第十章能量方法§10-1概述§10-2桿件變形能的計算§10-3變形能的普遍表達(dá)式§10-4互等定理§10-5卡氏定理§10-6虛功原理§10-7單位載荷法莫爾積分§10-8計算莫爾積分的圖乘法第十章能量方法§10-1概述1§10-1概述能量原理與功和能有關(guān)的定理，統(tǒng)稱為能量原理。運用能量原理求解問題的方法稱為能量法。功能原理外力的功等于變形能:§10-2桿件變形能的計算1軸向拉伸或壓縮PlDl第十章能量方法§10-1概述能量原理與功和能有關(guān)的定理，統(tǒng)稱為能21軸向拉伸或壓縮軸力N是x的函數(shù)時應(yīng)變能密度PlDl第十章能量方法1軸向拉伸或壓縮軸力N是x的函數(shù)時應(yīng)變能密度PlDl3應(yīng)變能密度2純剪切應(yīng)變能密度3扭轉(zhuǎn)第十章能量方法應(yīng)變能密度2純剪切應(yīng)變能密度3扭轉(zhuǎn)第十章能量方43扭轉(zhuǎn)扭矩T是x的函數(shù)時4彎曲純彎曲時第十章能量方法3扭轉(zhuǎn)扭矩T是x的函數(shù)時4彎曲純彎曲時第十章能54彎曲純彎曲時轉(zhuǎn)角純彎曲時各截面的彎矩相等，m為常數(shù)。變形能第十章能量方法4彎曲純彎曲時轉(zhuǎn)角純彎曲時各截面的彎矩相等，m為常數(shù)。6變形能橫力彎曲時對細(xì)長梁，剪力引起的變形能與彎矩引起的變形能相比很小，通常可忽略不計。橫力彎曲時，彎矩是x的函數(shù)。第十章能量方法變形能橫力彎曲時對細(xì)長梁，剪力引起的變形能與彎矩引起的變第75用廣義力和廣義位移表示變形能可將統(tǒng)一寫為6非線性彈性材料的變形能第十章能量方法5用廣義力和廣義位移表示變形能可將統(tǒng)一寫為6非線性彈8例1.已知:圓截面半圓曲桿，P，R,EI,GIp

。求：A點的垂直位移。解：1求內(nèi)力截面mn,取左段TM2變形能第十章能量方法例1.已知:圓截面半圓曲桿，P，R,EI,GI91求內(nèi)力截面mn,取左段2變形能TM第十章能量方法1求內(nèi)力截面mn,取左段2變形能TM第十章能103外力的功由U=W，得:第十章能量方法3外力的功由U=W，得:第十章能量方法11例2.已知應(yīng)變能密度公式。求：橫力彎曲時的彎曲變形能和剪切變形能公式。解：應(yīng)變能密度為y處應(yīng)力第十章能量方法例2.已知應(yīng)變能密度公式。求：橫力彎曲時的解：應(yīng)變能12解：應(yīng)變能密度為y處應(yīng)力

彎曲變形能第十章能量方法解：應(yīng)變能密度為y處應(yīng)力彎曲變形能第十章能量方法13與前面導(dǎo)出的彎曲變形能公式相同。I

彎曲變形能

剪切應(yīng)變能密度第十章能量方法與前面導(dǎo)出的彎曲I彎曲變形能剪切應(yīng)變能密度第十章能量方14

剪切變形能

剪切應(yīng)變能密度記為

k第十章能量方法剪切變形能剪切應(yīng)變能密度記為k第十章能量方法15記為

k其中的系數(shù)對矩形截面圓截面薄壁圓環(huán)第十章能量方法記為k其中的系數(shù)對矩形截面圓截面薄壁圓環(huán)第十章能量方法16例3已知:矩形截面簡支梁。求：比較彎曲和剪切變形能的大小。解：由于對稱性，只需計算一半梁中的變形能。剪力方程彎矩方程彎曲變形能第十章能量方法例3已知:矩形截面簡支梁。求：比較彎曲和剪切變17彎曲變形能剪切變形能兩種變形能之比對矩形截面又：第十章能量方法彎曲變形能剪切變形能兩種變形能之比對矩形截面又：第十18兩種變形能之比對矩形截面又：取

