來鳳縣2022-2023學(xué)年高三年級(jí)（上）期末模擬測試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。下列各題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。）1.已知集合，則M∪N=（A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z=10i2+i，則A．25 B．7 C．5 D．53.六名志愿者到北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)參加活動(dòng)，若每個(gè)賽區(qū)兩名志愿者，則安排方式共有（）A.15種 B.90種 C.540種 D.720種4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為（）A.12 B.14 C.16 D.186.已知點(diǎn)，，，，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，若的垂直平分線過的下頂點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿足：，則下列說法正確的是（）A.若，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列B.若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列C.時(shí)，D.時(shí)，二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)越來越小D.當(dāng)時(shí)，10.某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（單位：噸）與需求某種材料y（單位：噸）之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示x3467y34根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，則以下正確的是（）A.變量x與y正相關(guān) B.y與x的相關(guān)系數(shù)C. D.產(chǎn)量為8噸時(shí)預(yù)測所需材料約為噸11.設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.12.已知正方體的棱長為2，P，Q分別為棱，的中點(diǎn)，M為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.C.三棱錐的體積為定值D.M為BD的中點(diǎn)時(shí)，則二面角的平面角為60°三.填空題(共4題，總計(jì)16分)13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．14.一個(gè)盒子內(nèi)裝有形狀大小完全相同的個(gè)小球，其中個(gè)紅球個(gè)白球.如果不放回依次抽取個(gè)球，則在第一次抽到紅球的條件下，第二次抽到紅球的概率為___________.15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點(diǎn)，則|MO|＝___.16.已知為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，是棱延長線上的一點(diǎn)，且，若，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長為___________.四.解答題(共6題，總計(jì)74分)17.已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，，，．（1）求；（2）記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．18.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，求△ABC的面積．19.為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了個(gè)蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個(gè)蘋果中隨機(jī)挑出個(gè)，這個(gè)蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個(gè)數(shù)為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這個(gè)蘋果中隨機(jī)選出個(gè)，記隨機(jī)選出的個(gè)蘋果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.如圖，一張邊長為4的正方形紙片ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EF對折后豎立在水平的桌面上．（1）求證：；（2）若二面角的平面角為45°，K是線段CF（含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)K，使得直線AK與平面CDEF所成角的正切值為？若存在，求出CK的長度；若不存在，說明理由．21.已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)、是雙曲線的兩個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線交于，直線交于，證明：直線的傾斜角為定值．22.過點(diǎn)可以作出曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)．（1）證明：；（2）線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，比較與a的大小關(guān)系．來鳳縣2022-2023學(xué)年高三年級(jí)（上）數(shù)學(xué)期末模擬測試參考答案及解析一.單項(xiàng)選擇題1.【答案】：C【解析】：由得，函數(shù)R上單調(diào)遞增，則，即，又由得，即，所以.故選：C.2.【答案】：C【解析】：因?yàn)?，所以，故．故選：C．3.【答案】：B【解析】：解：先從六名志愿者中選擇兩名志愿者到北京參加活動(dòng)，有種方法，再從剩下4名志愿者中選擇2名志愿者到延慶參加活動(dòng)，有種方法，最后從剩下的2名志愿者中選擇2名志愿者到延慶參加活動(dòng)，有種方法.由乘法分步原理得共有種方法.故選：B4.【答案】：D【解析】：由，可得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，，其中可為，此時(shí)，即必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.