第七章分組碼和卷積信道碼第1頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容6.1線性分組碼6.2卷積碼6.3帶限信道的編碼調(diào)制——網(wǎng)格編碼調(diào)制2第2頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容6.1線性分組碼6.2卷積碼6.3帶限信道的編碼調(diào)制——網(wǎng)格編碼調(diào)制3第3頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼4第4頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼5第5頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的描述分組碼： 分組碼由一組固定長(zhǎng)度稱(chēng)為碼字的矢量構(gòu)成。碼字的長(zhǎng)度是矢量元素的個(gè)數(shù)，用n表示。碼字的元素選自由q個(gè)元素組成的字符集。字符集由0，1兩個(gè)元素組成時(shí)，該碼就是二進(jìn)制碼。長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制分組碼可能有種可能的碼字。從這種碼字中可以選擇個(gè)碼字（k<n）組成一種碼。這樣一個(gè)k比特信息的分組可以映射到長(zhǎng)度為n的一個(gè)碼字，這樣得到的分組碼稱(chēng)為（n,k）碼，定義k/n≡為碼率。碼字的重量：既該碼字包含的非零元素的個(gè)數(shù)。編碼中所有碼字重量的集合形成該碼的重量分布。如果全部M個(gè)碼字都具有相同的重量，這種碼叫做固定重量碼或者恒重碼。

6第6頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的描述分組碼編、解碼的功能體現(xiàn)為對(duì)碼字實(shí)行乘、加算數(shù)運(yùn)算，算數(shù)運(yùn)算的規(guī)則服從元素所在字符集代數(shù)域的慣例。碼是由有限個(gè)元素的域構(gòu)成的。具有q個(gè)元素的有限域通常稱(chēng)為伽羅華域，用GF(q)表示。一般的，若q是素?cái)?shù)，可構(gòu)成一個(gè)由元素{0，1，…q-1}組成的q元域GF(q)。在域中的加、乘運(yùn)算定義為模q運(yùn)算，寫(xiě)做（modq）。通常，有限域只有當(dāng)q是素?cái)?shù)或者是素?cái)?shù)的冪時(shí)才能構(gòu)成。當(dāng)q是素?cái)?shù)時(shí)，乘法和加法基于模q運(yùn)算。如果（p是素?cái)?shù)，m是任意正整數(shù)），有可能將GF(q)域擴(kuò)展成GF（）7第7頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼8第8頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣設(shè)是編進(jìn)碼字里的k個(gè)信息比特。輸入編輯器的k位信息可寫(xiě)做編碼器輸出矢量記為編碼運(yùn)算可以用一組n個(gè)方程表示如下

9第9頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣線性方程組可以用矩陣的形式表示如下式中G稱(chēng)為該碼的生成矩陣10第10頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣任何碼字都是G的矢量的線性組合，即生成矩陣G的行矢量必須是線性無(wú)關(guān)的，即它們必須擴(kuò)張成整個(gè)k維子空間。子空間是k維的，因而G的秩是k。（n,k）碼的任何生成矩陣都可以通過(guò)行運(yùn)算（以及列置換）簡(jiǎn)華成系統(tǒng)形式：

11第11頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣如果生成的矩陣產(chǎn)生的（n,k）碼不具備上式所示的系統(tǒng)形式，則該碼叫做非系統(tǒng)碼。如果一個(gè)矩陣能通過(guò)行運(yùn)算和列置換得到另一個(gè)矩陣，這兩個(gè)矩陣稱(chēng)為等效的，非系統(tǒng)形式的生成矩陣可以和另一個(gè)系統(tǒng)形式的生成矩陣等效。由兩個(gè)等效的生成矩陣生成的兩個(gè)（n,k）線性碼也是等效的，可以通過(guò)置換各碼字的位置，從一個(gè)碼得到另一個(gè)碼。每個(gè)（n,k）線性碼可以和一個(gè)系統(tǒng)的（n,k）線性碼等效。任何一個(gè)（n,k）線性碼都有一個(gè)n-k維對(duì)偶碼與之關(guān)聯(lián)。對(duì)偶碼是一種（n,n-k）線性碼。對(duì)偶碼的生成矩陣用H表示，是由零空間中n-k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼矢量組成的。

