本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享古典概型的應(yīng)用【第一學(xué)時(shí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解從不同的角度考慮可以建立不同的概率模型．2．能夠建立概率模型來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】正確理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中計(jì)算比較復(fù)雜的背景問(wèn)題．【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、基礎(chǔ)知識(shí)·梳理建立不同的古典概型：一般地，在解決實(shí)際問(wèn)題中的古典概型時(shí)，對(duì)同一個(gè)古典概型，把什么看作一個(gè)________(即一次試驗(yàn)的結(jié)果)是人為規(guī)定的，也就是從不同的______去考慮，只要滿(mǎn)足以下兩點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有______個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果；②每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性______．就可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同的________來(lái)解決，所得可能結(jié)果越____，那么問(wèn)題的解決就變得越______．【做一做1】從甲、乙、丙三名學(xué)生中選出兩名班委，其中甲被選中的概率為()．A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．1【做一做2】在兩個(gè)袋中，分別裝有寫(xiě)著0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字的6張卡片，今從每個(gè)袋中各任取一張卡片，求兩數(shù)之和等于7的概率，對(duì)本題給出的以下兩種不同的解法，你認(rèn)為哪種解法正確？為什么？解法一：因兩數(shù)之和共有0,1,2,3，…，9,10十一種不同的結(jié)果，所以和為7的概率P＝eq\f(1,11).解法二：因從每個(gè)袋中任取一張卡片，可組成6×6＝36(種)有序卡片對(duì)，其中和為7的卡片對(duì)為(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四種，所以P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).二、合作探究題型一：概率模型的構(gòu)建【例題1】任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1的概率．反思：同一個(gè)古典概型問(wèn)題由于考慮的角度不同，其解法繁簡(jiǎn)差別較大，因此，在選取樣本空間時(shí)，務(wù)必抓住欲求事件的本質(zhì)，而把其他無(wú)關(guān)的因素拋開(kāi)，以簡(jiǎn)化求解過(guò)程．題型二：構(gòu)建不同的概率模型解決問(wèn)題【例題2】袋中裝有除顏色外其他均相同的6個(gè)球，其中4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率：（1）A：取出的兩球都是白球；（2）B：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球．分析：求出基本事件的總數(shù)，及A，B包含的基本事件的個(gè)數(shù)，然后套用公式．反思：用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列舉出來(lái)，然后求出其中的m、n，再利用公式P（A）＝eq\f(m,n)求出事件A的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某種順序，以保證做到不重復(fù)、不遺漏．題型三：易錯(cuò)辨析【例題3】有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)三個(gè)信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完為止，其中A信恰好投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率是多少？錯(cuò)解：每封信投入1號(hào)信箱的機(jī)會(huì)均等，而且所有結(jié)果數(shù)為4，故A信投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).錯(cuò)因分析：應(yīng)該考慮A信投入各個(gè)信箱的概率，而錯(cuò)解考慮成了4封信投入某一信箱的概率．【精煉反饋】1．在分別寫(xiě)有1,2，…，9的9張卡片中任意抽取一張，則抽得卡片上的數(shù)字能被3整除的概率是()．A．B．C．D．2．有紅心1,2,3和黑桃4,5這5張撲克，將牌點(diǎn)向下置于桌上，現(xiàn)從中任意抽取一張，那么抽到的牌為紅心的概率為()．A．B．C．D．3．甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是()．A．B．C．D．4．20名高一學(xué)生，25名高二學(xué)生和30名高三學(xué)生在一起座談，如果任意抽其中一名學(xué)生講話，抽到高一學(xué)生的概率是______，抽到高二學(xué)生的概率是______，抽到高三學(xué)生的概率是______．5．100個(gè)人依次抓鬮，決定1件獎(jiǎng)品的歸屬，求最后一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率．【答案】：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理基本事件角度①有限②相同古典概型少簡(jiǎn)單【做一做1】C基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3個(gè)，其中甲被選中的有(甲，乙)，(甲，丙)共2個(gè)，∴P＝eq\f(2,3).【做一做2】解：解法一錯(cuò)誤，解法二正確，錯(cuò)誤的原因在于對(duì)試驗(yàn)結(jié)果中的基本事件認(rèn)識(shí)不清，本題的基本事件應(yīng)為由兩張卡片上的數(shù)字組成的有序數(shù)對(duì)，而不是所取兩張卡片上數(shù)字的和，概念的混淆導(dǎo)致了解答的錯(cuò)誤．典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：因?yàn)檎麛?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，故不屬于古典概型．但是一個(gè)正整數(shù)的平方的末位數(shù)字只取決于該正整數(shù)的末位數(shù)字，正整數(shù)的末位數(shù)字是0,1,2，…，9中的任意一個(gè)數(shù)．現(xiàn)任取一正整數(shù)，它的末位數(shù)字是這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)是等可能出現(xiàn)的．因此所有的基本事件為：0,1,2，…，9，欲求的事件為1,9，即所求概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).【例題2】解：設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1．2．3．4,2個(gè)紅球的編號(hào)為5．6．從袋中的6個(gè)球中任取兩球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，且每種取法都是等可能發(fā)生的．（1）從袋中的6個(gè)球中任取兩球，所取的兩球全是白球的取法總數(shù)，即為從4個(gè)白球中任取兩球的方法總數(shù)，共有6種，即為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以P（A）＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).（2）從袋中的6個(gè)球中任取兩球，其中一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種．所以P（B）＝eq\f(8,15).【例題3】正解：由于每封信可以任意投入信箱，對(duì)于A信，投入各個(gè)信箱的可能性是相等的，一共有3種不同的結(jié)果．投入1號(hào)信箱或2號(hào)信箱有2種結(jié)果，故A信恰好投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率為eq\f(2,3).【精煉反饋】1．D2．A3．A該試驗(yàn)共4個(gè)基本事件，所求事件包含2個(gè)基本事件，∴其概率P＝eq\f(1,2).4．eq\f(4,15)eq\f(1,3)eq\f(2,5)任意抽取一名學(xué)生是等可能事件，基本事件總數(shù)為75，記事件A，B，C分別表示“抽到高一學(xué)生”、“抽到高二學(xué)生”和“抽到高三學(xué)生”，則它們包含的基本事件的個(gè)數(shù)分別為20,25和30.∴P（A）＝eq\f(20,75)＝eq\f(4,15)，P（B）＝eq\f(25,75)＝eq\f(1,3)，P（C）＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).5．