2023/9/21狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER※線性系統(tǒng)的控制性控制性(controllability)和觀測(cè)性(observability)的觀念首先由卡曼(Kalman)提倡用於現(xiàn)代控制理論中，它在理論和實(shí)際兩方面都扮演著極重要的角色?？刂菩院陀^測(cè)性的條件?？蓻Q定最佳控制問(wèn)題解答之存在性。此即最佳控理論與古典控制理論的基本差異。在古典控制理論中，設(shè)計(jì)的技巧以試誤法為主。古典控制理論是給定一組設(shè)計(jì)規(guī)格，在開(kāi)始時(shí)設(shè)計(jì)者並不知道解答是否存在。大多數(shù)的最佳控制理論針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)與設(shè)計(jì)的目標(biāo)，具有在設(shè)計(jì)之初就能判斷解答是否存在的標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)的控制性之條件與狀態(tài)回授的解之存在性關(guān)係密切，我們可任意放置系統(tǒng)的特徵值使其達(dá)到控制目的。輸出變數(shù)通常是可量測(cè)的，故觀測(cè)性的觀念與是否可由輸出變數(shù)來(lái)觀測(cè)或估計(jì)狀態(tài)變數(shù)的條件有關(guān)。

★狀態(tài)回授控制系統(tǒng)1.系統(tǒng)方塊圖：圖5-14。2.圖5-14(a)中的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性方程式：(5-223)2023/9/22狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER3.狀態(tài)變數(shù)經(jīng)由常數(shù)矩陣K回授回來(lái)形成一閉迴路系統(tǒng)：(5-224)K為具有常數(shù)元件的p

n

回授矩陣4.閉迴路系統(tǒng)可表示為(5-225)圖5-14(a)狀態(tài)回授控制系統(tǒng)，(b)具有觀測(cè)器和狀態(tài)回授的控制系統(tǒng)這種問(wèn)題也稱(chēng)為經(jīng)由狀態(tài)回授的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)(pole-placementdesign)。5.設(shè)計(jì)目標(biāo)是找出回授矩陣K，使閉迴路系統(tǒng)(A–BK)的特徵值保持於某一事先設(shè)定的值。6.對(duì)於任意指定的極點(diǎn)，經(jīng)由狀態(tài)回授的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)，其解的存在性直接與系統(tǒng)狀態(tài)的控制性有關(guān)。7.若(5-225)式的系統(tǒng)為可控制，則必存在一常數(shù)回授矩陣K，使得(A–BK)的特徵值可任意配置。2023/9/23狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER8.

設(shè)計(jì)和建構(gòu)一個(gè)觀測(cè)器

(observer)，以便能從輸出向量

y(t)來(lái)估測(cè)狀態(tài)向量。圖

5-14(b)所示為具有觀測(cè)器的閉迴路系統(tǒng)方塊圖。觀測(cè)或估測(cè)到的狀態(tài)向量

(t)

，經(jīng)由回授矩陣K可產(chǎn)生控制u(t)。存在此種觀測(cè)器的條件稱(chēng)為系統(tǒng)的觀測(cè)性?！锟刂菩缘囊话阌^念1.線性非時(shí)變系統(tǒng)方塊圖：圖5-15。2.若系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)變數(shù)可以在有限的時(shí)間內(nèi)，被某一無(wú)限制(unconstrained)的控制u(t)所控制來(lái)達(dá)到某些目的時(shí)，則稱(chēng)此系統(tǒng)為完全可控制的(completelycontrollable)。圖5-15線性非時(shí)變系統(tǒng)3.只要存在著一個(gè)不可控制的狀態(tài)，系統(tǒng)就稱(chēng)為非完全可控制的或簡(jiǎn)稱(chēng)不可控制的。4.圖5-16說(shuō)明具有兩個(gè)變數(shù)的線性系統(tǒng)狀態(tài)圖。因?yàn)榭刂苪(t)只影響狀態(tài)x1(t)而

x2(t)是不可控制的。換句話說(shuō)，以任何的控制u(t)不可能在有限的時(shí)間區(qū)間(tf

t0)由起始狀態(tài)x2(t0)來(lái)推動(dòng)x2(t)至所要的狀態(tài)x2(tf)。因此，整個(gè)系統(tǒng)稱(chēng)為不可控制的。狀態(tài)控制性(statecontrollability)2023/9/24狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-16非狀態(tài)可控制系統(tǒng)的狀態(tài)圖★狀態(tài)控制性的定義1.線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式：