12第12頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣（n,k）碼的任意一個(gè)碼字均正交于其對(duì)偶碼的任意一個(gè)碼字，因此（n,k）碼的任意一個(gè)碼字均正交于矩陣H的每一行，即：式中，0代表由n-k個(gè)元素組成的全零行矢量，是（n,k）碼的一個(gè)碼字。于是假定（n,k）線性碼是系統(tǒng)碼，其生成矩陣G可化為系統(tǒng)形式，因此必有

13第13頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣H的列矢量線性相關(guān)。如果用代表（n,k）線性碼中重量最小的碼字，由于最小重量等于最小距離，可以斷言H的個(gè)列一定是線性相關(guān)的，則對(duì)于最小距離為的二進(jìn)制（n,k）線性碼，可給每個(gè)碼字添加一位奇偶校驗(yàn)而構(gòu)成一個(gè)二進(jìn)制（n+1,k）線性碼。這個(gè)附加的校驗(yàn)位通常用來(lái)對(duì)碼字的所以比特進(jìn)行校驗(yàn)。

14第14頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣這種（n+1,k）碼叫做擴(kuò)展碼，其校驗(yàn)矩陣是：式中，H是原碼的校驗(yàn)矩陣。15第15頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼16第16頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一些特殊的線性分組碼漢明碼漢明碼具有的共同特性是其中，m是任意正整數(shù)。例如m=3時(shí)，有（7，4）漢明碼。漢明碼的校驗(yàn)矩陣H具有特殊的性質(zhì)，H中沒(méi)有哪兩個(gè)列是線性相關(guān)，除非這兩個(gè)列相等。在m＞1時(shí)，有可能找到H的3個(gè)列，它們之和為零矢量。有此可得（n,k）漢明碼的。如果給(n,k)漢明碼添加一位奇偶校驗(yàn)位，得到一個(gè)的（n+1,k）擴(kuò)展?jié)h明碼。反之，在生成矩陣G中刪除l行，或等效地在校驗(yàn)矩陣H中刪除l列，漢明碼可以縮短為（n-l,k-l）碼。（n,k）漢明碼的重量分布是已知的，可以用一種緊湊的形式即重量估計(jì)算式表示它：17第17頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一些特殊的線性分組碼這里是重量為i的碼字的數(shù)目。哈達(dá)碼（Hadamard）碼哈達(dá)碼是選取哈達(dá)碼矩陣的行作為碼字而得到的碼。哈達(dá)碼矩陣是一個(gè)由“0”和“1”構(gòu)成的n*n維矩陣（n是偶數(shù))。18第18頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一些特殊的線性分組碼哈達(dá)碼矩陣的特性：拿出它的任意兩行相比較，都一點(diǎn)不差地在n/2個(gè)位置上取不同值；矩陣中有一行是全0行，其他行都包含n/2個(gè)“0”和n/2個(gè)“1”。當(dāng)n=2時(shí)，哈達(dá)碼矩陣為進(jìn)一步按照下述規(guī)律可以由產(chǎn)生哈達(dá)碼矩陣

19第19頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一些特殊的線性分組碼反復(fù)使用上式可以生成分組長(zhǎng)度，的哈達(dá)碼（m是正整數(shù)）。高萊（Golay）碼高萊碼是二進(jìn)制（23，12）線性碼。其最小距離。在（23，12）碼上添加一位奇偶位即可得二進(jìn)制線性（24，12）擴(kuò)展高萊碼，其最小距離。

