第一章矢量場第1頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008課程簡介主講： 曾潔魏梅馮慶勝

地址：3-310

電話：84106878第2頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008課堂要求認真聽講，適當(dāng)做好筆記。上課不許講話。上課不許干與課程無關(guān)的事情，例如：看雜志，玩手機等。如無特殊情況，一律不允許請假。保證上課出勤情況。上課嚴禁遲到。點名嚴禁代替。第3頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008課程安排及考試理論課為主，實驗課共6學(xué)時（不具備條件）。做好筆記，特別是典型例題和練習(xí)題。平時表現(xiàn)和作業(yè)占20％，實驗10%，期末考試占70％。課程結(jié)束時，不劃范圍，只給題型，每一章結(jié)束時都給出小結(jié)，作為復(fù)習(xí)依據(jù)。課程結(jié)束后，安排課外答疑。第4頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008本課程的內(nèi)容（1）一、矢量場: 矢量及其矢量場；三種常用的坐標系；標量函數(shù)的梯度；

矢量函數(shù)的散度和旋度；Green定理；矢量場的唯一性定理。二、靜電場:

電場強度與電位函數(shù)；靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)；

靜電場方程（高斯定理與電場環(huán)路積分定律）；靜電場的邊界條件；泊松&拉普拉斯； 幾種特殊的方法：電軸法和鏡象法； 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容；靜電場的能量與力。三、恒定電流場:

電流密度定義；

恒定電流場方程；恒定電流場的邊界條件；

靜電比擬法。四、恒定磁場:

磁感應(yīng)強度定義；媒質(zhì)的磁化；

恒定磁場方程（磁通連續(xù)性原理與安環(huán)定律）；恒定磁場的邊界條件； 電感的定義及計算；磁場能量及磁場力第5頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008五、時變電磁場:

麥克斯韋方程組；時變電磁場的邊界條件； 波動方程與位函數(shù)求解； 時變電磁場的能量及功率；時諧電磁場；六、平面電磁波:

理想介質(zhì)及導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面電磁波；電磁波的極化； 勻平面電磁波垂直投射到：

理想導(dǎo)體表面；單層界面；多層平行界面 均勻平面電磁波斜投射到：

理想導(dǎo)體表面；兩種不同介質(zhì)的分界面； 電磁波在導(dǎo)體中的傳播時表現(xiàn)出的一些特性七、電磁兼容:基本概念；技術(shù)術(shù)語；電磁標準；常用的抗干擾措施；八、無線電通信系統(tǒng)中的電磁兼容技術(shù):

本課程的內(nèi)容（2）第6頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008本課程的內(nèi)容（3）一、矢量場二、靜電場三、恒定電流場四、恒定磁場五、時變電磁場六、平面電磁波七、電磁兼容八、無線電通信系統(tǒng)中的電磁兼容技術(shù)無線電波傳播射頻/微波/電氣工程電路無線通信天線第7頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20080概論學(xué)習(xí)電磁場理論的意義本課程的性質(zhì)、任務(wù)和要求本課程的學(xué)習(xí)方法電磁場理論的發(fā)展歷史第8頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008學(xué)習(xí)電磁理論的意義(1)新業(yè)務(wù)1頻率有效利用技術(shù)新頻段的啟用信道容量不足信道容量仍不足新業(yè)務(wù)2頻率有效利用技術(shù)新頻段的啟用移動通信：f=60MHz→

150MHz→400MHz→800/900MHz→1800/1900MHz

=5m

→2m →75cm→37.5/33.3cm→16.6/15.7cm第9頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008學(xué)習(xí)電磁理論的意義(2)微電子器件與電路微波工程與射頻工程無線通信生物醫(yī)學(xué)工程光通信電氣工程電磁理論電磁理論通過不同的學(xué)科/技術(shù)日益滲入人們的日常生活。第10頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008無線通信第11頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008TransmitterReceiverwave/signalpropagationTxAntennaRxAntennaTransmission/FeedLine(higheroperationfreq.)第12頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008TypicalApplicationsrelatedtoEMs: Personalcomputers

–GHzfrequencyrange

Cellularphones,pagers,satellitephones

–GHzfrequencyrange Biomedicalequipment

–Implantsinsidethehumanbody

Wearablewirelessdevices

–Landwarrior Remotesensing

–Astronomy RFIDandTagging

–Inventoryandsecurity GPS

–Navigation

BluetoothandWLAN

–Shortdistancecommunication VehicleDopplerradar

–collisionavoidance

PoliceRadio

–Communication

nationaldefence-informationandelectronwar第13頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008本課程的性質(zhì)、任務(wù)和要求《電磁場與電磁波》是電專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)理論課。