(5-226)(5-227)x(t)為n

1的狀態(tài)向量，u(t)為r

1的輸入向量，y(t)為p

1的輸出向量，而A，B，C

和D

為適當(dāng)維度的係數(shù)矩陣。2.若在一有限時(shí)間(tf

t0)0內(nèi)存在一片段連續(xù)輸入u(t)，驅(qū)使?fàn)顟B(tài)x(t0)至任何最終狀態(tài)x(tf)時(shí)，稱(chēng)狀態(tài)x(t)在t=t0

為可控制的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)x(t0)在一有限時(shí)間區(qū)間是可控制的，則稱(chēng)此系統(tǒng)為完全狀態(tài)可控制的或簡(jiǎn)稱(chēng)可控制的。■定理5-1若(5-226)式的狀態(tài)方程式所描述的系統(tǒng)為完全狀態(tài)可控制的，則下列n

nr

矩陣的秩為n

是其充分且必要的條件︰(5-228)有時(shí)稱(chēng)[A，B]為可控制的，這表示S

的秩為n。2023/9/25狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER

若S不是方矩陣，我們可以建構(gòu)一個(gè)n

n

的矩陣SS'。若SS'

為非奇異的，則S

的秩為n?！龆ɡ?-2對(duì)於以狀態(tài)方程式(5-226)式r=1所描述的單輸入-單輸出(SISO)系統(tǒng)，若A和B是CCF或可用相似轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)成CCF，則[A，B]是完全可控制的?！龆ɡ?-3對(duì)於以狀態(tài)方程式(5-226)式所描述的系統(tǒng)，若A為DCF或JCF，且對(duì)應(yīng)於每一個(gè)喬頓方塊最後一列矩陣B的列，其所有的元素皆不為零，則[A，B]為完全可控制的。Ex.針對(duì)一個(gè)JCF的系統(tǒng)，例如(5-229)式的矩陣A和B要證明其為可控制的，僅須對(duì)應(yīng)於喬頓方塊最後一列矩陣B的列，其所有的元素皆不為零即可。(5-229)因此，(5-229)式中A和B可控制性的條件為b31

0，b32

0，b41

0和b42

0。?例題5-18某一系統(tǒng)狀態(tài)方程式的係數(shù)矩陣為(5-230)試問(wèn)此系統(tǒng)是否為可控制？2023/9/26狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER<Sol.>這個(gè)系統(tǒng)是不可控制的，因其兩個(gè)狀態(tài)方程式是相依的，亦即要獨(dú)立地控制各個(gè)狀態(tài)是不可能的。我們可以很容易地證明S=[BAB]在此是奇異的。奇異的!?例題5-19考慮圖5-16中的系統(tǒng)，試討論此系統(tǒng)的可控制性。<Sol.>1.系統(tǒng)的狀態(tài)方程式的係數(shù)矩陣：(5-231)2.由(5-228)式，控制性矩陣為(5-232)S是奇異的，因此系統(tǒng)為不可控制的。?例題5-20考慮一個(gè)三階的系統(tǒng)，其係數(shù)矩陣為(5-233)試討論此系統(tǒng)的可控制性。

2023/9/27狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER<Sol.>1.控制性矩陣為(5-234)S是奇異的，因此系統(tǒng)為不可控制的。