20第20頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼21第21頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月循環(huán)碼循環(huán)碼的概念：循環(huán)碼是線性碼的一個(gè)子集，它滿足下列循環(huán)移位特性：如果是某個(gè)循環(huán)碼的碼字，那么由C的元素循環(huán)移位得到的也是該循環(huán)碼的一個(gè)碼字，即碼字C的所有循環(huán)移位都是碼字。循環(huán)碼的性質(zhì)將其碼字與一個(gè)不大于n-1次的多項(xiàng)式C（p）聯(lián)系起來(lái)，該多項(xiàng)式定義為兩邊同乘以p,得多項(xiàng)式

22第22頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月循環(huán)碼再將pC(p)除以可得：這里該多項(xiàng)式代表碼字，正是由原碼字C循環(huán)移位得到的。因此：C(p)代表循環(huán)碼的一個(gè)碼字。23第23頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月循環(huán)碼那么也一定是該循環(huán)碼的一個(gè)碼字，于是：式中，剩余多項(xiàng)式代表循環(huán)碼的一個(gè)碼字，Q（p）是商?？梢杂靡粋€(gè)n-k次的生成多項(xiàng)式g（p）產(chǎn)生一個(gè)循環(huán)碼。（n,k）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式一定是多項(xiàng)式的因子，其通式為定義消息多項(xiàng)式X（p）如下這里的代表k位比特信息。X（p）g(p)的乘積代表一碼字。24第24頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月循環(huán)碼把這些碼字寫(xiě)成對(duì)C（p）循環(huán)移位產(chǎn)生則可以表示為25第25頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼26第26頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼本節(jié)推導(dǎo)在AWGN信道上接收機(jī)使用最佳（非量化）軟判決譯碼時(shí)，二進(jìn)制線性分組碼的性能。假定各個(gè)碼字等概率發(fā)生，具有相同的先驗(yàn)概率。令表示發(fā)送任一指定碼字后匹配濾波器的n個(gè)輸出取樣。信號(hào)是用相干二進(jìn)制PSK傳輸?shù)?。?dāng)碼字的第j比特是1時(shí)，表示為當(dāng)碼字的第j比特是0時(shí)，表示為變量表示取樣瞬間的加性高斯白噪聲。根據(jù)已知的M種可能發(fā)送的碼字和接收到的值，最佳譯碼器形成M個(gè)相關(guān)度。式中，表示第i個(gè)碼字第j個(gè)位置上的比特。27第27頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳最佳軟判決譯碼和其余M-1個(gè)碼字之間的互相關(guān)系數(shù)為式中，表示第m個(gè)碼字的重量。的概率是因此

28第28頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼利用該式求二進(jìn)制差錯(cuò)事件總和，可得一個(gè)碼字平均差錯(cuò)概率的邊界為由于可求得松散的邊界為29第29頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼一對(duì)編碼波形之間的最大互相關(guān)系數(shù)為在的假定下得到的差錯(cuò)概率只是上界。所以，上述的給出的性能邊界也同樣適合用QPSK傳輸碼字的一對(duì)比特的情況，因?yàn)镼PSK可以等效地看做是兩個(gè)以正交相位獨(dú)立傳輸?shù)亩M(jìn)制PSK在加性高斯白噪聲信道中用二進(jìn)制正交FSK傳送碼字的每個(gè)比特，最佳接收機(jī)可用兩個(gè)匹配濾波器實(shí)現(xiàn)。再接一個(gè)譯碼器，用來(lái)計(jì)算與M個(gè)可能的發(fā)送波形相對(duì)應(yīng)的M個(gè)相關(guān)度。30第30頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼令和表示輸入到組合器的抽樣值，譯碼器得到的相關(guān)度式中代表第i個(gè)碼字的第j個(gè)比特。與的最大值相對(duì)應(yīng)的碼字挑選出來(lái)作為對(duì)發(fā)送碼字的判決結(jié)果。若二進(jìn)制PSK波形是相干檢測(cè)，假設(shè)發(fā)送的是全零碼字，那么這里是互相統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，均值為0，方差為。由于是互相有關(guān)聯(lián)的，再次使用聯(lián)合邊界。相關(guān)系數(shù)是