=0.3，當(dāng)h/l=1/5時:當(dāng)h/l=1/10時:所以，對長梁，剪切變形能可忽略不計。第十章能量方法兩種變形能之比對矩形截面又：取=0.3，當(dāng)h/19§10-3變形能的普遍表達(dá)式1變形能的普遍表達(dá)式

比例加載比例系數(shù)

:

時廣義力的大小為:

線彈性體無剛體位移廣義力P1,

,Pn

力作用點沿力的方向的 廣義位移

1,

,

n

第十章能量方法§10-3變形能的普遍表達(dá)式1變形能的普遍表達(dá)式比例20

時廣義力的大小為:當(dāng)

有d

時,位移的增量為:則功的增量為:力的總功為:第十章能量方法時廣義力的大小為:當(dāng)有d時,位移的增量為:則功21力的總功為:由功能原理，變形能為:

變形能的普遍表達(dá)式注意：

i

是P1,P2,

,Pn

共同作用下的位移。取一微段為研究對象2組合變形時的變形能第十章能量方法力的總功為:由功能原理，變形能為:變形能的普遍表達(dá)式注222組合變形時的變形能取一微段為研究對象由變形能的普遍表達(dá)式，有：積分可得桿的總變形能第十章能量方法2組合變形時的變形能取一微段為研究對象由變形能的普遍表達(dá)積23積分可得桿的總變形能注：1)上式中忽略了剪切變形能；2)若為非圓截面桿，則扭轉(zhuǎn)變形能中的Ip,應(yīng)改為It；3)不同內(nèi)力分量引起的變形能可以疊加，同一內(nèi)力分量的變形能不能疊加。第十章能量方法積分可得桿的總變形能注：1)上式中忽略了剪切變形能；第十24§10-4互等定理1功的互等定理兩種加載方式下的 變形能1)先加第一組，再加 第二組。

線彈性體上作用有 兩組力。第一組為P1,

,Pm;第二組為Q1,

,Qn。第十章能量方法§10-4互等定理1功的互等定理兩種加載方式下的1251)先加第一組，再加第二組加完第一組力時的功為:加完第二組力時，第二 組力的功為:加第二組力時，第一組力的功為:總的功為三項之和:第十章能量方法1)先加第一組，再加第二組加完第一組力時的功為:加完第26加第二組力時，第一組力的功為:總的功為三項之和:2)先加第二組，再加第一組第十章能量方法加第二組力時，第一組力的功為:總的功為三項之和:2)先272)先加第二組，再加第一組加完第二組力時的功為:加完第一組力時，第一組力的功為:加第一組力時，第二組力的功為:總的功為三項之和:第十章能量方法2)先加第二組，再加第一組加完第二組力時的功為:加完第28加第一組力時，第二組力的功為:總的功為三項之和:變形能與加載次序無關(guān)，所以:第十章能量方法加第一組力時，第二組力的功為:總的功為三項之和:變形29變形能與加載次序無關(guān)，所以:這就是功的互等定理，即:第十章能量方法變形能與加載次序無關(guān)，所以:這就是功的互等定理，即:第十30這就是功的互等定理，即:第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。2位移互等定理當(dāng)僅有兩個力P1和P2作用時,P1P2記P1作用時，在P2作用點產(chǎn)生的沿P2作用線方向的位移為d21,

21第十章能量方法這就是功的互等定理，即:第一組力在第二組力引起的位移上所作的312位移互等定理當(dāng)僅有兩個力P1和P2作用時,P1P2記P1作用時，在P2作用點產(chǎn)生的沿P2作用線方向的位移為d21,