電路理論的生長點：Maxwell方程組電路理論

低頻高頻射頻/微波光纖任務(wù):介紹宏觀電磁現(xiàn)象的基礎(chǔ)理論和平面電磁波動的基本規(guī)律，研究 靜電場，恒定電場，恒定磁場，時變電磁場，平面電磁波以及電磁輻射基礎(chǔ)理論要求： 完整地理解和掌握宏觀電磁場的基本性質(zhì)和基本規(guī)律； 對通信工程中的電磁現(xiàn)象和電磁場問題能用場的觀點進行分析和 計算，提高分析和解決通信工程中實際問題的能力。 為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

第14頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008本課程的學(xué)習(xí)方法電磁場與電磁波理論：

體系完整；概念性強；空時多位矢量復(fù)雜；方法靈活。 熟練數(shù)學(xué)工具； 加深對基本概念的理解； 培養(yǎng)形象思維與抽象思維

本課程不是數(shù)學(xué)課，不要陷入數(shù)學(xué)之中。

認真完成作業(yè)。第15頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量分析和場論是研究電磁場理論的重要基礎(chǔ)。在電磁理論中，要研究某些物理量在空間的分布和變化規(guī)律，就需要引入場的概念。主要內(nèi)容：標量與矢量的概念標量場的梯度，矢量場的散度和旋度散度、旋度和梯度的計算公式和方法散度定理和斯托克斯定理兩個重要的定理亥姆霍茲定理及其重要意義第1章

矢量場第16頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.1標量場與矢量場1.1.1標量和矢量

一個只用數(shù)值大小描述的物理量，稱為標量。一個既有大小又有方向特性的物理量，稱為矢量，有時也稱為向量。用黑體字母或帶箭頭的字母表示，A或者A。矢量的大小用絕對值表示，叫做矢量的模，矢量的方向用單位向量表示，則矢量表示為：模

A

單位矢量（方向）

第17頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.1.2矢量的加法和減法1.加法：矢量與相加，可以按照平行四邊形法則求得。從同一個點分別引出矢量與，構(gòu)成一個平行四邊形，其對角線矢量，即是與的和。圖示：矢量的加法第18頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008kA=(kA)直角坐標系下：第19頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008第20頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量的加法滿足交換律和結(jié)合律第21頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

——

的大小與

的大小相等，但方向相反，用平行四邊形法則表示為：

2.矢量的減法定義為第22頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008第23頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.1.3矢量的乘法矢量與標量的乘積點乘（標積，點積）叉乘（矢積）

第24頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.標量與矢量的乘積標量與矢量的乘積其結(jié)果仍是一個矢量，該乘積的大小為，方向為。標量與矢量的乘積的表達式為：第25頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20082.標積（點積）:第26頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008幾何含義：標積

投影第27頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量的點乘服從交換律和分配律：第28頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20083.矢積（叉乘）:第29頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008幾何含義：矢積

面積方向：為垂直于矢量與的平面，方向為當(dāng)右手四個手指從矢量到旋轉(zhuǎn)時，大拇指的方向。第30頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量的叉乘不滿足交換律，但滿足分配律。第31頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20084.常用的矢量運算式：第32頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

,findForvector:例題1：第33頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

例題2：第34頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.2三種常用的坐標系1.2.1直角坐標系直角坐標系是一種最基本的正交曲線坐標系，三個坐標變量都是單位長度，對于空間中任一點，是三個坐標曲面、、的交點。第35頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008任一矢量在直角坐標系中可表示為其中、、分別是矢量在、、方向上的投影。第36頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008公式：第37頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008在直角坐標系中：元長度為元面積為元體積為第38頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.2.2圓柱坐標系圓柱坐標系，簡稱柱坐標系，任意一點P的坐標用、、三個變量來表示，如下圖所示：第39頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008任一矢量在圓柱坐標系中可表示為其中、、分別是矢量在、、方向上的投影。第40頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008在圓柱坐標系中：元長度為元面積為元體積為第41頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008直角坐標與柱坐標的互換：第42頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量在點的直角坐標分量與柱坐標分量的互換：XYZAAxAyAzq