31第31頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼

的概率是 可以看出，如果達(dá)到同樣的性能，相干PSK對(duì)信噪比要求小3dB。如假定發(fā)送的是全零碼字，送到譯碼器的輸入變量將是相關(guān)度為

因此，可表達(dá)為

32第32頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼和的差是在和間判決時(shí)，差錯(cuò)概率的表達(dá)式是式中，定義

33第33頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼換一種方法，用最小距離，而不用重量分布求一個(gè)較寬松的上邊界二進(jìn)制的差錯(cuò)概率是因此

34第34頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼碼字差錯(cuò)概率的聯(lián)合邊界是在信息速率為R=秒的情況下，用來(lái)發(fā)送k個(gè)信息比特和n-k個(gè)冗余（校驗(yàn)）比特（共n比特）的時(shí)間是,所以因此編碼波形的帶寬擴(kuò)展系數(shù)為

35第35頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的最佳軟判決譯碼不管什么情況，將隨編碼效率的減小而增加，或者等效的說(shuō)，隨分組長(zhǎng)度n的增加而線性增大。在高信噪比情況下，如果,在此條件下，正交信號(hào)的帶寬擴(kuò)展系數(shù)為和之比為該比值可用來(lái)衡量正交傳輸波形和相干PSK編碼傳輸波形的相對(duì)帶寬。36第36頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼本節(jié)只考慮把與碼字單個(gè)比特對(duì)應(yīng)的每個(gè)樣值量化成0、1兩個(gè)電平的極端情況，即不管發(fā)送的碼字比特是0還是1，都實(shí)行硬判決。這樣處理后得到的離散時(shí)間信道（由調(diào)制器、AWGN信道及解調(diào)器組成）構(gòu)成一個(gè)交叉概率為P的二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信道（BSC）。如果用相干PSK信號(hào)發(fā)送和接收碼字比特，有如果用FSK信號(hào)發(fā)送每個(gè)碼字比特并用相干檢測(cè)，那么37第37頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼用非相干檢測(cè)時(shí)最小距離（最大似然）譯碼：一種有效的硬判決譯碼方法是使用校驗(yàn)矩陣H。為了方便研究，假定是發(fā)送碼字，Y是解調(diào)器輸出的接收碼字，一般地，Y可以表示為這里，e代表一個(gè)任意的二進(jìn)制差錯(cuò)矢量的乘積為其中，（n-k）維矢量S叫做差錯(cuò)圖案的伴隨式。換言之，當(dāng)所有一致校驗(yàn)方程都滿足時(shí)，矢量S的所有元素為零；并非所有的一致方程都滿足時(shí)，矢量S一定含有非零元素，即S包含在一致校驗(yàn)中失敗的圖案38第38頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼如果構(gòu)造一個(gè)譯碼表，其中第一行列出所有個(gè)可能的碼字，而以全0碼字作為開(kāi)頭放在該行的第一列（最左一列）。這個(gè)全0碼字同時(shí)代表了全0差錯(cuò)圖案。在第一列接下去的行填上所有n-1個(gè)重量為1的差錯(cuò)圖案。如果，再列出全部2個(gè)差錯(cuò)的圖案，然后是3個(gè)差錯(cuò)圖案，依次類(lèi)推，直到填滿第一列的全部項(xiàng)。這樣，表的行數(shù)是，等于伴隨式的數(shù)目。下一步，把第一列的每個(gè)差錯(cuò)圖案加到對(duì)應(yīng)的碼字上，就把表的其余項(xiàng)都填滿了，如下圖所示39第39頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼這個(gè)表稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)陣列，它的每一行，包括第一行，含有個(gè)可能的接收碼字?？赡艿慕邮沾a字是由第一行的碼字和第一列對(duì)應(yīng)的差錯(cuò)圖案造成的。每一行稱(chēng)為一個(gè)陪集。陪集的第一個(gè)（最左）接收碼字叫陪集首（或叫差錯(cuò)圖案）。因此，陪集是由同一個(gè)特定差錯(cuò)圖案（陪集首）導(dǎo)致的所有可能的接收碼字。循環(huán)碼的伴隨式譯碼：考慮一個(gè)系統(tǒng)的循環(huán)碼，用多項(xiàng)式表示碼字Y。一般地，，這里的C是發(fā)送的碼字，e是差錯(cuò)矢量。于是假如用Y（p）除以生成多項(xiàng)式g(p),得

