------金融資產(chǎn)定價(jià)之應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程------金融資產(chǎn)定價(jià)之應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程1隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)知識(shí)基本概念馬爾可夫過(guò)程隨機(jī)分析平穩(wěn)過(guò)程鞅和鞅表示維納過(guò)程Ito定理基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格衍生產(chǎn)品定價(jià)隨機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)基本概念馬爾可夫過(guò)程隨機(jī)分析平穩(wěn)過(guò)程鞅和鞅表示維2第一章基礎(chǔ)知識(shí)

第一節(jié)概率第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四節(jié)矩母函數(shù)和特征函數(shù)第五節(jié)條件期望第六節(jié)指數(shù)分布第七節(jié)收斂性和極限定理第一章基礎(chǔ)知識(shí)第一節(jié)3第一節(jié)概率

一、基本概念

1．隨機(jī)試驗(yàn)

其結(jié)果在事先不能確定的試驗(yàn)。具有三個(gè)特性：（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。首頁(yè)第一節(jié)概率一、基本概42．樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，記為

。其中每一個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。樣本空間的一個(gè)子集E。對(duì)樣本空間

的每一個(gè)事件E，都有一實(shí)數(shù)P（E）與之對(duì)應(yīng)，且滿足：（1）3．隨機(jī)事件4．概率（3）對(duì)兩兩互不相容的事件序列（2）則稱P（E）為事件E的概率。首頁(yè)2．樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，記為。其中每一個(gè)5二、概率的性質(zhì)：1234設(shè)兩兩互不相容，則5設(shè)兩兩互不相容的事件則對(duì)于任意事件A，有首頁(yè)二、概率的性質(zhì)：1234設(shè)兩兩互不相容，則56三、概率的連續(xù)性

1．極限事件對(duì)于事件若則稱事件序列遞增，若則稱事件序列遞減。這樣可定義一個(gè)新的事件，記為首頁(yè)三、概率的連續(xù)性1．極限事件對(duì)于事件若則稱事件序列7

2．連續(xù)性定理若是遞增的或遞減的事件序列，證明則即由包含在中但不在任何前面的（）中的點(diǎn)組成。設(shè)是遞增序列，并定義事件：定理1首頁(yè)2．連續(xù)性定理若8容易驗(yàn)證（）是互不相交的事件，且滿足和于是首頁(yè)容易驗(yàn)證（）是互不相交的事件9設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，

為其樣本空間，A、B為任意兩個(gè)事件，四、條件概率為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率，或簡(jiǎn)稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。若1．定義則稱首頁(yè)設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，為其樣本空間，A、B四、條件概率為事件A出10定理2（乘法公式）

2．基本公式假設(shè)為任意n個(gè)事件（），若則首頁(yè)定理2（乘法公式）2．基本公式假設(shè)11定理3（全概率公式與貝葉斯公式）設(shè)事件兩兩互不相容，則（1）對(duì)任意事件A，有（2）對(duì)任意事件A，若，有首頁(yè)定理3（全概率公式與貝葉斯公式）設(shè)事件12五、獨(dú)立性如果事件A，B滿足

設(shè)是n個(gè)事件，如果對(duì)于任意和，有則稱事件相互獨(dú)立。則稱事件A，B相互獨(dú)立。1．定義兩個(gè)n個(gè)首頁(yè)五、獨(dú)立性如果事件A，B滿足設(shè)132．獨(dú)立性的性質(zhì)定理4若事件A，B相互獨(dú)立，則；；分別也相互獨(dú)立.定理5設(shè)事件相互獨(dú)立，若其中任意個(gè)事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的對(duì)立事件，則所得的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。推論若事件相互獨(dú)立，則

首頁(yè)2．獨(dú)立性的性質(zhì)定理4若事件A，B相互獨(dú)立，則14證返回首頁(yè)證返回首頁(yè)15一、一維隨機(jī)變量的分布

第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布

1．隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)于每一個(gè)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為一個(gè)隨機(jī)變量，記作或X。2．分布函數(shù)隨機(jī)變量X取值不超過(guò)x的概率，稱為X的分布函數(shù)（其中x為任意實(shí)數(shù)），記為即首頁(yè)一、一維隨機(jī)變量的分布第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布1．隨16分布函數(shù)F（x）具有下列性質(zhì)：12是非降函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有34F（x）是右連續(xù)的，即首頁(yè)分布函數(shù)F（x）具有下列性質(zhì)：12173．分布密度最常見(jiàn)的隨機(jī)變量是離散型和連續(xù)型兩種。離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的可能取值僅有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)。設(shè)是離散型隨機(jī)變量X的所有可能的取值，是的概率：則稱上式為X的概率分布或分布率。且滿足首頁(yè)3．分布密度最常見(jiàn)的隨機(jī)變量是離散型和連續(xù)型兩種。183．分布密度連續(xù)型隨機(jī)變量如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），存在非負(fù)的函數(shù)f（x）,使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）稱為X的概率密度，且滿足首頁(yè)3．分布密度連續(xù)型如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）19二、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

