第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布知識點一均值與方差1．均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：則稱E(X)＝

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝

.(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝

；②若X～B(n，p)，則E(X)＝

.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平aE(X)＋bpnp2．方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為平均偏離程度a2D(X)p(1－p)np(1－p)

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溫馨提醒

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A知識點二正態(tài)分布1．正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸

，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線

對稱；上方x＝μx＝μ

1(5)當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“

”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“

”，表示總體的分布越

．瘦高矮胖分散2．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝

；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝

；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝

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溫馨提醒

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1．在N(μ，σ2)中，第二個數(shù)是σ2，而不是σ.2．若X～N(μ，σ2)，則隨機(jī)變量X在μ的附近取值的概率很大，在離μ很遠(yuǎn)處取值的概率很?。?/p>

.0．68260．95440．99741．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝，則P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.954 B．0.977C．0.488 D．A2．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(

)(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%B3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X～N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________.題型一離散型隨機(jī)變量的均值與方差合作探究[例]

(2021·八省聯(lián)考模擬卷)一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為，各部件的狀態(tài)相互獨立．(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個需要調(diào)整的概率；(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解析]

(1)設(shè)部件1需要調(diào)整為事件A，部件2需要調(diào)整為事件B，部件3需要調(diào)整為事件C，由題意可知：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝0.3.部件1,2中至少有1個需要調(diào)整的概率為：1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－×＝1－＝0.28.(2)由題意可知X的取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝，

P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]·P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]·P(C)＋[1－P(A)]P(B)P(C)＝××＋××＋××＝0.092.P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，故X的分布列為：1.求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計算．2.注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用.題型二正態(tài)分布合作探究

[例]

(2021·合肥市高三二檢)為了解A市高三學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測考試，并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，試估計該市參加此次檢測考試的理科學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績μ0；(精確到個位)(2)研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測考試的理科數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝μ0，σ＝19.3.①按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到升一本分?jǐn)?shù)要求的學(xué)生約占46%，據(jù)此估計在本次檢測考試中達(dá)到升一本的理科數(shù)學(xué)成績是多少分？(精確到個位)[題組突破]1．(多選題)(2021·山東濟(jì)南模擬)已知在某市的一次學(xué)情檢測中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100,100)，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則下列說法正確的是(

)附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9973.A．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的期望為100B．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為100

ACC．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率超過D．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等答案：32題型三均值方差的實際應(yīng)用合作探究[例]某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了去年該機(jī)構(gòu)所有消費者的消費金額(單位：元)，如圖所示：(1)現(xiàn)從去年的消費金額超過3200元的消費者中隨機(jī)抽取2人，求至少有1位消費者去年的消費金額在(3200，4000]內(nèi)的概率；(2)針對這些消費者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實施入會制，詳情如下表：預(yù)計去年消費金額在(0,1600]內(nèi)的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在(1600,3200]內(nèi)的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在(3200,4800]內(nèi)的消費者都將會申請辦理金卡會員，消費者在申請辦理會員時，需一次性繳清相應(yīng)等級的消費金額，該健身機(jī)構(gòu)在今年年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：方案1：按分層抽樣從普通會員、銀卡會員、金卡會員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”給予獎勵：普通會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎勵500元；銀卡會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎勵600元；金卡會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎勵800元．方案2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從一個裝有3個白球、2個紅球(球只有顏色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個球，若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得200元獎勵金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎勵金；其他情況不給予獎勵，規(guī)定每位普通會員均可參加1次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加2次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加3次摸獎游戲(每次摸獎的結(jié)果相互獨立)．請你預(yù)測哪一種返利活動方案該健身機(jī)構(gòu)的投資較少？并說明理由．

利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個方略(1)當(dāng)均值不同時，兩個隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策．(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？邏輯推理——期望與方差的創(chuàng)新交匯應(yīng)用問題離散型隨機(jī)變量的期望多在解答題中考查．除獨立考查外，還與正態(tài)分布，統(tǒng)計等交匯考查．[例]

(2019·高考全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．[解析]

(1)X的所有可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為(2)①證明：由(1)得a＝，b＝，c＝，因此pi＝pi－1＋pi＋pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比為4，首項為p1的等比數(shù)列．②由①可得p8＝p8－p