40第40頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼器

相當(dāng)于所得余式R（p）是次數(shù)小于等于n-k-1的多項(xiàng)式。由上述式子綜合可得因此式中，S（p）是次數(shù)小于等于n-k-1的伴隨式多項(xiàng)式。如果g(p)能整除Y（p）,則S（p）=0，譯碼碼字就是。Y（p）與g(p)的除法可以用一個(gè)移位器實(shí)現(xiàn)。41第41頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力當(dāng)伴隨式為全0時(shí)，接收碼字是個(gè)可能發(fā)送的碼字之一。因?yàn)橐粚?duì)碼字間最小的分隔距離是，重量為的差錯(cuò)圖案有可能把碼字集中個(gè)碼字之一轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)碼字。如果發(fā)生，就產(chǎn)生了一個(gè)不可檢的差錯(cuò)。另一方面，如果差錯(cuò)數(shù)小于，伴隨式即為非零重量。如果發(fā)生，說(shuō)明已檢測(cè)出信道的一個(gè)或多個(gè)差錯(cuò)。（n,k）分組碼有能力檢測(cè)出個(gè)差錯(cuò)。差錯(cuò)檢錯(cuò)和反饋重發(fā)結(jié)合使用，讓發(fā)錯(cuò)了的碼重發(fā)。最小距離為的（n,k）分組碼有能力糾正個(gè)差錯(cuò)。一般地，一個(gè)最小距離為的碼能檢個(gè)差錯(cuò)，糾個(gè)差錯(cuò)，這里42第42頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼糾錯(cuò)以后的差錯(cuò)概率任何一個(gè)差錯(cuò)數(shù)高達(dá)的碼字都是可糾正的。由于二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信道是無(wú)記憶的，比特差錯(cuò)獨(dú)立地發(fā)生，在n比特碼塊中出現(xiàn)m個(gè)差錯(cuò)的概率就是因此，碼字差錯(cuò)概率上邊界的表達(dá)式為僅當(dāng)線性分組碼是完備碼時(shí)，上式等號(hào)成立。43第43頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼一個(gè)糾t差錯(cuò)的碼必然滿足不等式即完備碼的特性：圍繞個(gè)可能發(fā)送碼字、漢明距離為 的所有球都是不相交的，每一個(gè)接收碼字都落在這些球的某一個(gè)中。因此對(duì)于上式，每個(gè)接收碼字離開(kāi)可能發(fā)送碼字的距離至多為t，這時(shí)式子取等號(hào)。對(duì)于這種碼，所有重量小于或者等于t的差錯(cuò)圖案都能能用最佳（最小距離）譯碼器得到糾正。另一方面，任何重量等于或大于t+1的差錯(cuò)圖案都不能糾正。所以上式給出的差錯(cuò)概率可以取等號(hào)。44第44頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼差錯(cuò)概率的下邊界是如果把這些球外的碼字等分成個(gè)集合，每一集合對(duì)應(yīng)到個(gè)球之一，則每個(gè)球由于加上如下數(shù)量的碼字而擴(kuò)大了：準(zhǔn)完備碼的譯碼器差錯(cuò)概率可以表示為45第45頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼上邊界和下邊界為由契爾諾夫邊界求得譯碼差錯(cuò)概率的上邊界為46第46頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼的硬判決譯碼綜合這些二進(jìn)制判決可得到聯(lián)合上邊界如用替代重量分布，得到更簡(jiǎn)單的形式為47第47頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼48第48頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼最小距離的邊界一個(gè)（n,k）線性分組碼最小距離的上邊界，即