【答案】：B【解析】：因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺(tái)，計(jì)算安排種數(shù)有兩類辦法：若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種；若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個(gè)人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種，則共有種，綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為.故選：B6.【答案】：B【解析】：設(shè)與夾角為，因?yàn)椋?，所以．故選：B7.【答案】：A【解析】：由題可知，因?yàn)榈拇怪逼椒志€過的下頂點(diǎn)，所以，則，解得：，所以的離心率.故選：A8.【答案】：C【解析】：由得，即，所以數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列，函數(shù)，A項(xiàng)，，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，B項(xiàng)，，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，即數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，C項(xiàng)，時(shí)，可知，，，D項(xiàng)，時(shí)，，由C知，，故選：C.二.多選題9.【答案】：CD【解析】：因?yàn)?，所以，因?yàn)樾D(zhuǎn)一周用時(shí)6秒，所以角速度，所以，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，所以，所以A錯(cuò)誤，對于B，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在此區(qū)間上不單調(diào)，所以B錯(cuò)誤，對于C，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)越來越小，所以C正確，對于D，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：CD10.【答案】：ACD【解析】：，，所以，所以變量x與y正相關(guān)，y與x的相關(guān)系數(shù)，，產(chǎn)量為8噸時(shí)預(yù)測所需材料約為噸.所以ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD11.【答案】：AC【解析】：依題意，由于在上遞增，所以，A選項(xiàng)正確.由于在上遞減，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以，C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12.【答案】：BC【解析】：由正方體的性質(zhì)可知，與不平行，故A錯(cuò)誤；由正方體的性質(zhì)可知，又，∴平面，又平面，∴，故B正確；由題可知M到平面的距離為定值d=2，三角形的面積為定值，所以為定值，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，設(shè)平面PQM的法向量為，則，令，則，平面的法向量可取，設(shè)二面角的平面角為，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.二.填空題13.【答案】：【解析】：由為偶函數(shù)，則即即所以，則，故故答案為：14.【答案】：.【解析】：記事件第一次抽到紅球，記事件第二次抽到紅球，則，，因此，所求概率為.故答案為：.15.【答案】：4【解析】：延長交于，由于是的角平分線，，所以三角形是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.故答案為：16.【答案】：.【解析】：因?yàn)?，是棱延長線上的一點(diǎn)，且，所以，由勾股定理，可知，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，如下如所示：所以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在平面上的交的弧線是以為圓心，為半徑的圓弧，其中該圓弧所對圓心角為；在平面上的交的弧線是以為圓心，為半徑的圓弧，其中該圓弧所對圓心角為；在平面上的交的弧線是以為圓心，為半徑的圓弧，其中該圓弧所對圓心角為；所以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長為.故答案為：.17【答案】：（1）（2）【解析】：【小問1詳解】由得，則，因，則，，又，，則，所以.【小問2詳解】（2）由題設(shè)及（1）得，且當(dāng)時(shí)，，即，，所以．18【答案】：【解析】：解：因?yàn)椋?，由正弦定理得：，即即，又因?yàn)锳為內(nèi)角，，所以因?yàn)?，所以．根?jù)余弦定理及，，，得，即，即，．所以△ABC的面積19【答案】：（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】：【小問1詳解】解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從蘋果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機(jī)變量的分布列為：所以.20【答案】：（1）證明見解析（2）存在；CK的長度為2【解析】：小問1詳解】因?yàn)椋?，，所以平面ADE．因?yàn)槠矫鍭DE，所以．【小問2詳解】方法一：因?yàn)椋允嵌娼茿－EF－D的平面角，即．因?yàn)槠矫鍭DE，所以平面平面ADE．過A作，垂足為G，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫鍯DEF．連結(jié)KG，則為AK與平面CDEF所成的角，即．在中，因?yàn)椋?，所以．在中，因?yàn)?，所以．設(shè)，過K作于H，則．在中，由，得，解之得或（舍），所以，即．方法二：因?yàn)?，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A（2，0，0），，設(shè)直線AK與平面CDEF所成角為，則，從而．設(shè)平面CDEF法向量為，直線AK的方向向量與平面CDEF法向量所成的角為，則．因?yàn)?，所以，令，則所以，解得．此時(shí)，點(diǎn)K為點(diǎn)F，CK的長度為2．21【答案】：（1）；（2）證明見解析.【解析】：【小問1詳解】解：由題意得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】解：由（1）知，雙曲線方程為．設(shè)，則，則，因?yàn)椤?，所以．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，則，直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，由韋達(dá)定