第43頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.2.3球坐標系球面坐標系簡稱球坐標系。球坐標系中任一一點P的坐標用、、三個量表示。如下圖所示：第44頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008任一矢量在球面坐標系中可表示為其中、、分別是矢量在、、方向上的投影。第45頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008在球面坐標系中元長度為元面積為元體積為第46頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008直角坐標與球坐標的互換：第47頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008úúú?ùêêê?éúúú?ùêêê?é--=úúú?ùêêê?ézyxrAAAAAA0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinjjqjqjqqjqjqjqúúú?ùêêê?éúúú?ùêêê?é--=úúú?ùêêê?éjqqqjjqjqjjqjqAAAAAArzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossin矢量在點的直角坐標分量與球坐標分量的互換：XYZAAxAyAzq

第48頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.3標量場和矢量場如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的任一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，我們稱在這個區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。因此場就是物理量在空間中的確定分布，它是空間位置和時間的函數(shù)。例如在房間中溫度的分布確定了一個溫度場，空間中的重力確定了一個重力場。第49頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008如果確定場的物理量與時間無關(guān)，不隨時間變化，則稱該場為靜態(tài)場；若該物理量隨時間變化與時間有關(guān)，則稱該場為動態(tài)場或者時變場。第50頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008如果確定場的物理量是一個矢量，則該場稱為矢量場。用矢量函數(shù)表示或者或者如果確定場的物理量是一個標量，則該物理量所確定的場稱為標量場。比如溫度場。標量場可以用標量函數(shù)表示為或者或者第51頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.3.1標量場的等值面

在研究場的特性時，通常用場圖來反應(yīng)物理量在空間逐點分布情況。在標量場中，通常引入等值面的概念。使標量函數(shù)取得相同數(shù)值的點構(gòu)成一個空間曲面稱為等值面。等值面可以用等值面方程表示其中C為任意給定的常數(shù)。第52頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008等值面的特點：

常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；若是標量場中的任一點，顯然，曲面是通過該點的等值面，因此標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。第53頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008第54頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008例3

求數(shù)量場φ=(x+y)2-z通過點M(1,0,1)的等值面方程。

解：點M的坐標是x0=1,y0=0,z0=1，則該點的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或第55頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.3.2矢量場的矢量線

在研究矢量場時，如何形象直觀地描述該矢量場在空間的分布狀況？通常用矢量線來表示。矢量線是場空間中的有向曲線，矢量線上任一點的切線方向都與該點的場矢量方向相同。第56頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量線的特點是：矢量場中的每一點都有矢量線通過，且充滿矢量場所在的空間。矢量線微分矢量：解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。既能根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的方向，又可根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別各處的矢量大小及變化趨勢。第57頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.4標量場的梯度在標量場中，等值面描述了的分布狀況，但是等值面只能大致的反應(yīng)場量整體的分布情況。研究標量場在空間的變化情況，就需要引入方向?qū)?shù)和梯度的概念。第58頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.方向?qū)?shù)定義標量場中任取一點，從出發(fā)引出一條射線，在上的任取一點，到的距離為。如圖所示。當(dāng)點沿趨近于即時，比值的極限稱為標量場在點處沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即1.4.1標量場的方向?qū)?shù)第59頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008結(jié)論：方向?qū)?shù)是標量場在點處沿方向?qū)嚯x的變化率。當(dāng)時，標量場在點沿方向是增加的；當(dāng)時，標量場在點沿方向是減小的；當(dāng)時，標量場在點沿方向是不變的。第60頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20082.方向?qū)?shù)計算公式推導(dǎo)在直角坐標系中，如果函數(shù)在點處可微，則在點處沿方向的方向?qū)?shù)存在。根據(jù)全微分的概念可以得到第61頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008設(shè)的三個方向余弦分別為、、，則于是可以得到直角坐標系中，點的方向?qū)?shù)計算公式為：第62頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

例5

求數(shù)量場在點M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為第63頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008而數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)第64頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.4.2標量場的梯度方向?qū)?shù)可以描述標量場在某點沿某一個方向的變化率，問題：但是在場中，從該點出發(fā)會有無窮多個方向，沿不同的方向?qū)?yīng)的變化率也不盡相同。究竟沿哪一個方向上的變化率是最大的呢？最大值又是多少呢？