21

12而P2作用時，在P1作用點產(chǎn)生的沿P1作用線方向的位移為d12

,則由功的互等定理，有:當(dāng)P1=P2時，則有第十章能量方法2位移互等定理當(dāng)僅有兩個力P1和P2作用時,P1P2記32P1P2

21

12則由功的互等定理，有:當(dāng)P1=P2時，則有即:當(dāng)P1=P2時，P1作用點沿P1方向由于P2的作用而引起的位移，等于P2作用點沿P2方向由于P1的作用而引起的位移。

位移互等定理說明：1)位移應(yīng)理解為廣義位移；2)功的互等定理和位移互等定理只對線彈性材料和結(jié)構(gòu)成立。第十章能量方法P1P22112則由功的互等定理，有:當(dāng)P1=P33例4.已知:靜不定梁，P,

a,l

。求：用功的互等定理求B處反力。解：取靜定基相當(dāng)系統(tǒng)如圖RB取第一組力:P,RB假想作用第二組力 為:X=1。設(shè)第一組力在X作用點B引起的位移為

B

。

B第十章能量方法例4.已知:靜不定梁，P,求：用功的互等定理解：取靜定34取第一組力:P,RB假想作用第二組力 為:X=1。設(shè)第一組力在X作 用點B引起的位移 為

B

。RB

B由變形協(xié)調(diào)條件：第二組力X在P,RB作用點引起的位移為

1,

2。第十章能量方法取第一組力:P,RB假想作用第二組力設(shè)第一組力在35RB

B可得:第一組力在第二組力引起的位移上的功為:第二組力在第一組力引起的位移上的功為:第十章能量方法RBB可得:第一組力在第二組力引起的位移上的功為:第二36第一組力在第二組力引起的位移上的功為:第二組力在第一組力引起的位移上的功為:由功的互等定理，二者應(yīng)相等:第十章能量方法第一組力在第二組力引起的位移上的功為:第二組力在第一組力37§10-5卡氏定理1卡氏第一定理設(shè)di有一增量Ddi,其它各dj不變，則

Pi作的功為PiDdi

，其它各Pj不作功，則:兩邊取極限，得:注：卡氏第一定理適用于非線性材料及結(jié)構(gòu)，是一個普遍定理，有較重要的理論價值。

卡氏第一定理第十章能量方法§10-5卡氏定理1卡氏第一定理設(shè)di有一增量Ddi382卡氏第二定理兩邊取極限，得:注：卡氏第一定理適用于非線性材料及結(jié)構(gòu)，是一個普遍定理，有較重要的理論價值。

卡氏第一定理設(shè)Pi有一增量DPi,其它各Pj不變，則Pi的增量DPi所作的功為DPiDdi/2，其它各Pi所作的功為PiDdi

。但由于di一般是未知的，使用不方便。第十章能量方法2卡氏第二定理兩邊取極限，得:注：卡氏第一定理適用于非線性39忽略高階微量DPiDdi/2，有:2卡氏第二定理設(shè)Pi有一增量DPi,其它各Pj不變，則Pi的增量DPi所作的功為DPiDdi/2，其它各Pi所作的功為PiDdi

。為應(yīng)用功的互等定理，取兩組力第十章能量方法忽略高階微量DPiDdi/2，有:2卡氏第二定理設(shè)Pi40忽略高階微量DPiDdi/2，有:為應(yīng)用功的互等定理，取兩組力將P1,P2,……,Pn看作第一組力,DPi看作第二組力。第一組力在第二組由功的互等定理,有力DPi

作用點引起的位移為di，第二組力在第一組力作用點引起的位移為Dd1，Dd2,……,Ddn。第十章能量方法忽略高階微量DPiDdi/2，有:為應(yīng)用功的互等定理，41將P1,P2,……,Pn看作第一組力,DPi

看作第二組力,第一組力在第二組由功的互等定理,有力DPi

作用點引起的位移為di，第二組力在第一組力作用點引起的位移為Dd1，Dd2,……,Ddn。第十章能量方法將P1,P2,……,Pn由功的互等定理,有力DPi42由功的互等定理,有兩邊取極限，得:注：推導(dǎo)卡氏第二定理時，用了功的互等定理，所以它只適用于線彈性材料及結(jié)構(gòu)。

