三重積分習(xí)題課重點：1.計算；2.應(yīng)用

三重積分習(xí)題課重點：1.計算；2.應(yīng)用1上邊界曲面（上頂）下邊界曲面（下底）xOy坐標面上的投影區(qū)域一、利用直角坐標系計算三重積分

“先一后二”（一）先投影，再確定上、下面上邊界曲面（上頂）下邊界曲面（下底）xOy坐標面上的投影區(qū)2

x0z

yc1c2

.“先二后一”zDz

（二）坐標軸投影法[c1,c2]:向z軸的投影區(qū)間

Dz:

過z[c1,c2]且垂于z軸的平面截得到的截面

x0zyc1c2.“先二后一”zDz（二）坐標軸投影30xz

yM(x,y,z)M(r,

,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐標M(x,y,

z)

M(r,

,

z)

z=z..

二、利用柱面坐標計算三重積分0xzyM(x,y,z)zrP(x,y,0)xyz4xz

y0

drrrd

d

z底面積：rdrd

元素區(qū)域由六個坐標面圍成：半平面

及+d

;

半徑為r及

r+dr的圓柱面；

平面z及

z+dz；dzdV=.柱面坐標下的體積元素.dVxzy0drrrddz底面積：rdrd元素區(qū)域50xz

yM(x,y,z)M(r,

,

)r

Pyxz.

..球面坐標

三、利用球面坐標計算三重積分0xzyM(x,y,z)rPyxz...球面坐標6r

drd

xz

y0

d

rd

元素區(qū)域由六個坐標面圍成：rsin

d

球面坐標下的體積元素.半平面

及+d

；

半徑為r及r+dr的球面；圓錐面

及+d

r2sin

drd

d

dVdV=rdrdxzy0drd元素區(qū)域由六個坐標面圍成7(一)平面區(qū)域的面積設(shè)有平面區(qū)域D,(二)體積設(shè)曲面方程為則D上的曲頂柱體體積為:則其面積為:占有空間有界域

的立體的體積為:重積分在幾何上的應(yīng)用(三)曲面的面積(一)平面區(qū)域的面積設(shè)有平面區(qū)域D,(二)體積8(1)平面薄片的質(zhì)心重積分在物理上的應(yīng)用(一)質(zhì)(重)心(2)空間物體的質(zhì)心

(1)平面薄片的質(zhì)心重積分在物理上的應(yīng)用(一)質(zhì)(重)心(9(1)平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量(二)轉(zhuǎn)動慣量(1)平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量(二)轉(zhuǎn)動慣量10(2)空間物體的轉(zhuǎn)動慣量則轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)(2)空間物體的轉(zhuǎn)動慣量則轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)物體占有空間域,有11設(shè)物體占有空間區(qū)域V,體密度為區(qū)域V之外有一質(zhì)量為m的質(zhì)點A(a,b,c),求物體V對質(zhì)點A的引力.(三)引力其中G為萬有引力系數(shù)。引力F在三個坐標方向上的分量為設(shè)物體占有空間區(qū)域V,體密度為區(qū)域V之外有一質(zhì)量為m12三重積分可以用直角坐標、柱面坐標和球面坐標來計算.其方法都是將三重積分化為三次積分.

三重積分的計算將三重積分化為三次積分關(guān)鍵：

根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇合適的坐標系;畫出投影域、確定積分序;定出積分限、計算要簡便.三重積分可以用直角坐標、柱面坐標和球面坐標三重積分13z

0xy1化為球系下的方程r=2

cos

.M.r

例1例題z0xy1化為球系下的方程r=2cos.M.r例114例1

解利用球面坐標例1解利用球面坐標15z=0y=0x=00yx畫圖x0z

y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1圍成1...例2：x+2y+z=1DxyI=z=0y=0x=00yx畫圖x0zy11Dxy16x0z

y11Dyz...例3：x+y+z=1I=

解

直接積分困難，考慮改變積分次序x0zy11Dyz...例3：x+y+z=1I17例4

解例4解18ayxzo例5ayxzo例519xyzoDS=D

:...例5xyzoDS=D:...例520...例5

解S=...例5解S=21解先算前面部分的面積A1由求交線求柱面所截剩下部分的面積.被錐面例8解先算前面部分的面積A1由22三重積分習(xí)題課課件23解球例9解球例924三重積分習(xí)題課課件25解柱面坐標例10旋轉(zhuǎn)曲面方程為解柱面坐標例10旋轉(zhuǎn)曲面方程為26旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程27測驗題AB測驗題AB28B