1．聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)是樣本空間

的n個(gè)隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，則稱特別地為隨機(jī)變量的n維聯(lián)合分布函數(shù)即是X，Y的二維聯(lián)合分布函數(shù)首頁(yè)二、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布1．聯(lián)合分布函數(shù)202．二維分布密度離散型設(shè)（X，Y）所有可能的取值為，而是（X，Y）取值為的概率，即則稱上式為二維離散型隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布律。它滿足首頁(yè)2．二維分布密度離散型設(shè)（X，Y）所212．二維分布密度連續(xù)型如果存在一個(gè)非負(fù)的二元函數(shù)f（x，y）,使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y有則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x，y）稱為（X，Y）的概率密度，滿足：首頁(yè)2．二維分布密度連續(xù)型如果存在一個(gè)非負(fù)的223．邊緣分布及獨(dú)立性邊緣分布設(shè)（X，Y）的分布函數(shù)為，則X，Y的分布函數(shù)、，依次稱為關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，且有獨(dú)立性則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。首頁(yè)3．邊緣分布及獨(dú)立性邊緣分布設(shè)（X23離散型若隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律分別稱為（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布律。則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是首頁(yè)離散型若隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律分別稱為（X，Y）關(guān)24連續(xù)型若隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是分別稱為（X，Y）關(guān)于X和Y邊緣概率密度。首頁(yè)連續(xù)型若隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為則X和Y相互獨(dú)立的254．條件分布函數(shù)離散型若，則稱為在條件下，隨機(jī)變量X的條件分布律。同樣為在條件下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。首頁(yè)4．條件分布函數(shù)離散型若264．條件分布函數(shù)連續(xù)型稱為在條件下，隨機(jī)變量X的條件分布律。同樣稱為在條件下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。注意：分母不等于0返回首頁(yè)4．條件分布函數(shù)連續(xù)型稱為在條件27第三節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望和方差

1．期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

則設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，則首頁(yè)第三節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望和方差1．期望設(shè)離散28函數(shù)期望當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量則

當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則首頁(yè)函數(shù)期望當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量則當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量292。方差

稱隨機(jī)變量的期望為X的方差，即

計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：首頁(yè)2。方差稱隨機(jī)變量303．性質(zhì)（1）（2）（3）若X和Y相互獨(dú)立，則（4）的充要條件是返回首頁(yè)3．性質(zhì)（1）（2）（3）若X和Y相互獨(dú)立，則（4）的313．性質(zhì)（5）（柯西—許瓦茲不等式）等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

（6）若X為非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，則

證首頁(yè)3．性質(zhì)（5）（柯西—許瓦茲不等式）等式成立當(dāng)且僅當(dāng)（32（7）若X為非負(fù)值的隨機(jī)變量，則最后對(duì)每一叢向列求和，即得。首頁(yè)（7）若X為非負(fù)值的隨機(jī)變量，則最后對(duì)每一叢向列求和，即得331．協(xié)方差計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

2.相關(guān)系數(shù)

首頁(yè)1．協(xié)方差計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：二、協(xié)方差和相關(guān)343．性質(zhì)（1）

（2）若X和Y相互獨(dú)立，則（4）的充要條件是X與Y以概率1線性相關(guān)，即（3）返回首頁(yè)3．性質(zhì)（1）（2）若X和Y相互獨(dú)立，則（4）35例1

設(shè)X

N（0，1），求

解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，依次遞推，注意到，故首頁(yè)例1設(shè)XN（0，1），求解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由分部積36在一次集會(huì)上，n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而后每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求每人拿到自己的帽子的人數(shù)X的均值和方差。例2（匹配問(wèn)題）

解利用表達(dá)式其中即求EX、DX故因首頁(yè)在一次集會(huì)上，n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中37又

而得故所以返回首頁(yè)又而得故所以返回首頁(yè)38一、矩母函數(shù)