。用分組長(zhǎng)度n可將此式歸一化，即式中，是碼率，當(dāng)n很大時(shí)，因子可以忽略。最小距離的上邊界，即漢明界為令，可以得到該式的漸進(jìn)形式?？梢宰C明當(dāng)時(shí)，任何（n,k）分組碼之比決不會(huì)超過(guò)這里，滿足等式式中，H（x）是二進(jìn)制熵函數(shù)。

49第49頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼最小距離的邊界將漢明界推廣到非二進(jìn)制碼，即另一個(gè)最小距離上邊界是普洛特金1960年推出的，說(shuō)明如下：在一個(gè)（n,k）線性分組碼中，為了達(dá)到最小距離所的校驗(yàn)位數(shù)目必須滿足不等式

50第50頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼最小距離的邊界其中q是字符集大小。對(duì)二進(jìn)制編碼來(lái)說(shuō)，該式可以表示成

在而的極限情況下，式子可以簡(jiǎn)化成以漸近線形式表示為

51第51頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼最小距離的邊界式中參數(shù)A與碼率有關(guān)，兩者之間的關(guān)系式為（n,k）分組碼最小距離的下邊界同樣存在，特別是具有歸一化最小距離的二進(jìn)制分組碼，它們漸進(jìn)地滿足不等式式中，α通過(guò)下列等式與碼率建立聯(lián)系這個(gè)下邊界是吉爾伯特和烏沙莫夫提出的下邊界的一個(gè)特例，適用于非二進(jìn)和二進(jìn)制分組碼。52第52頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼53第53頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼非二進(jìn)制分組碼非二進(jìn)制分組碼是由一組固定長(zhǎng)度的碼字構(gòu)成，碼長(zhǎng)用N表示，信息符號(hào)長(zhǎng)度用K表示，每K個(gè)信息符號(hào)編成N符號(hào)長(zhǎng)的一個(gè)分組。非二進(jìn)制碼的最小距離用表示。一個(gè)系統(tǒng)的（N,K）分組碼由K個(gè)信息符號(hào)加上N-K個(gè)一致校驗(yàn)符號(hào)組成。各種類(lèi)型的非二進(jìn)制線性分組碼中，最重要的實(shí)用型編碼是里德-所羅門(mén)碼（簡(jiǎn)稱(chēng)RS碼）。這種碼是BCH碼的一個(gè)子類(lèi)，BCH碼又是循環(huán)碼的子類(lèi)。參數(shù)可以表示為54第54頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼這種碼可確保糾正t個(gè)符號(hào)差錯(cuò)，其中RS碼的重量分布已知。在碼重多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)是式中及。RS碼之所以重要，原因之一是該碼的距離特性好，其次是因?yàn)榇嬖谝环N有效的硬判決譯碼算法，使得在許多需要長(zhǎng)碼的應(yīng)用場(chǎng)合，該碼能夠被實(shí)現(xiàn)。信號(hào)在AWGN信道傳輸時(shí)劣化，接收這種信號(hào)的最佳解調(diào)器由M個(gè)匹配濾波器（或互相關(guān)器組成）。匹配濾波器的輸出以軟判決或硬判決形式送到譯碼器。55第55頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼調(diào)制器、AWGN信道和解調(diào)器構(gòu)成了一個(gè)等效的離散（M進(jìn)制）輸入、離散（M進(jìn)制）輸出的對(duì)稱(chēng)無(wú)記憶信道，其特性可以用轉(zhuǎn)移概率和描述。這種模型是二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信道(BSC)模型的推廣。硬判決譯碼器的性能可用下述碼字差錯(cuò)概率上邊界表示式中，t是確保該碼能糾正的差錯(cuò)的個(gè)數(shù)。在碼字產(chǎn)生差錯(cuò)時(shí)，對(duì)應(yīng)的符號(hào)差錯(cuò)概率是56第56頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼如果將符號(hào)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)字，對(duì)應(yīng)的比特差錯(cuò)概率為級(jí)聯(lián)分組碼級(jí)聯(lián)碼是由兩個(gè)獨(dú)立的碼結(jié)合而成的一種較長(zhǎng)的碼。通常，其中一個(gè)選用非二進(jìn)制碼，另一個(gè)選用二進(jìn)制碼。兩個(gè)碼的級(jí)聯(lián)如圖所示