卡氏第二定理3幾種常見情況橫力彎曲第十章能量方法由功的互等定理,有兩邊取極限，得:注：推導(dǎo)卡氏第二定理時433幾種常見情況橫力彎曲橫力彎曲的變形能代入卡氏第二定理交換求導(dǎo)和積分的次序，有桁架、拉、壓桿設(shè)有n根桿，則變形能為:第十章能量方法3幾種常見情況橫力彎曲橫力彎曲的變形能代入卡氏第二定理交44代入卡氏第二定理桁架、拉、壓桿設(shè)有n根桿，則變形能為:扭轉(zhuǎn)代入卡氏第二定理扭轉(zhuǎn)變形能為:第十章能量方法代入卡氏第二定理桁架、拉、壓桿設(shè)有n根桿，則變形能為:扭45組合變形代入卡氏第二定理扭轉(zhuǎn)變形能為:若Pi力同時引起軸力、扭矩和彎矩，則第十章能量方法組合變形代入卡氏第二定理扭轉(zhuǎn)變形能為:若Pi力同時引起軸力46用卡氏定理解題的一般步驟1)求約束反力；2)分段列出內(nèi)力方程（軸力、扭矩、彎矩方程）；3)對廣義力求偏導(dǎo)數(shù)；4)將內(nèi)力方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理，積分。第十章能量方法用卡氏定理解題的一般步驟1)求約束反力；第十章能量方47例1.已知:

EI,m,P,a,l。求：fC,

A。解：求反力AB段分段列彎矩方程RBRABC段第十章能量方法例1.已知:EI,m,P,a,l。求：fC48AB段分段列彎矩方程BC段RBRA求偏導(dǎo)數(shù)第十章能量方法AB段分段列彎矩方程BC段RBRA求偏導(dǎo)數(shù)第十章能量方49求偏導(dǎo)數(shù)由卡氏定理RBRA將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理第十章能量方法求偏導(dǎo)數(shù)由卡氏定理RBRA將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定50由卡氏定理將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理第十章能量方法由卡氏定理將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理第十章能量方法51將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理求

C第十章能量方法將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理求C第十章能量方法52求

CRBRA第十章能量方法求CRBRA第十章能量方法53

問題RBRA本例中求fC,

A。題中正好C點作用有P，A點作用有m。若沒有P力作用或沒有力偶m作用，則怎樣求出

fC或

A？第十章能量方法問題RBRA本例中求fC,A。有力偶m作用，則怎54aa2aABCDm例2.已知:

EI為常數(shù),m。求：

C及D點的水平位移

x，軸力及剪力不計。解：1為求

C

，加m2分段列彎矩方程并求對m2的偏導(dǎo)數(shù)m2求反力RAyRD將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理積分求出第十章能量方法aa2aABCDm例2.已知:EI為常數(shù),m。55將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù) 代入卡氏定理積分求出實際上并無m2，所以令m2=0，得：通常在積分前即令m2=0，可使積分簡單。aa2aABCDmm2RAyRD第十章能量方法將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)積分求出實際上并無m2，所以通常在積分562為求

x

，加Paaa2aABCDmPaRAxRAyRD分段列彎矩方程并求 對Pa的偏導(dǎo)數(shù)求反力在彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)中，令Pa=0積分求出將彎矩方程和偏導(dǎo)數(shù)代入卡氏定理第十章能量方法2為求x，加Paaa2aABCDmPaRAxRAy57§10-6虛功原理微小位移力在虛位移上所作的功。分為:彈性體的虛位移：滿足約束條件和連續(xù)條件的 微小位移。小變形2虛功1虛位移外力的虛功;內(nèi)力的虛功虛變形能3虛功原理外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。即:第十章能量方法§10-6虛功原理微小位移力在虛位移上所作的功。分為:583虛功原理外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。即:4外力虛功表達(dá)式廣義力P1,

, Pn;

q(x)

力作用點沿力的

外力的虛功方向的廣義虛位移第十章能量方法3虛功原理外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。即:4外力虛功表59

