2005年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將姓名、高考座位號(hào)、校驗(yàn)碼等填寫(xiě)清楚。2.本試卷共有22道試題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘。一.填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分。1.方程的解集是.2..3.若，且，則.4.函數(shù)的反函數(shù).5.在△中，若，，則.6.某班共有40名學(xué)生，其中只有一對(duì)雙胞胎，若從中一次隨機(jī)抽查三位學(xué)生的作業(yè)，則這對(duì)雙胞胎的作業(yè)同時(shí)被抽中的概率是(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).7.雙曲線的焦距是.8.若，且，則.9.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）.關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；（2）若，則是等差數(shù)列；（3）若，則是等比數(shù)列.這些命題中，真命題的序號(hào)是.10.若集合，，則=.11.函數(shù)的值域是.12.已知函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是（），當(dāng)取得最小值時(shí)，.二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得4分，否則一律得零分.13.已知直線及平面，下列命題中的假命題是（A）若，，則.（B）若，，則.（C）若，，則.（D）若，，則.[答]()14.在△中，若，則△是（A）直角三角形.（B）等邊三角形.（C）鈍角三角形.（D）等腰直角三角形.[答]()15.若是常數(shù)，則“”是“對(duì)任意，有”的（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.[答]()16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋邢铝腥齻€(gè)命題：（1）若存在常數(shù)，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值；（2）若存在，使得對(duì)任意，且，有，則是函數(shù)的最大值；（3）若存在，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值.這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（A）0個(gè).（B）1個(gè).（C）2個(gè).（D）3個(gè).[答]()三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟。17.(本題滿分12分)已知是復(fù)數(shù)，均為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.[解]18.(本題滿分12分)已知是方程的兩個(gè)根中較小的根，求的值.[解]19.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為.（1）證明：；（2）求底面中心到側(cè)面的距離.[證明]（1）[解]（2）20.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。某市2004年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2005年底和2006年底的住房面積

；（2）求2024年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01）[解]（1）（2）21.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分。已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線和軸的垂線，垂足分別為.（1）求的值；（2）問(wèn)：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說(shuō)明理由；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.[解]（1）（2）（3）22.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分.第3小題滿分5分。（1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的方程是.設(shè)斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.證明：當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在一條過(guò)原點(diǎn)的定直線上；（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡(jiǎn)要寫(xiě)出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.[解]（1）[證明]（2）[解]（3）2005年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明1.本解答列出試題的一種或幾種解法,如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.2.評(píng)閱試卷,應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底,不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤,影響了后繼部分,但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí),可視影響程度決定后面部分的給分,這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半,如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤,就不給分.3.第17題至第22題中右端所注的分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題的累加分?jǐn)?shù).4.給分或扣分均以1分為單位.答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．（第1至12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.1..2.0.3..4..5.16.6..7..8.11.9.（1）、（2）、（3）.10..11..12.110二．（第13至16題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.題號(hào)13141516代號(hào)DBAC三．（第17至22題）17.[解]設(shè)，，由題意得.……2分由題意得.……6分∴.∵，……9分根據(jù)條件，可知，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.……12分18.[解]∵是方程的較小根，∴方程的較大根是.∵+=，即∴.……5分解得，或.……8分當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，不合題意.∴.……12分19.[證明]（1）取邊的中點(diǎn)，連接、，則，，故平面.……4分∴.……6分[解]（2）如圖，由（1）可知平面平面，則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角.過(guò)點(diǎn)作為垂足，則就是點(diǎn)到側(cè)面的距離.……9分設(shè)為，由題意可知點(diǎn)在上，∴，.,……11分∴，∵，∴.即底面中心到側(cè)面的距離為3.……14分20.[解]（1）2005年底的住房面積為（萬(wàn)平方米）,2006年底的住房面積為（萬(wàn)平方米）∴2005年底的住房面積為1240萬(wàn)平方米，2006年底的住房面積約為1282萬(wàn)平方米.……6分（2）2024年底的住房面積為……10分（萬(wàn)平方米）∴2024年底的住房面積約為2522.64萬(wàn)平方米.……14分21.[解]（1）∵，∴.……3分（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，，由點(diǎn)到直線的距離公式可知：，故有，即為定值，這個(gè)值為1.……9分（3）由題意可設(shè)，可知.∵與直線垂直，∴，即，解得，又，∴.∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴此時(shí)四邊形面積有最小值.……16分22.[解]（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，∴，即橢圓的方程為，∵點(diǎn)（）在橢圓上，∴，解得或（舍），由此得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……5分（2）設(shè)直線的方程為，……6分與橢圓的交點(diǎn)()、()，則