——為了描述這個問題，引入了梯度的概念第65頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.定義標量場在點處的梯度是一個矢量，方向沿在點處變化率最大的方向，大小等于其最大的變化率，記作，即式中，是變化率最大的方向上的單位向量。第66頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008可得到直角坐標系中梯度的表達式為：在矢量分析中，我們經(jīng)常會用到哈密爾頓算子，也稱為微分算子。在直角坐標系中：第67頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008柱坐標和球坐標的表示分別為：第68頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008則，標量場的梯度為柱坐標和球坐標表示：第69頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20082.梯度特點：1）.標量場的梯度是一個矢量場，其大小是變化速率的最大值，方向是標量場在該點變化速度最快的方向。2）.標量場中每一點處的梯度，都與標量場在該點的等位線相垂直，并指向標量場增加的方向。第70頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立。公式：第71頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.5矢量場的通量和散度1.5.1矢量場的通量1.定義矢量場的通量是描述矢量場性質(zhì)的重要概念之一。設(shè)為一空間曲面，取上一面元，設(shè)為其法線方向上的單位矢量，則第72頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008通量的定義：

矢量場在場中的曲面上的積分稱為矢量場的通量。S第73頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008若是一閉合曲面，則其中，為外法線單位矢量。通量是一個標量。若第74頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20082.通量的物理意義：當(dāng)時，說明穿出閉合曲面的通量多于進入的通量，表明有穿出閉合曲面的凈通量，閉合曲面內(nèi)有發(fā)出矢量線的源，稱為正源；第75頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008當(dāng)時，說明穿出閉合曲面的通量少于進入的通量，表明有進入閉合曲面的凈通量，閉合曲面內(nèi)有匯聚矢量線的源，稱為負源或者洞；當(dāng)?shù)?6頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008當(dāng)時，說明穿出閉合曲面的通量等于進入的通量，表明此時閉合曲面內(nèi)正的通量源和負的通量源的代數(shù)和為0，閉合曲面內(nèi)無通量源。第77頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.5.2矢量場的散度問題引出：由于通量只能分析閉合面內(nèi)矢量源的整體情況，要分析場中任一點附近通量源的具體分布，就需要引入矢量場的散度這一重要概念。第78頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.定義在矢量場中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面，當(dāng)所限定的體積以任意方式趨近于零時，則比值的極限稱為矢量場在點M處的散度，并記作，即第79頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20082.結(jié)論（I）表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。當(dāng)時，表明M點有發(fā)出矢量線的正通量源；時，則表明該點有匯聚矢量線的負源；時，則該點無通量源。第80頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20082.結(jié)論（II）散度為一個標量。矢量場的散度可表示為哈密爾頓微分算子與矢量的標量積：在直角坐標系中，第81頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

?A

=0(無源）

?

A

=0(負源)

?A

=0(正源)第82頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008散度的柱坐標計算表示為：散度的球坐標計算表示為：第83頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008例7：求標量函數(shù)梯度的散度。解：記Laplace運算Laplace算子/Delta算子第84頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.5.3散度定理散度定理是矢量分析中一個非常重要的定理。根據(jù)散度的定義，的散度是單位體積內(nèi)所發(fā)出的通量，所以從整個體積V中發(fā)出的總通量即為散度的體積分。散度定理又稱為高斯定理第85頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008內(nèi)容為：矢量場的散度在體積上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面上的面積分，即第86頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008意義：矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關(guān)系，是矢量分析中的一個重要的恒等式。第87頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008例：在的矢量場中，若有一個邊長為，中心在直角坐標系原點，各表面與三個坐標面平行的正六面體，如圖所示，試求從正六面體內(nèi)穿出的電場凈通量，并驗證散度定理。例題8第88頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008解：（1）根據(jù)矢量場通量的定義式可得因為只有方向的分量，且:所以：第89頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