外力的虛功5內(nèi)力虛功表達(dá)式取微段考慮內(nèi)力在剛體虛位移 上的虛功為零內(nèi)力在虛變形上作 虛功不同內(nèi)力的虛功可 以疊加微段上內(nèi)力的虛功為第十章能量方法外力的虛功5內(nèi)力虛功表達(dá)式取微段考慮內(nèi)力在剛體虛位60不同內(nèi)力的虛功可 以疊加積分可得物體上內(nèi)力的總虛功為微段上內(nèi)力的虛功為(忽略高階微量后)第十章能量方法不同內(nèi)力的虛功可積分可得物體上內(nèi)力微段上內(nèi)力的虛功為第十章61積分可得物體上內(nèi)力的總虛功為6虛功方程將外力的虛功和內(nèi)力的虛功代入虛功原理，得:虛功原理可用于線彈性材料，也可用于非線性彈性材料。第十章能量方法積分可得物體上內(nèi)力的總虛功為6虛功方程將外力的虛功和內(nèi)力的62例已知:

P,1號桿長

l,,三桿材料均為相同的線彈性材料，截面積相同，E，A已知。求：三桿的內(nèi)力。解：設(shè)平衡時，A點的真實位移為v。各桿的伸長由胡克定律n第十章能量方法例已知:P,1號桿長l,,求：三桿的內(nèi)力。解：63由胡克定律nv設(shè)A點有一虛位移外力虛功內(nèi)力虛功因為桿中軸力為常量第十章能量方法由胡克定律nv設(shè)A點有一虛位移外力虛功內(nèi)力虛功因64n內(nèi)力虛功因為桿中軸力為常量v而第十章能量方法n內(nèi)力虛功因為桿中軸力為常量v而第十章能量方法65代入虛功方程代入軸力表達(dá)式第十章能量方法代入虛功方程代入軸力表達(dá)式第十章能量方法66§10-7單位載荷法莫爾積分為求出結(jié)構(gòu)上某一點沿某方向的位移△，1單位載荷法取結(jié)構(gòu)在外載荷作用下產(chǎn)生加一單位載荷。的真實位移作為虛位移，第十章能量方法§10-7單位載荷法莫爾積分為求出結(jié)構(gòu)上某1單位67取結(jié)構(gòu)在外載荷作用下產(chǎn)生的真實位移作為虛位移，由虛位移原理為單位載荷引起的內(nèi)力;其中，為外載荷引起的真實位移.幾種簡化形式以彎曲為主的桿拉壓桿軸力為常量時第十章能量方法取結(jié)構(gòu)在外載荷作用下產(chǎn)生的真實位移作為虛位移，由虛位移原理68幾種簡化形式以彎曲為主的桿拉壓桿軸力為常量時

n根桿(桁架)扭轉(zhuǎn)

注：1)單位載荷法可用于非線性彈性材料;第十章能量方法幾種簡化形式以彎曲為主的桿拉壓桿軸力為常量時n根桿69扭轉(zhuǎn)

注：1)單位載荷法可用于非線性彈性材料;2)若求出的△為正，則表示△與單位力的方向相同。3)單位力和位移均為廣義的。2莫爾積分對于線彈性材料，單位載荷法中的位移為第十章能量方法扭轉(zhuǎn)注：1)單位載荷法可用于非線性彈性材料;2)若求702莫爾積分對于線彈性材料，單位載荷法中的位移為則:第十章能量方法2莫爾積分對于線彈性材料，單位載荷法中的位移為則:第十章71則:這些公式統(tǒng)稱為莫爾定理，積分稱為莫爾積分。第十章能量方法則:這些公式統(tǒng)稱為莫爾定理，積分稱為莫爾積分。第十章能量方72這些公式統(tǒng)稱為莫爾定理，積分稱為莫爾積分。或:式中：加一杠的內(nèi)力是單位力引起的內(nèi)力；未加杠的內(nèi)力是原外力引起的內(nèi)力。顯然，莫爾積分僅適用于線彈性結(jié)構(gòu)。第十章能量方法這些公式統(tǒng)稱為莫爾定理，積分稱為莫爾積分?；?式中：加一杠的73求相對位移加一對方向相反的單位力。第十章能量方法求相對位移加一對方向相反的單位力。第十章能量方法74例3已知:

