南京信息工程大學(xué)高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷及答案南京信息工程大學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題1.設(shè)$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+xy-4x+2y-4z$，則$gradf(0,0,0)=-4i+2j-4k$。2.向量$\alpha$和$\beta$構(gòu)成的角$\theta=\frac{\pi}{3}$，且$\alpha=5,\beta=8$，則$\alpha+\beta=12$。3.$\lim\limits_{x,y\toa}\frac{\sin(xy)}{x}=0$。4.$C$為依逆時(shí)針方向繞橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的路徑，則$\int_C(x+y)dx-(x-y)dy=-2\piab$。5.微分方程$y'=2x(y+1)$的通解是$y=ce^{x^2-1}$。二、選擇題1.直線$L:\frac{x+3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=z$與平面$4x-2y-2z=3$的關(guān)系是C.垂直相交。2.$z=x+2y$在滿足$x^2+y^2=5$的條件下的極小值為B.$-5$。3.設(shè)$\Sigma$為球面$x^2+y^2+z^2=R^2$，則$\iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)ds=4\piR^4$。4.級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^\infty(2+(-1)^n)x^n$的收斂半徑是D.$\frac{1}{6}$。5.$y'''+y''+y'+y=xe^x$的通解形式為$y=(ax+b)e^x+c\cos2x+d\sin2x$。三、解答題1.計(jì)算$\iint_D\frac{1}{\siny^2}dxdy$，其中$D$是由$y=x$所圍成的區(qū)域。解：原式$=\int_0^1dy\int_y^{2y}\frac{1}{\siny^2}dx=\int_0^1\frac{1}{\siny^2}(2y-y)\,dy=\int_0^1(2-\frac{1}{\siny^2})\,dy=2-y\coty|_0^1=1-\cot1$。2.設(shè)$u=f(x+y+z,xyz)$，其中$f$具有各二階偏導(dǎo)數(shù)，求$\frac{\partial^2u}{\partialx\partialz}$。解：$\frac{\partialu}{\partialx}=f_1+f_2y+f_3z$，$\frac{\partialu}{\partialz}=f_1+f_2x+f_3y$，$\frac{\partial^2u}{\partialx\partialz}=f_{13}+f_{23}y+f_{33}x$，其中$f_{ij}$表示$f$對第$i$個(gè)變量和第$j$個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)。因此，$\frac{\partial^2u}{\partialx\partialz}=f_{13}+f_{23}y+f_{33}x=f_{23}y+f_{33}x$。3.求曲線$\begin{cases}x^2+y^2+z^2-3x=0\\2x-3y+5z-4=0\end{cases}$的方程。解：將第一個(gè)方程化為$(x-\frac{3}{2})^2+y^2+z^2=\frac{9}{4}$，即球心坐標(biāo)為$(\frac{3}{2},0,0)$，半徑為$\frac{3}{2}$。設(shè)曲線的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cost\\y=\frac{3}{2}\sint\\z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cost\end{cases}$，代入第二個(gè)方程得$\cost=\frac{1}{3}$，$\sint=\frac{\sqrt{8}}{3}$，因此曲線的方程為$\begin{cases}x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{8}}{2}\\y=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{8}}{2}\end{cases}+t\begin{cases}-\frac{3}{2}\\\sqrt{8}\\-\frac{3}{2}\end{cases}$。2x+4y-3=dy/dx2-3dy/dx+5=dx/dy在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程和法平面解出dy/dx=(15-10x+4z)/(4y+6x-9)在點(diǎn)(1,1,1)，dy/dx=-6，切線向量為(16,9,-1)或1/16(9,16,-1)得切線：(x-1)/(16)+(y-1)/(9)+(z-1)/(-1)=0，法平面方程：6x+9y-z-24=0設(shè)f(t)在R上連續(xù)，V為{x^2+y^2+z^2<=r^2}，F(xiàn)(r)=?f(x^2+y^2+z^2)dxdydz，Vr(<r<=1)證法一：F(r)=f(r^2)Vr=f(r^2)πr^3/3證法二：證明lim(r->∞)r^3f(r)=4πf(0)求冪級數(shù)∑(2n+1)2nx/n!的收斂區(qū)間及和函數(shù)記u_n(x)=(2n+1)2nx/n!因?yàn)閘im(u_n+1(x)/u_n(x))=2x/(n+1)，所以收斂域?yàn)?-∞,+∞)設(shè)和函數(shù)為s(x)，對s(x)=∑(2n+1)2nx積分，得∫s(x)dx=∑x^(2n+2)/(n+1)!，即s(x)=e^x(2x^2+1)-1計(jì)算I=∫∫Sxdydz+ydzdx+zdxdy，其中S為z=R2-x2-y2的上側(cè)補(bǔ)S:z=√(R^2-x^2-y^2)，運(yùn)用代入技巧x^2+y^2+z^2=R^2，得xdydz+ydzdx+zdxdy=2/3πR^3求微分方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解。先求解齊次方程y''+3y'+2y=0的通解。特征方程為r''+3r'+2r=0，特征根為r1=-1，r2=-2。因此齊次方程的通解為Y=C1e^{-x}+C2e^{-2x}?？紤]非齊次項(xiàng)f(x)=3xe^{-x}，特征根λ=-1為單特征根。故令非齊次