第90頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008（2）根據(jù)散度的定義，對散度進行體積分，可以得到：第91頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008由以上兩個方面的分析可以得到驗證了散度定理第92頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.6矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的散度描述了通量源的分布情況，反映了矢量場的重要性質(zhì)。與此同時，反映矢量場的空間變化規(guī)律的另一個重要物理量是矢量場的環(huán)量和旋度。第93頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.定義在矢量場中，選取一閉合曲線，矢量場沿該閉合路徑的曲線積分稱為矢量場沿閉合曲線的環(huán)量。其中，是路徑上的線元矢量，其大小為，方向沿路徑的切線方向。1.6.1矢量場的環(huán)量第94頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量場的環(huán)量與矢量場穿過閉合曲面的通量一樣，都是描述矢量場性質(zhì)的重要參量。矢量場的通量描述的是區(qū)域內(nèi)通量源的分布，矢量場的環(huán)量反映的是矢量場的空間變化規(guī)律，若矢量沿閉合曲線的環(huán)量不為0，則認為場中有產(chǎn)生該矢量場的源，表示該閉合曲線內(nèi)存在另一種源，稱為漩渦源。2.意義第95頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.6.2矢量場的旋度從矢量分析的角度來看，我們希望知道場中每一個點附近的環(huán)量狀態(tài)，為此我們引入環(huán)量面密度的概念，在矢量場中，任一點M處作一面元，方向為該面元的法向單位矢量，我們定義矢量場在點M處沿方向的環(huán)流面密度為：，。第96頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008定義矢量場的在場中點M處的旋度，記作或者，定義為：矢量場的在場中某點M的旋度是一個矢量，它的方向是沿著使環(huán)量面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)量面密度最大值。第97頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量場的旋度描述了矢量在該點的漩渦源強度。如果在空間的各點的旋度為0，則稱該矢量場為無旋場或保守場。結(jié)論：第98頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008計算公式：旋度可以用哈密爾頓算符表示為第99頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008復(fù)習(xí)：第100頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008旋度的運算規(guī)則：對應(yīng)習(xí)題：證明課后題6，9，10，11第101頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008旋度的柱坐標計算表示為：旋度的球坐標計算表示為：第102頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008

：位置矢量表示空間任一觀察點（場點），表示產(chǎn)生場的源的坐標（源點），表示源點到場點的距離（距離矢量）。求及解：作業(yè)：第103頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008可以用于第二章的結(jié)論?。〉?04頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.6.3斯托克斯定理旋度代表單位面積的環(huán)量。因此矢量場在閉合曲線上的環(huán)量等于閉合曲線所包圍曲面上的旋度總和，即稱為斯托克斯定理。第105頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008結(jié)論：它表明矢量場的旋度在曲面上的面積分，等于矢量場在限定曲面的閉合曲線上的線積分。它是矢量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換關(guān)系，它是矢量分析中一個重要的恒等式，是分析電磁理論過程中非常重要的定理。第106頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008例題9已知矢量場，求該矢量場在點M（1,0,1）處的旋度。第107頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008解：根據(jù)矢量場旋度的定義式可得，矢量場的旋度為第108頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008所以，將點M的坐標代入矢量場的旋度表達式，可得矢量場在點M（1,0,1）處的旋度為第109頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008練習(xí)：

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2,z=0的環(huán)量(見圖)。第110頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008解：由于在曲線l上z=0，所以dz=0。第111頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008練習(xí)：

求矢量場A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：矢量場A的旋度

第112頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008在點M(1，0，1)處的旋度n0方向的單位矢量在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度第113頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008練習(xí)：

在坐標原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強度為求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度▽×E。第114頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008解：第115頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU20081.7亥姆霍茲定理矢量場的散度是一個標量函數(shù)，它表示場中某點的通量密度，是場中某點通量源強度的度量，它取決于場的各坐標分量對各自坐標的偏微分，所以散度是由場分量沿各自方向上的變化率所決定的。矢量場的旋度是矢量函數(shù)，它表示場中某點的最大環(huán)量強度，是場中某點處漩渦源強度的度量，它取決于矢量場各坐標分量分別對與之垂直方向坐標分量的偏微分，所以旋度是由各場分量在與之正交方向上的變化率所決定的。第116頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008散度表示矢量場中各點場與通量源的關(guān)系，而旋度表示場中各點場與漩渦源的關(guān)系。散度和旋度表示了矢量場的性質(zhì)和量度，一個矢量場所具有的性質(zhì)，就可由它的散度和旋度來說明。因此，場的散度和旋度一旦確定，這就意味著場的通量源和漩渦源也就確定了。同時，因為場是由源所激發(fā)產(chǎn)生的，這就意味著場也確定了。第117頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008可以證明：在有限的區(qū)域內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件唯一的確定，這就是亥姆霍茲定理，可表示為：第118頁，課件共136頁，創(chuàng)作于2023年2月

?DJTU2008矢量場可以用一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和表示。此標量函數(shù)由的散度和在邊界上的法向分量完全決定，而矢量函數(shù)由的旋度和在邊界上的切向分量完全確定。由于，，因此一個矢量場可以表示為一個無旋場和一個無散場之和。如果在區(qū)域內(nèi)矢量場的散度和旋度均處處為0，則由其在邊界面上的場分布完全取定。亥姆霍茲定理表明：第119頁，課件共136頁，創(chuàng)作于