另一種檢測(cè)方法：2.A的特徵值為

1

=2，

2=2

和

3

=1。3.相似轉(zhuǎn)換：以x(t)=T

(t)轉(zhuǎn)換可得到

A和

B的

JCF，其中

(5-235)(5-236)因?yàn)?/p>

的最後一列對(duì)應(yīng)於特徵值

3

的喬頓方塊，其中的元素值為零。所以轉(zhuǎn)換後為不可控制的。

狀態(tài)變數(shù)由

(5-235)式中的轉(zhuǎn)換矩陣

T可知

x2=，其意為原系統(tǒng)的

x2

是不可控制的。

喬頓方塊內(nèi)1前面的負(fù)號(hào)並不會(huì)影響該方塊的基本定義。2023/9/28狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER※線性系統(tǒng)的觀測(cè)性1.就本質(zhì)上言，若系統(tǒng)的每一狀態(tài)變數(shù)都會(huì)影響到某些輸出，則系統(tǒng)為完全可觀測(cè)的。換言之，可由量測(cè)輸入和輸出以獲得關(guān)於狀態(tài)變數(shù)的資料。2.若任一狀態(tài)不能由測(cè)量輸出來(lái)觀測(cè)，則稱(chēng)此狀態(tài)為不可觀測(cè)的，而稱(chēng)系統(tǒng)為非完全可觀測(cè)的或簡(jiǎn)稱(chēng)不可觀測(cè)的。3.圖5-17

所示的線性系統(tǒng)狀態(tài)圖，其中狀態(tài)x2

並沒(méi)有以任何方法連接至輸出y(t)。一旦我們測(cè)量y(t)，就可觀測(cè)x1(t)，因?yàn)閤1(t)=y(t)。但狀態(tài)x2

並不能由y(t)觀測(cè)出任何資料。因此，系統(tǒng)為不可觀測(cè)的。圖5-17不可觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)圖★觀測(cè)性的定義1.線性非時(shí)變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式：(5-226)(5-227)2023/9/29狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER2.如果已知任一輸入u(t)，存在一個(gè)有限時(shí)間tf

t0

，使得我們依據(jù)在t0

t<tf的u(t)

，及A，B，C和D矩陣，以及在t0

t<tf

的輸出y(t)即足以決定x(t0)，我們稱(chēng)此

x(t0)狀態(tài)為可觀測(cè)的。觀測(cè)性的條件和系統(tǒng)的係數(shù)矩陣A和C有關(guān)■定理5-4以(5-226)式和(5-227)式的動(dòng)態(tài)方程式所描述的系統(tǒng)若為完全可觀測(cè)的，則下列n

np觀測(cè)矩陣的秩為n

是其充要條件︰(5-237)此條件也稱(chēng)為[A，C]對(duì)為可觀測(cè)的若系統(tǒng)僅有一個(gè)輸出，C為1

n

矩陣；則V為n

n

方矩陣。若V為非奇異的，則系統(tǒng)為完全可觀測(cè)?！镉^測(cè)性的其它測(cè)試法■定理5-5對(duì)於動(dòng)態(tài)方程式(5-226)式和(5-227)式所描述的單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)(即r=1與p=1)，若A和C是OCF或可用相似轉(zhuǎn)換變成OCF，則[A，C]為完全可觀測(cè)的。2023/9/210狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER■定理5-6對(duì)於動(dòng)態(tài)方程式(5-226)式和(5-227)式所描述的系統(tǒng)，若A是DCF或JCF。且對(duì)應(yīng)於每一個(gè)喬頓方塊第一列之C的行，其所有元素皆不為零，則[A，C]為完全可觀測(cè)的。

若系統(tǒng)的特徵值皆互不相同，亦即A為對(duì)角矩陣，則可觀測(cè)性的條件為沒(méi)有任何C

的一行其元素全為零。?例題5-21

考慮圖5-17中的系統(tǒng)，其早先被定義為不可觀測(cè)的。以(5-226)式和(5-227)式的形式來(lái)表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式，而有(5-238)試問(wèn)此系統(tǒng)是否具有可觀測(cè)性？圖5-17不可觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)圖<Sol.>2023/9/211狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER1.觀測(cè)性矩陣：(5-239)它是奇異的。因此[A，C]為不可觀測(cè)的。2.因?yàn)锳為DCF且C的第二行為零，所以狀態(tài)x2(t)為不可觀測(cè)的?！刂菩?，觀測(cè)性和轉(zhuǎn)移函數(shù)之間的關(guān)係■定理5-7如果一個(gè)系統(tǒng)輸入-輸出之間的轉(zhuǎn)移函數(shù)有極點(diǎn)-零點(diǎn)對(duì)消，則這個(gè)系統(tǒng)不是不可控制就是不可觀測(cè)，甚至兩者皆是，完全視狀態(tài)變數(shù)如何定義而定。另一方面，如果這個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)沒(méi)有極點(diǎn)-零點(diǎn)對(duì)消，則可以用完全可控制且可觀測(cè)的動(dòng)態(tài)方程式來(lái)描述系統(tǒng)。

