試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年河北區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時(shí)90分鐘.參考公式●柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.●錐體的體積公式，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.●球的體積公式，其中表示球的半徑.第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：（本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．的值為（

）A． B． C． D．3．不等式的解集為（

）A． B．C．，或 D．，或4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，既是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．7．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．8．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（

）A． B． C． D．10．若，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．11．袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率為（

）A． B． C． D．12．將函數(shù)，的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．13．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．414．為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)處分別測(cè)得，，則間的距離為（

）A． B．2 C． D．415．對(duì)一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，下圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20，25)上的為一等品，在區(qū)間[15，20)和區(qū)間[25，30)上的為二等品，在區(qū)間[10，15)和[30，35]上的為三等品.用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45第Ⅱ卷（非選擇題共55分）二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分.請(qǐng)將答案填在題中橫線上）16．函數(shù)的最小正周期是.17．某防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，欲采用分層抽樣的辦法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，已知樣本中女生比男生少6人，則該校共有女生人．18．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù).19．當(dāng)時(shí)，的最小值為．20．設(shè)函數(shù).①若a=1，則f(x)的值域?yàn)?；②若f(x)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題：（本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）21．已知，.(1)求和的值；(2)求的值.22．已知向量，，，且，.(1)求向量與的坐標(biāo)；(2)若，，求向量與的夾角的大小.23．如圖，已知正方體.

(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成的角的大小.24．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)求在的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2．C【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得：.故選：C3．B【分析】對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)的一元二次不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.【詳解】不等式可化為，解得.故選：B.4．C【分析】根據(jù)根號(hào)下大于等于零，分母不為零列出條件，解出即可.【詳解】由，得且，故選：5．B【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則和向量減法的三角形法則可得結(jié)果.【詳解】.故選：B6．B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定正確答案.【詳解】是非奇非偶函數(shù)，不符合題意.在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意.在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意.在其定義域上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，符合題意.故選：B7．C【分析】求出該冪函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域，奇偶性及單調(diào)性判斷即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵搩绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，解得，即該冪函數(shù)的解析式為，其定義域?yàn)?，為偶函?shù)，且在上為減函數(shù).故選：C．8．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，取中間值比較即可.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D9．C【分析】根據(jù)長方體的外接球的直徑是長方體的對(duì)角線以及球的表面積公式可求出結(jié)果.【詳解】依題意得長方體的對(duì)角線長為，又長方體的外接球的直徑是長方體的對(duì)角線，所以長方體的外接球的直徑，所以長方體的外接球的表面積為.故選：C10．D【解析】根據(jù)平面向量投影定義,即可得解.【詳解】因?yàn)?向量與向量的夾角為則在上的投影向量為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量投影的定義及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11．A【分析】根據(jù)古典概型的概率公式以及獨(dú)立事件的概率公式，可得答案.【詳解】袋子中有個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中個(gè)紅球，個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出個(gè)球，兩次摸到紅球的概率：；故選：A.12．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】將將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到.故選：B13．C【分析】畫出函數(shù)圖像,根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即為,所以畫出兩個(gè)函數(shù)圖像如下圖所示:根據(jù)圖像及指數(shù)函數(shù)的增長趨勢(shì)，可知兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,畫出函數(shù)圖像是常見的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.14．B【分析】在和中應(yīng)用正弦定理求得與，然后在中應(yīng)用余弦定理求得．【詳解】在中，，即，，和中，，是等邊三角形，，在中，，所以，．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)條件確定正弦定理或者余弦定理計(jì)算，及計(jì)算的順序．本題如果在中應(yīng)用余弦定理求可能更方便一些．15．D【詳解】組距為5，二等品的概率為．所以，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其是二等品的概率為0.45.，所以選D16．【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期是，運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎(chǔ)題.17．970【分析】求出樣本中女生人數(shù)，求出抽樣比，即可求出.【詳解】因?yàn)闃颖救萘繛?00，女生比男生少6人，所以樣本中女生的人數(shù)為97，因?yàn)榉謱映闃拥某槿”壤秊?，所以總體中女生的人數(shù)為970人．故答案為：970．18．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】故答案為：19．【分析】變換，再利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)于均值不等式的靈活運(yùn)用.20．【分析】①a=1，直接求值域；②在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出和的圖像，分析a的取值范圍.【詳解】解：①若a=1，則，當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)=3x﹣1∈(﹣1，2]，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=|x+1|>2，∴f(x)的值域?yàn)?﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣1，+∞)；②在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=3x﹣1與y=|x+1|的圖象如圖：由圖可知，要使函數(shù)在R上的增函數(shù)，只需-1≤a≤1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1].故答案為：①；②.【點(diǎn)睛】由分段函數(shù)（數(shù)列）單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：(1)分段函數(shù)的每一段都單調(diào)；(2)根據(jù)單調(diào)性比較端點(diǎn)函數(shù)值的大小.21．(1)，.(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦的二倍角公式與余弦的二倍角公式即可；（2）根據(jù)（1）利用兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以?（2）.22．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量垂直和平行列方程，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求得與.（2）先求得與，然后根據(jù)夾角公式求得正確答案.【詳解】（1）由于，，所以，解得，所以，.（2），，，所以，由于，所以.23．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用線面平行判定定理，線線平行證明線面平行；（2）利用線面垂直判定定理，找到平面內(nèi)兩條相交直線，線線垂直證明線面垂直；（3）一找二證三求，求解線面角.結(jié)合線面垂直，找到斜線在平面內(nèi)的射影，利用線面角定義找到所求角，在直角三角形中解角即可.【詳解】（1）由題意，在正方體中，，平面，平面，平面.（2）平面，，在正方形中，，又，且平面，平面平面.（3）設(shè)正方體棱長為，，連接（如圖）.由（2）得，平面，則即為在平面的射影，所以，即所求直線與平面所成的角.

在中，，，則，即，故所求直線與平面所成的角的大小為.

24．(1)(