57第57頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼非二進(jìn)制碼（N,K）碼作為外碼，二進(jìn)制碼作為內(nèi)碼。將kN個(gè)信息比特組成的一個(gè)數(shù)據(jù)塊分割成K組，每組k比特，稱(chēng)之為一個(gè)符號(hào)。級(jí)聯(lián)碼的最小距離為，其中是外碼的最小距離，是內(nèi)碼的最小距離。此外，級(jí)聯(lián)碼的碼率是，等于兩個(gè)碼率相乘。 級(jí)聯(lián)碼采用硬判決譯碼很方便，只需分解為一個(gè)內(nèi)譯碼器和一個(gè)外譯碼器即可。級(jí)聯(lián)碼也可用軟判決譯碼，當(dāng)外碼和內(nèi)碼都采用軟判決譯碼時(shí)，性能有可能顯著增益，這也證實(shí)了增加譯碼復(fù)雜度的合理性。58第58頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼59第59頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織一個(gè)長(zhǎng)度為b的突發(fā)差錯(cuò)定義為有b比特差錯(cuò)的序列該序列的第一位和最后一位是“1”。碼的糾突發(fā)差錯(cuò)能力定義為比最短的不可糾突發(fā)差錯(cuò)的長(zhǎng)度少1。不難看出，有n-k校驗(yàn)位的（n,k）系統(tǒng)碼能夠糾正長(zhǎng)度為的突發(fā)差錯(cuò)。處理突發(fā)差錯(cuò)信道的一個(gè)有效的辦法是對(duì)編碼數(shù)據(jù)實(shí)行交織，把突發(fā)差錯(cuò)信道轉(zhuǎn)變?yōu)榻y(tǒng)計(jì)獨(dú)立差錯(cuò)的信道。采用交織技術(shù)的系統(tǒng)框圖為60第60頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性分組碼線性分組碼的描述生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣一些特殊的線性分組碼循環(huán)碼線性分組碼的最佳軟、硬判決譯碼線性分組碼的最小距離的邊界非二進(jìn)制分組碼和級(jí)聯(lián)分組碼突發(fā)差錯(cuò)信道中編碼數(shù)據(jù)的交織串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼61第61頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月串行與并行級(jí)聯(lián)分組碼交織器和級(jí)聯(lián)碼結(jié)合可構(gòu)成碼字非常長(zhǎng)的編碼。在串行級(jí)聯(lián)分組碼（SCBC）中，交織器插在兩個(gè)編碼器之間。如圖所示：編碼和交織的具體過(guò)程為mk位信息比特經(jīng)外編碼器變?yōu)镹=mp位編碼比特，這些編碼比特進(jìn)入交織器，按交織器的置換算法以不同的順序讀出。交織器輸出的mp編碼比特然后分隔成長(zhǎng)度p的分組送入內(nèi)編碼器，這樣mk位信息比特被SCBC編成了mn的碼塊。最終碼率是內(nèi)、外編碼器碼率的乘積。利用交織，可用類(lèi)似的辦法構(gòu)成并行級(jí)聯(lián)分組碼（PCBC）。62第62頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容6.1線性分組碼6.2卷積碼6.3帶限信道的編碼調(diào)制——網(wǎng)格編碼調(diào)制63第63頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容6.1線性分組碼6.2卷積碼6.3帶限信道的編碼調(diào)制——網(wǎng)格編碼調(diào)制64第64頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼卷積碼的描述卷積碼的譯碼卷積碼譯碼的差錯(cuò)概率刪余卷積碼并行級(jí)聯(lián)卷積碼65第65頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼的描述卷積碼的概念：將發(fā)送的信息序列通過(guò)一個(gè)線性的、有狀態(tài)的移位寄存器而產(chǎn)生的碼卷積碼編碼器由K級(jí)（每級(jí)k比特）移位寄存