若以轉(zhuǎn)移函數(shù)建立一個(gè)系統(tǒng)的模型而沒(méi)有極點(diǎn)-零點(diǎn)對(duì)消，則無(wú)論是如何導(dǎo)出狀態(tài)變數(shù)模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測(cè)的。Ex.某一SISO系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)方程式的係數(shù)矩陣如下所示：(5-240)試問(wèn)此系統(tǒng)是否具有可觀測(cè)性或可控制性？2023/9/212狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER<Sol.>1.因?yàn)锳是對(duì)角矩陣，其四個(gè)狀態(tài)變數(shù)的控制性與觀測(cè)性的狀況可用目視法決定如下︰x1：可控制且可觀測(cè)的(C且O)x2：可控制但不可觀測(cè)的(C但UO)x3：不可控制但可觀測(cè)的(UC但O)x4：不可控制且不可觀測(cè)的(UC且UO)2.代表系統(tǒng)DCF分解的系統(tǒng)方塊圖：圖5-18。

3.此可控制且可觀測(cè)的系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移函數(shù)為(5-241)而對(duì)應(yīng)於(5-240)式所描述的動(dòng)態(tài)特性之轉(zhuǎn)移函數(shù)為(5-242)有三個(gè)極點(diǎn)-零點(diǎn)對(duì)消。這個(gè)單純的例子在說(shuō)明︰沒(méi)有極點(diǎn)-零點(diǎn)對(duì)消且是最小階數(shù)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，是唯一對(duì)應(yīng)一可控制且可觀測(cè)系統(tǒng)的成分。2023/9/213狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-18(5-240)式所描述系統(tǒng)的方塊圖，它顯示了系統(tǒng)可控制、不可控制、可觀測(cè)及不可觀測(cè)的成分2023/9/214狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER?例題5-22

試考慮轉(zhuǎn)移函數(shù)：(5-243)試問(wèn)此轉(zhuǎn)移函數(shù)所代表的系統(tǒng)是否具有可觀測(cè)性或可控制性？<Sol.>(5-243)式可分解成CCF和OCF如下：[A]CCF:

(5-244)1.因?yàn)榭梢哉页鯟CF轉(zhuǎn)換，所以CCF的[A，B]是可控制的。2.觀測(cè)性矩陣：(5-245)它是奇異的，所以CCF的[A，C]是不可觀測(cè)的。[B]OCF:(5-246)1.因?yàn)榭梢宰龀鯫CF轉(zhuǎn)換，所以O(shè)CF的[A，C]是可觀測(cè)的。2.控制性矩陣：(5-247)它是奇異的，所以O(shè)CF的[A，B]為不可控制的。2023/9/215狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER

結(jié)論︰

給定一個(gè)以轉(zhuǎn)移函數(shù)建模的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的控制性與觀測(cè)性的狀況視其狀態(tài)變數(shù)如何定義而定?！刂菩耘c觀測(cè)性的不變定理■定理5-8相似轉(zhuǎn)換的不變定理1.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式：2.相似轉(zhuǎn)換x(t)=P(t)P為非奇異的動(dòng)態(tài)方程式轉(zhuǎn)成(5-248)(5-249)其中(5-250)的控制性與的觀測(cè)性不受轉(zhuǎn)換的影響。在相似轉(zhuǎn)換之下，控制性與觀測(cè)性可被保存下來(lái)。2023/9/216狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER■定理5-9

具有狀態(tài)回授之閉迴路系統(tǒng)的控制性定理

如果開(kāi)迴路系統(tǒng)(5-251)為完全狀態(tài)可控制，則經(jīng)由狀態(tài)回授(5-252)所得的閉迴路系統(tǒng)其狀態(tài)方程式變成(5-253)也是完全可控制。反之，若[A，B]為不可控制，則不可能有任何K存在使得[A

BK，B]為可控制。

換句話說(shuō)，若開(kāi)迴路系統(tǒng)為不可控制，則經(jīng)由狀態(tài)回授不可能使其成為可控制。<Sol.>1.[A，B]可控制的意義是指在區(qū)間[t0，tf

]