P,l,

,截面積A,求：B點垂直位移。解：單位載荷法可求解材料非線性問題。對桿系求桿的伸長應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為其中，C為常數(shù)，s,e

皆取絕對值。N1N2取B點，受力如圖第十章能量方法例3已知:P,l,,截面積A,求：B點垂直位75對桿系求桿的伸長N1N2由平衡方程應(yīng)力取B點，受力如圖(壓力)(壓應(yīng)力)第十章能量方法對桿系求桿的伸長N1N2由平衡方程應(yīng)力取B點，受力76應(yīng)力應(yīng)變桿的伸長第十章能量方法應(yīng)力應(yīng)變桿的伸長第十章能量方法77桿的伸長單位載荷引起的軸力取B點，受力如圖由平衡方程第十章能量方法桿的伸長單位載荷引起的軸力取B點，受力如圖由平衡方程78例4已知:

P,l,a,E,I1,I2,

不計軸力和剪力的影響。求：A點垂直位移

y及B截面的轉(zhuǎn)角

B

。解：1實際載荷的彎矩

AB段在A點加y方向單位力laCEI2BAEI1x1x2P

BC段2求

y

CBAx1x21第十章能量方法例4已知:P,l,a,E,I1,I2,791實際載荷的彎矩

AB段在A點加y方向單位力

BC段2求

y

CBAx1x21單位載荷的彎矩AB段BC段代入莫爾積分公式第十章能量方法1實際載荷的彎矩AB段在A點加y方向單位力BC段280代入莫爾積分公式

AB段

BC段第十章能量方法代入莫爾積分公式AB段BC段第十章能量方法81在B點加單位力偶矩2求

B

CBAx1x21單位載荷的彎矩AB段BC段代入莫爾積分公式第十章能量方法在B點加單位力偶矩2求BCBAx1x21單位載荷82代入莫爾積分公式

AB段

BC段CBAx1x21這里的負(fù)號表示轉(zhuǎn)向為順時針的。第十章能量方法代入莫爾積分公式AB段BC段CBAx1x21這里的負(fù)83§10-8計算莫爾積分的圖乘法桿件為等截面直桿。圖乘法的條件：莫爾積分對等截面直桿，EI,GIp或EA為常量。所以需要計算積分成為用圖乘法計算莫爾積分第十章能量方法§10-8計算莫爾積分的圖乘法桿件為等截面直桿。圖乘84所以需要計算積分用圖乘法計算莫爾積分通常是x的線性函數(shù)設(shè)直線與x軸的夾角為

則有：上述積分可表示為：M(x)彎矩圖的面積對y軸的靜矩。第十章能量方法所以需要計算積分用圖乘法計算莫爾積分通常是x的線性函數(shù)85M(x)彎矩圖的面積對y軸的靜矩。記M(x)彎矩圖的面積為

。根據(jù)靜矩的計算公式，有:第十章能量方法M(x)彎矩圖的面積對y軸記M(x)彎矩圖的面積為。根據(jù)靜86式中，為圖中與圖的形心位置C所對應(yīng)處的縱坐標(biāo)。莫爾積分的圖乘公式為第十章能量方法式中，為圖中與圖的形心位置C所對應(yīng)處的縱坐標(biāo)。莫爾積分的圖87莫爾積分的圖乘公式為此式對軸力和扭矩也適用即：莫爾積分的計算，可用載荷的彎矩圖的面積與該圖形形心位置所對應(yīng)之處的單位載荷(直線)的彎矩圖的幅度之積代替。幾種常用圖形的面積和形心位置第十章能量方法莫爾積分的圖乘公式為此式對軸力和扭矩也適用即：莫爾積分的88幾種常用圖形的面積和形心位置頂點頂點頂點第十章能量方法幾種常用圖形的面積和形心位置頂點頂點頂點第十章能量方法