專題4-1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式5大考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2、商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．（2）(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.（3）sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名改變，符號(hào)看象限函數(shù)名不變，符號(hào)看象限“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的奇、偶是指π/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。一、對(duì)sinα，cosα，tanα的知一求二問題1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對(duì)稱式sinα±cosα，sinα·cosα建立聯(lián)系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的靈活應(yīng)用3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方關(guān)系求解二、已知tanα求sinα，cosα齊次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧．三、sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．四、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟eq\x(\a\al(任意負(fù)角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”．五、明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向（1）切化弦，統(tǒng)一名．（2）用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．（3）用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了”．六、常見的互余和互補(bǔ)的角互余的角與，與，與互補(bǔ)的角與，與對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別要注意每一個(gè)角的終邊所在的象限，防止三角函數(shù)值的符號(hào)及三角函數(shù)名稱出錯(cuò)?？键c(diǎn)一sina、cosa、tana知一求二【例1】（2023春·湖南永州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵且，∴，故選：B.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若sinα＝－，則tanα＝.【答案】或【解析】因?yàn)閟inα＝－<0，所以α為第三象限角或第四象限角，當(dāng)α為第三象限角時(shí)，cosα＝－＝－，因此tanα＝＝.當(dāng)α為第四象限角時(shí)，cosα＝＝，因此tanα＝＝－.故答案為：或－【變式1-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）若，，則．【答案】/【解析】由可得所以，又，所以位于第三象限，因此，即，故答案為：【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：C【變式1-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋瑒t，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.考點(diǎn)二sina與cosa齊次式化弦為切【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則【答案】【解析】.故答案為：【變式2-1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若，則的值為.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，即，∴.故答案為：.【變式2-2】（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得：，所以.故選：A【變式2-3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知為銳角，滿足，則．【答案】2【解析】因?yàn)?，整理得，解得或，又因?yàn)闉殇J角，則，所以.故答案為：2.【變式2-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A．【變式2-5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角的終邊落在直線上．求（1）的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由角的終邊落在直線上可得則原式=；（2）原式.考點(diǎn)三sina±cosa、sinacosa知一求二【例3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因?yàn)椋傻?，所?故選：D.【變式3-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，平方得，又，故，則．故選：B.【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足，則（）A．2B．1C．3D．【答案】A【解析】將兩邊同時(shí)平方可得，即；所以若，解得，這與是三角形的一個(gè)內(nèi)角矛盾，所以，解得，此時(shí)求得.故選：A.【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】由題知，因?yàn)椋瑑蛇吰椒接?，所以，所?故答案為：.【變式3-4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，求值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由可得，即；（2）；（3）由于，故，即，由于，故，故.考點(diǎn)四利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求值：=（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】原式＝.故選：A【變式4-1】（2022秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則.【答案】【解析】，，所以，可得.【變式4-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則＝.【答案】【解析】∵，.又，，，，原式.故答案為：.【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為．【答案】18【解析】由，可得，∴．故答案為：18.【變式4-4】（2020秋·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知是第四象限角，.（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）.（2），即，又是第四象限角，，.【變式4-5】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，（1）化簡(jiǎn)；（2）若為第三象限角，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∴（2）∵，∴∵為第三象限角，∴，∴的值為.考點(diǎn)五利用角之間的關(guān)系求值【例5】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，則.【答案】/【解析】由題意得，故答案為：【變式5-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因