解：只考慮最后一個(gè)人抓鬮的情況，他可能抓到100個(gè)鬮中的任何一個(gè)，而他摸到有獎(jiǎng)的鬮的結(jié)果只有一種，最后一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,100).【第二學(xué)時(shí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，能根據(jù)定義辨別一些事件是否互斥，是否對(duì)立．2．掌握兩個(gè)互斥事件的概率加法公式及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式的應(yīng)用．【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件。【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．互斥事件（1）定義：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱(chēng)作互斥事件．（2）規(guī)定：事件A＋B發(fā)生是指事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生．【歸納】①A，B互斥是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．②如果事件A與B是互斥事件，那么A與B兩事件同時(shí)發(fā)生的概率為0.③與集合類(lèi)比，可用圖表示，如圖所示．（3）公式：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝________.【歸納】①事件A與事件B互斥，如果沒(méi)有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于它們概率的和．③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．【做一做1－1】判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明原因：（1）將一枚硬幣拋擲兩次，設(shè)事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與B是互斥事件；（2）在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中取3件．事件A：“所取3件中最多有兩件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與B是互斥事件．【做一做1－2】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸?shù)母怕适莀_______．2．對(duì)立事件（1）定義：在一次試驗(yàn)中，如果兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)__________，那么事件A與B稱(chēng)作對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為eq\x\to(A).（2）性質(zhì)：P（A）＋P(eq\x\to(A))＝1，即P（eq\x\to(A)）＝1－________.【歸納】①對(duì)立事件的特征：一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)事件發(fā)生．②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，即對(duì)立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件．③從集合角度看，事件A的對(duì)立事件，是全集中由事件A所含結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．【做一做2－1】袋中裝有除顏色外其他均相同的白球和黑球各3個(gè)，從中任取2球，在下列事件中是對(duì)立事件的是()．A．恰有1個(gè)白球和恰有2個(gè)黑球B．至少有1個(gè)白球和全是白球C．至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球D．至少有1個(gè)白球和全是黑球【做一做2－2】事件A與B是對(duì)立事件，且P（A）＝0.6，則P（B）等于()．A．0.4B．0.5C．0.6D．1二、合作探究題型一：互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例題1】判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1到10各10張)中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．（2）要緊扣互斥事件的概念，判斷兩個(gè)事件是否能同時(shí)發(fā)生是關(guān)鍵．題型二：概率的有關(guān)計(jì)算【例題2】甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8，兩人下成和棋的概率是0.5，求甲獲勝的概率．（2）公式P(A∪B)＝P（A）＋P（B）的使用條件是事件A，B互斥，否則不成立．題型三：互斥事件、對(duì)立事件的綜合應(yīng)用【例題3】一盒中裝有各色球12只，其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：（1）取出1球是紅球或黑球的概率；（2）取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．【精煉反饋】1從一批產(chǎn)品中取出三件，設(shè)A表示“三件產(chǎn)品全不是次品”，B表示“三件產(chǎn)品全是次品”，C表示“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是()．A．A與C互斥B．B與C互斥C．任兩個(gè)均互斥D．任兩個(gè)均不互斥2一人射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是()．A．兩次都不中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶3拋擲一枚均勻的正方體骰子，記A為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，C為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”．其中是互斥事件的是______，是對(duì)立事件的是______．4有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，已知他乘火車(chē)、輪船、汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率分別是0.3．0.2．0.1．0.4．（1）求他乘火車(chē)或飛機(jī)來(lái)的概率；（2）求他不乘輪船來(lái)的概率．【答案】：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．（3）P（A）＋P（B）【做一做1－1】解：（1）正確．A和B是互斥事件．因?yàn)檫@兩個(gè)事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．（2）不正確．A和B不是互斥事件，因?yàn)槭录嗀包括三種情況：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含兩種情況：2件次品1件正品，3件次品．從而事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，故不互斥．【做一做1－2】eq\f(5,6)乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).2．（1）發(fā)生（2）P(eq\x\to(A))【做一做2－1】D至少有一個(gè)白球的反面是沒(méi)有白球，即全是黑球．【做一做2－2】AP（B）＝1－P（A）＝0.4．典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，兩者不是對(duì)立事件．（2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．（3）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10，因此，兩者不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．【例題2】解：設(shè)“甲勝”為事件A，“和棋”為事件B，A，B為互斥事件，則P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝0.8，∴P（A）＝0.8－P（B）＝0.8－0.5＝0.3．∴甲獲勝的概率為0.3．【例題3】解法一：（1）從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).（2）從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).解法二：(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}；A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷；A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷；A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得（1）取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2