2
(n
-
1)或設(shè)(X1
,X
2
,
,Xn
)為來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)樣本總體X
~
N
(m,s
2
),
則(1)
X與S
2相互獨(dú)立-------(1)-------(2)n取不同值時(shí)樣本均值X
的分布1nnis
2X
~
N
(m,
n
)
i
=1X
=的分布s
22n取不同值時(shí)(n
-1)S
*2==(
X
-
X
)nS
2
(n
-
1)S
*
2
1n
i
=1i~
c
2
(n
-
1)s
2s
2s
2S
/
n
-
1T
=
X
-
m~
t(n
-
1)推論設(shè)(X1
,X
2
,
,Xn
)為來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)樣本總體X
~
N
(m,s
2
),
則(1)
則由s
2式X
~
N
(m,
n
),
可知隨機(jī)變量(1)U
=
X
-
m~
N
(0,1)(2)nS
2~
c
2(n
-1),可知隨機(jī)變量s
2s
/
n又由(2)式/(n
-
1)nS
U
2s
2/(n
-
1)nS
2s
2X
-
mS
/
n
-
1=
s
/
n
=
X
-
m
事實(shí)上例1
設(shè)21
2
25X
~
N
(21,2
),
X
,
X
,
,
X為X的一個(gè)樣本,
求:(1)
樣本均值
X
的數(shù)學(xué)期望與方差;(2)
P{|
X
-
21
|￡
0.24}.解(1)
由于
X
~
N
(21,22
),
樣本容量
n
=
25,25
X
~
N
21,
22
,所以于是252=
0.42.E(
X
)
=
21,
D(
X
)
=
2
0.4(2)
P{|
X
-
21
|￡
0.24}
=
P
X
-
21
￡
0.6
=
2F
(0.6)
-
1
=
0.4514.例2在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí),重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差.對(duì)于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布N
(m,s
2
),這里s
2
=100米2
,現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗(yàn),用S
*2
記這25次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本修正方差,試求超過(guò)50
米2
的概率.S
*2解根據(jù)題意,
有(n
-
1)S
*2~
c
2
(n
-
1),s
2于是
>2s
2s
2(n
-
1)50
(n
-
1)S
*2>
50}
=
P
P{S
*
10024
·
502=
1
-
P
c
(24)
￡=
1
-
P{c
2
(24)
￡
12}?
0.975.于是我們可以以超過(guò)97.5%的概率斷言,S
*2
超過(guò)50
米2
.例3
從正態(tài)總體
N
(m,0.52
)
中抽取容量為
10
的X
是樣本的均值,
若
未樣本X1
,X
2
,
,X10
.知, 計(jì)算概率
102?
4.575
i
=1
iP(
X
-
m)
2
10
i
=1
i(
X
-
X
)
<
4.225
.與P解由
X
~
N
(m,0.52
),
有
(
Xi
-
m
)
/
0.5
~
N
(0,1),0.5102210
=
4
=1
i
=1iii(
X
-
m
) ~
c
2
(10),X
-
m0.5102210~
c
2
(9),
=
4
i
=1ii=1
i(
X
-
X
)X
-
X而1022
?
18.3
,
10i
=1
i
=1?
4.575
=
P
4
(
Xi
-
m)P
(
Xi
-
m)故~41022102
i
=1ii
=1i(
X
-
X
) ~
c
2
(9),(
X
-
m)
c
(10)
,
4=1-
P{c2
(10)
￡18.3
}=
1
-
0.95
=
0.05;
10
2
i
=1
P
(
Xi
-
X
)
<
4.225
10
2i
=1
i(
X
-
X
)
<
16.9=
P
4=
P{c
2
(9)
￡
16.9
}
=
0.95.0.95(10)
=
18.3,c
20.95(9)
=
16.9,c
2例4
從正態(tài)總體
X
~
N
(m,s
2
)
中抽取容量為
162的一個(gè)樣本,
X
,
S
*
分別為樣本均值和樣本修正D(
S
*2
)及概率P{S
*2
/
s
2
￡
2.041}.解根據(jù)題意,得(n
-
1)S
*2
~
c
2
(n
-
1),s
2所以2
=
n
-
1,
(n
-
1)S
*2
E
s
(n
-
1)S
*2
D
=
2(n
-
1),s
2若m,s
2
均未知,求:S
*2
的方差于是E(
S
*2
)
=
s
2
,D(
S
*2
)
=
2s
4
/(n
-
1).方差.當(dāng)n
=16
時(shí),P{S
*2
/
s
2
￡
2.041}
=
P{15S
*2
/
s
2
￡
30.615}?
0.990.99(c
2
(15)
=
30.6).(n
-
1)S
*2~
c
2
(n
-
1),s
2m
n(1)s
2
s
2 1
+
2
U
=
X
-
Y
-
(m1
-
m2
)~
N
(0,1)二、二個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布定理設(shè)(X1
,X
2
,
,Xm
)為來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)樣本(Y1
,Y2
,
,Yn
)為來(lái)自正態(tài)總體Y的一個(gè)樣本且X
~
N
(m
,
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