中存在有一控制u(t)，使起始狀態(tài)x(t0)能在有限時(shí)間區(qū)間tf

t0

內(nèi)被驅(qū)至最終狀x(tf)。2.將

(5-252)式寫(xiě)成(5-254)此即閉迴路系統(tǒng)的控制。3.若存在有一u(t)可在有限時(shí)間內(nèi)將x(t0)驅(qū)至任意的x(tf)，則(5-254)式意指r(t)也存在，而閉迴路系統(tǒng)也是可控制。4.若[A，B]為不可控制，意指不可能有u(t)存在使得在有限時(shí)間內(nèi)可將x(t0)驅(qū)至任意的x(tf)，則我們不可能找到一可驅(qū)動(dòng)x(t)之r(t)，否則，我們可如(5-252)式般設(shè)定u(t)來(lái)控制這個(gè)閉迴路系統(tǒng)。2023/9/217狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER■定理5-10具有狀態(tài)回授之閉迴路系統(tǒng)的觀測(cè)性定理若一個(gè)開(kāi)迴路系統(tǒng)為可控制及可觀測(cè)，則(5-254)式形式的狀態(tài)回授會(huì)破壞觀測(cè)性。換句話說(shuō)，開(kāi)迴路系統(tǒng)的觀測(cè)性和具有狀態(tài)回授之閉迴路系統(tǒng)的觀測(cè)性毫不相干。?例題5-23令一線性系統(tǒng)的係數(shù)矩陣為(5-255)利用狀態(tài)回授，試證明[A，B]為可控制的，而[A，C]為可觀測(cè)的。<pf.>1.令狀態(tài)回授定義為(5-256)其中(5-257)2.閉迴路系統(tǒng)是以下列狀態(tài)方程式來(lái)描述(5-258)(5-259)3.閉迴路系統(tǒng)的觀測(cè)性矩陣：(5-260)2023/9/218狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER4.V的行列式：(5-261)因此，若

k1

和

k2

的選擇是使

=0，這個(gè)閉迴路系統(tǒng)則成為不可控制的。

※最後的說(shuō)明例子︰磁浮球系統(tǒng)1.考慮圖5-19

中的磁浮球系統(tǒng)。此系統(tǒng)的目的在於調(diào)制電磁鐵的電流，使得球能懸浮在距電磁鐵末端一定距離之處。2.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式：(5-262)(5-263)(5-262)式為非線性的3.系統(tǒng)的變數(shù)與參數(shù)如下︰v(t)=輸入電壓(V) x(t)=球的位置(m)i(t)=繞組電流(A) k=比例常數(shù)=1.0R=繞組電阻=1

L=繞組電感=0.01HM=球的質(zhì)量=1.0kg g=重力加速度=9.8m/sec2

4.狀態(tài)變數(shù)定義為2023/9/219狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-19球懸浮系統(tǒng)(5-264)5.狀態(tài)方程式：(5-265)(5-266)(5-267)6.線性化參考平衡點(diǎn)x1(t)=x(t)=0.5m，將這些方程式線性化。在代入?yún)?shù)值後，線性化後的線性方程式為(5-268)

x(t)與

v(t)分別代表線性化系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入電壓。7.係數(shù)矩陣：2023/9/220狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER(5-269)8.分析：以下進(jìn)行的所有計(jì)算，皆可用計(jì)算機(jī)程式，如MATLAB工具盒來(lái)執(zhí)行。1)特性方程式：(5-270)2)特徵值：A*的特徵值，或特性方程式的根為3)狀態(tài)變換矩陣A*的狀態(tài)變換矩陣(5-271)或(5-272)2023/9/221狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER狀態(tài)變換矩陣變成(5-273)進(jìn)行部份分式展開(kāi)並取反拉氏轉(zhuǎn)換因?yàn)?5-273)式的最後一項(xiàng)有正指數(shù)，所以

(t)的響應(yīng)隨時(shí)間而增加，即系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。4)轉(zhuǎn)移函數(shù)：令磁浮球的位置x(t)當(dāng)做輸出y(t)，v(t)為輸入(5-274)9.控制性：1)控制性矩陣為(5-275)2023/9/222狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER2)因?yàn)镾的秩為3，所以系統(tǒng)為完全可控制的。10.觀測(cè)性1)為了要做狀態(tài)回授控制(於第十章討論)，完整的控制器須要回授三個(gè)狀態(tài)變數(shù)x1，

x2

和x3。2)討論：a.y(t)=球的位置=x(t)︰C*=[100]觀測(cè)性矩陣：(5-276)秩為3，所以系統(tǒng)為完全可觀測(cè)的。b.y(t)=球的速度=dx(t)/dt︰C*=[010]