第四節(jié)矩母函數(shù)和特征函數(shù)1．定義稱的數(shù)學(xué)期望為X的矩母函數(shù)2．原點(diǎn)矩的求法利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對(duì)逐次求導(dǎo)并計(jì)算在點(diǎn)的值：首頁(yè)一、矩母函數(shù)第四節(jié)矩母函數(shù)和特征函數(shù)393．和的矩母函數(shù)定理1設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的矩母函數(shù)分別為，，…，，則其和的矩母函數(shù)為…首頁(yè)3．和的矩母函數(shù)定理1設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量40例1設(shè)X與Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，各自的均值為與，方差為與，求X+Y的矩母函數(shù)。解而正態(tài)分布的矩母函數(shù)為所以首頁(yè)例1設(shè)X與Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，各自的均值為解而41二、特征函數(shù)1.復(fù)隨機(jī)變量設(shè)X，Y為二維（實(shí)）隨機(jī)變量，則稱為復(fù)隨機(jī)變量.2.數(shù)學(xué)期望3.特征函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為X的特征函數(shù)，其中t是實(shí)數(shù)。還可寫(xiě)成首頁(yè)二、特征函數(shù)1.復(fù)隨機(jī)變量設(shè)X，Y為二維（實(shí)）424．特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系特征函數(shù)與分布函數(shù)相互唯一確定。特別當(dāng)存在時(shí)，有5．特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任何實(shí)數(shù)t，

證首頁(yè)4．特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系特征函數(shù)與分布函數(shù)相互唯一確定43性質(zhì)2證性質(zhì)3設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，，則Y的特征函數(shù)有證首頁(yè)性質(zhì)2證性質(zhì)3設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，44性質(zhì)4性質(zhì)5設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的特征函數(shù)分別為，，…，則和若隨機(jī)變量X的n階絕對(duì)矩存在，即則X的特征函數(shù)有n階導(dǎo)數(shù)，且有的特征函數(shù)為…首頁(yè)性質(zhì)4性質(zhì)5設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量45例2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，求X的特征函數(shù)。解由于所以首頁(yè)例2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，解由于46例3設(shè)隨機(jī)變量X服從[a，b]上的均勻分布，求X的特征函數(shù)。解X的概率密度為所以首頁(yè)例3設(shè)隨機(jī)變量X服從[a，b]上的均勻分布，求X的特征函47例4設(shè)X

~B（n，p），求X的特征函數(shù)及和。解X的分布律為所以由性質(zhì)4知故首頁(yè)例4設(shè)X~B（n，p），求X的特征函數(shù)48常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)返回見(jiàn)教材首頁(yè)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)返回見(jiàn)教材首頁(yè)49一、條件期望的定義

第五節(jié)條件期望

離散型其中連續(xù)型其中條件概率密度首頁(yè)一、條件期望的定義第五節(jié)50二、全數(shù)學(xué)期望公式定理1對(duì)一切隨機(jī)變量X和Y，有連續(xù)型是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，當(dāng)時(shí)取值因而它也是隨機(jī)變量。離散型首頁(yè)二、全數(shù)學(xué)期望公式定理1對(duì)一切隨機(jī)變量X和Y，有連續(xù)51證只證（X，Y）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況首頁(yè)證只證（X，Y）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況首頁(yè)52一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走3個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走5個(gè)小時(shí)又返回原處，從第三個(gè)通道出去要走7個(gè)小時(shí)也返回原處。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，試問(wèn)他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長(zhǎng)時(shí)間。例1解設(shè)X表示礦工到達(dá)安全地點(diǎn)所需時(shí)間，Y表示他選定的通道，則由定理1可知

所以首頁(yè)一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道53設(shè)在某一天內(nèi)走進(jìn)一個(gè)商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望等于100的隨機(jī)變量，又設(shè)這些顧客所花的錢(qián)都為數(shù)學(xué)期望是10元的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，再設(shè)一個(gè)顧客化錢(qián)時(shí)和進(jìn)入該商店的總?cè)藬?shù)獨(dú)立，試問(wèn)在給定的一天內(nèi)，顧客們?cè)谠摰晁X(qián)的期望值為多少？例2解設(shè)N表示進(jìn)入該店的顧客人數(shù)，表示第i個(gè)顧客所花的錢(qián)數(shù)，則N個(gè)顧客所花錢(qián)的總數(shù)為則一天內(nèi)顧客們?cè)谠摰晁X(qián)的期望值是首頁(yè)設(shè)在某一天內(nèi)走進(jìn)一個(gè)商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望等于54而從而由假設(shè)所以于是它說(shuō)明顧客們花費(fèi)在該店錢(qián)數(shù)的期望值為1000元。首頁(yè)而從而由假設(shè)所以于是它說(shuō)明顧客們花費(fèi)在該店錢(qián)數(shù)的期望55三、條件期望的應(yīng)用定理2設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，是Borel函數(shù)，證下面的命題說(shuō)明在均方意義下，在已知隨機(jī)變量X的條件下，是Y的最佳預(yù)測(cè)。則首頁(yè)三、條件期望的應(yīng)用定理2設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，56由于當(dāng)X取定值時(shí)是常數(shù)，所以故得

由定理1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。首頁(yè)由于57通常當(dāng)我們觀察到時(shí)，是一切對(duì)Y的估值中均方誤差最小的一個(gè)，我們稱之為Y關(guān)于X的回歸。例3設(shè)身高為x（cm）的男子，其成年兒子的身高服從均值為，方差為10的正態(tài)分布，問(wèn)身高為175cm的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是多少？令X表示父親身高，Y表示兒子身高，則解

N（0，10）與X獨(dú)立Y的最佳預(yù)測(cè)是即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是178cm。返回首頁(yè)通常當(dāng)我們觀察到58一、指數(shù)分布的定義

第六節(jié)指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為分布函數(shù)為則稱X具有參數(shù)為的指數(shù)分布。首頁(yè)一、指數(shù)分布的定義第六節(jié)59二、無(wú)記憶性若隨機(jī)變量X滿足則稱隨機(jī)變量X是無(wú)記憶的。如果我們把X看作某儀器的壽命，則X的無(wú)記憶性表示:在儀器已工作了t小時(shí)的條件下，它至少工作小時(shí)的概率與它原來(lái)至少工作s小時(shí)的概率是相同的。換句話說(shuō)如果儀器在時(shí)刻t是完好的，則它的剩余壽命的分布就是原來(lái)壽命的分布。首頁(yè)二、無(wú)記憶性若隨機(jī)變量X滿足則稱隨機(jī)變量X是無(wú)記憶的。60考慮一個(gè)有兩名營(yíng)業(yè)員的郵局。假設(shè)當(dāng)A進(jìn)去時(shí)，他發(fā)現(xiàn)一名營(yíng)業(yè)員正在給B辦事而另一名營(yíng)業(yè)員正在為C服務(wù)。還假設(shè)已告訴A，一旦B或C離開(kāi)就為他服務(wù)。如果一個(gè)營(yíng)業(yè)員為一個(gè)顧客所花的時(shí)間服從均值是的指數(shù)分布。三個(gè)顧客中A最后離開(kāi)郵局的概率是多少？例1解考慮A發(fā)現(xiàn)一個(gè)營(yíng)業(yè)員有空的時(shí)刻，此時(shí)B與C中有一個(gè)剛好離開(kāi)而另一個(gè)仍在接受服務(wù)。由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，這另一個(gè)人在郵局再花費(fèi)的時(shí)間也服從指數(shù)分布，其均值仍為，即仿佛他才開(kāi)始服務(wù).因此由對(duì)稱性，他在A之前結(jié)束服務(wù)的概率為，故A最后離開(kāi)郵局的概率也是。首頁(yè)考慮一個(gè)有兩名營(yíng)業(yè)員的郵局。假設(shè)當(dāng)A進(jìn)去時(shí)，61三、失效率函數(shù)指數(shù)變量的無(wú)記憶性可有指數(shù)分布的失效率函數(shù)（也稱風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)）進(jìn)一步予以闡明。1．定義設(shè)是一個(gè)非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，其密度函數(shù)，則稱為X的失效（或風(fēng)險(xiǎn)）率函數(shù)。存活函數(shù)首頁(yè)三、失效率函數(shù)指數(shù)變量的無(wú)記憶性可有指622．的直觀解釋為了闡明的意義，把X設(shè)想為某種元件的壽命，且X假定已經(jīng)存活t小時(shí)，我們要求再過(guò)時(shí)間dt它失效的概率，即考慮由于可見(jiàn)表示一個(gè)t歲的元件將失效的可能性大小，即元件將失效的概率強(qiáng)度。首頁(yè)2．為了闡明的意義，把X設(shè)想為某種元件的633．生起率假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無(wú)記憶性，一個(gè)t歲的元件的剩余壽命的分布與一個(gè)新元件的壽命分布相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。事實(shí)上指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù)常稱為分布的生起率（或速率）。于是4．失效率函數(shù)與分布函數(shù)關(guān)系（1）失效率函數(shù)唯一決定分布原因是首頁(yè)3．生起率假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無(wú)記憶性，一個(gè)64積分得即令得因而即（2）決定（有的定義可知）一個(gè)概率分布可用它的失效