觀測(cè)性矩陣：(5-277)秩為3，所以系統(tǒng)為完全可觀測(cè)的。2023/9/223狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTERc.

y(t)=線圈電流=i(t)︰C*=[001]觀測(cè)性矩陣：(5-278)秩為1，因此系統(tǒng)為不可觀測(cè)的。

若選擇電流i(t)為可量測(cè)的輸出，則我們無(wú)法由所量測(cè)的資料來(lái)重建狀態(tài)變數(shù)?！鵐ATLAB工具與個(gè)案研究MATLAB工具可讓使用者來(lái)完成下列的工作：?輸入狀態(tài)矩陣。?求取系統(tǒng)的特性多項(xiàng)式、特徵值與特徵向量。?求取相似變換矩陣。?檢查系統(tǒng)控制性與觀測(cè)性性質(zhì)。?求得步階，脈衝，及自然響應(yīng)(即針對(duì)初值條件的響應(yīng))，以及針對(duì)任何時(shí)間函數(shù)的

時(shí)間響應(yīng)。?利用MATLAB符號(hào)工具便可以用反拉氏命令來(lái)求出狀態(tài)變換矩陣。?將轉(zhuǎn)移函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，反之亦然。2023/9/224狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER★狀態(tài)空間分析工具的描述與用法1.狀態(tài)空間分析工具(State-SpaceAnalysisTool,statetool)是由一些m-檔及可用來(lái)分析狀態(tài)空間的人機(jī)界面(GUI)組成。2.由MATLAB命令列鍵入statetool或者從自動(dòng)控制系統(tǒng)的啟動(dòng)平臺(tái)(ACSYS)點(diǎn)選適當(dāng)按鍵均可呼叫statetool。Ex.考慮5-14節(jié)的例題。1.點(diǎn)選「輸入?yún)?shù)」(EnterParameters)按鍵，如圖5-20

所示。先輸入下列的係數(shù)矩陣(5-279)2.圖5-21

所示的狀態(tài)空間輸入視窗，點(diǎn)選適當(dāng)?shù)陌存I來(lái)輸入各係數(shù)矩陣。1)初始條件的預(yù)設(shè)值均定為零2)矩陣的列元素可用空格隔開(kāi)或逗號(hào)間隔，而每一列則是用分號(hào)加以區(qū)分3)輸入矩陣A的方式：4)輸入矩陣B的方式：圖5-22

2023/9/225狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-20狀態(tài)空間分析視窗2023/9/226狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-21狀態(tài)空間輸入視窗2023/9/227狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER

本例的D矩陣設(shè)定為零(為預(yù)設(shè)值)

完成所有矩陣的輸入，按下「作用」鍵便可返回主視窗。3.為了求取(5-270)

式的特性方程式，特徵值及特徵向量，可點(diǎn)選「A的特徵值與特徵向量」

(Eigenvals&vectsofA)鍵。圖5-232023/9/228狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-23在按下「A的特徵值與特徵向量」鍵後的狀態(tài)空間工具視窗

為了得出詳解，必須回到MATLAB命令視窗。4.A矩陣，A的特徵值，與A的特徵向量均示於圖5-24。注意，特徵值的矩陣表示式等同於A的對(duì)角典型式(DCF)，而代表特徵向量的矩陣T則呈5-8-4節(jié)所討論的DCF轉(zhuǎn)換矩陣形式。

2023/9/229狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-24在按下「A的特徵值與特徵向量」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結(jié)果為了求出狀態(tài)變換矩陣

(t)，必須使用tfsym工具，此工具將在5-15-2節(jié)中討論。(5-279)式內(nèi)C的選取方式可使球位置為輸出y(t)，而輸入為v(t)。5.點(diǎn)選「狀態(tài)空間計(jì)算」(State-SpaceCalculations)鍵便可得出系統(tǒng)的輸入-

輸出轉(zhuǎn)移函數(shù)。出現(xiàn)在MATLAB命令視窗的最後結(jié)果便是同時(shí)以多項(xiàng)式及因式分解形式表示的轉(zhuǎn)移函數(shù)，如圖5-25

所示。由該圖可知，其中會(huì)有因數(shù)值計(jì)算所造成的些微誤差。在所得的轉(zhuǎn)移函數(shù)中可令很小的那些項(xiàng)為零以得出(5-274)式。2023/9/230狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-25按下「狀態(tài)空間計(jì)算」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結(jié)果2023/9/231狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER6.按下「狀態(tài)空間計(jì)算」鍵後，再按下「控制性」(Controllability)與「觀測(cè)性」

(Observability)鍵便可決定系統(tǒng)是否為可控制或可觀測(cè)。按下「控制性」鍵後，便可得出圖5-26

所示的MATLAB命令視窗。圖5-26按下「控制性」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結(jié)果S矩陣與(5-275)式一樣，其秩為3。因此，此系統(tǒng)為完全可控制。2023/9/232狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER7.按下「觀測(cè)性」鍵後，系統(tǒng)可觀測(cè)性便會(huì)在MATLAB命令視窗評(píng)估，如圖5-27所示。此系統(tǒng)為完全可觀測(cè)，因?yàn)閂矩陣的秩為3。圖5-27按下「觀測(cè)性」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結(jié)果2023/9/233狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER★狀態(tài)空間應(yīng)用之tfsym工具的描述與用法1.在MATLAB命令視窗內(nèi)直接鍵入tfsym或者在ACSYS視窗內(nèi)點(diǎn)選「轉(zhuǎn)移函數(shù)符號(hào)」(TransferFunctionSymbolic)鍵，便可執(zhí)行轉(zhuǎn)移函數(shù)符號(hào)工具。2.無(wú)論用何種方式，均會(huì)得出圖5-28

的視窗。圖5-28轉(zhuǎn)移函數(shù)符號(hào)視窗Ex.求解5-14節(jié)的例題

tfsym是以MATLAB符號(hào)工具為基礎(chǔ)，故僅能透過(guò)MATLAB命令視窗來(lái)提供使用者界面。

1.點(diǎn)選「狀態(tài)空間」(State-Space)鍵之後，必須進(jìn)入MATLAB命令視窗才能輸入

(5-279)式的係數(shù)矩陣。2.MATLAB命令視窗的輸入與輸出顯示結(jié)果如圖5-29

所示。一開(kāi)始(sI

A)

1

與

(t)矩陣可能以有別於(5-271)與(5-272)式的形式出現(xiàn)。2023/9/234狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER圖5-29tfsym工具的MATLAB命令視窗之顯示結(jié)果在MATLAB命令視窗中使用“simple”命令即可進(jìn)一步化簡(jiǎn)這些矩陣。例如，為了化簡(jiǎn)

(t)，在MATLAB命令視窗內(nèi)鍵入“simple(phi)”即可。2023/9/235狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER★其它範(fàn)例?例題5-24

就例題5-1與5-2的系統(tǒng)，(5-280)定義下列的系統(tǒng)，其中有四種不同的輸入型式：(5-281)試?yán)胻fsym

與statetool來(lái)求解此問(wèn)題，亦即求取狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

(t)及狀態(tài)解x(t)。<Sol.>1.啟動(dòng)statetool並輸入所有矩陣與初始條件向量。2.按下「作用」鍵返回狀態(tài)空間主視窗，接下來(lái)，按下「A的特徵值與特徵向量」鍵，求出A的特性方程式、特徵值及特徵向量。出現(xiàn)在MATLAB命令視窗，如下所示：2023/9/236狀態(tài)變數(shù)分析

5CHAPTER3.評(píng)估此系統(tǒng)的控制性與觀測(cè)性，在狀態(tài)空間主視窗內(nèi)按下相對(duì)應(yīng)按鍵。結(jié)會(huì)出現(xiàn)在MATLAB命令視窗內(nèi)，如下頁(yè)所示：4.為了繪出自然響應(yīng)(亦即單獨(dú)由初始條件而無(wú)外加輸入u(t)所引起的響應(yīng))，可點(diǎn)選「自然響應(yīng)」(