器和n個(gè)線性代數(shù)函數(shù)生成器構(gòu)成輸入：k比特二進(jìn)制信息沿移存器每次移動(dòng)k比特輸出：n比特二進(jìn)制信息碼率：Rc=k/n對(duì)于這樣的卷積碼記作[n,k,K]66第66頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼原理圖卷積碼編碼器原理圖：卷積碼編碼器67第67頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼原理圖卷積碼編碼器由時(shí)序邏輯電路組成，所以時(shí)序邏輯電路的描述方法在此適用：樹(shù)圖、網(wǎng)格圖、狀態(tài)圖、轉(zhuǎn)移函數(shù)等例：n=3，k=1，K=3的卷積碼編碼器原理圖基本生成矩陣生成矢量輸入＋＋123輸出68第68頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼樹(shù)圖樹(shù)圖每個(gè)比特所對(duì)應(yīng)的3個(gè)比特的輸出序列取決于：輸入比特和移位寄存器中的4種可能的狀態(tài)：a=00b=01c=10d=11碼率為1|3K=3卷積碼樹(shù)圖69第69頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼網(wǎng)格圖abcd000000000000000101101101111111111111111001001001001110110110110011011011100100100aa0ba0cb0db0ac1ba1cd1dd1碼率1/3，K=3卷積碼的網(wǎng)格圖網(wǎng)格圖01001001070第70頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼狀態(tài)圖狀態(tài)b01狀態(tài)c10狀態(tài)c11狀態(tài)a00100001010011111110000101碼率1/3，K=3卷積碼的狀態(tài)圖狀態(tài)圖71第71頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月b卷積碼轉(zhuǎn)移函數(shù)acdeD3DDD2D2轉(zhuǎn)移函數(shù)由于卷積碼的線性，所以樹(shù)圖中截止到某級(jí)長(zhǎng)度的所有碼字序列與全零碼字序列的漢明距離的集合，同所有碼字序列與其他任何一個(gè)碼字序列的距離集合相同。假設(shè)輸入到編碼器的是全零碼字序列。下圖是經(jīng)過(guò)處理的狀態(tài)圖，D的指數(shù)：該分支輸出比特序列與全零分支輸出比特序列（000）的漢明距。D2經(jīng)過(guò)處理后的狀態(tài)圖72第72頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼狀態(tài)方程狀態(tài)方程：定義轉(zhuǎn)移函數(shù)： ，可得：其中，ad定義為：轉(zhuǎn)移函數(shù)第一項(xiàng)表明：存在1條d=6的路徑，該路徑從全零路徑分叉出去后又在某個(gè)定節(jié)點(diǎn)與全零路徑匯合。（見(jiàn)網(wǎng)格圖，可知該路徑為acbe）轉(zhuǎn)移函數(shù)第二項(xiàng)表明：從a節(jié)點(diǎn)（輸入）到e節(jié)點(diǎn)（輸出）有2條d=8的路徑（acdbe和acbcbe）依此類(lèi)推……其中最小距離稱(chēng)為最小自由距dfree，該例中dfree73第73頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼狀態(tài)圖中引入因子J和N：每個(gè)分支引入一個(gè)J當(dāng)輸入比特為1而引發(fā)的轉(zhuǎn)移的分支上引入N狀態(tài)方程：bacdeJND3JDJDJD2JND2JND2引入因子J和N后的狀態(tài)圖：74第74頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼狀態(tài)方程轉(zhuǎn)移函數(shù)（Xe/Xa）：該轉(zhuǎn)移函數(shù)給出了卷積碼中的所有的路徑特性：第一項(xiàng)表明：距離d=6的路徑長(zhǎng)度（分支書(shū)）為3，有3個(gè)輸入比特信息（J的指數(shù)為3），其中一個(gè)比特是1（N的指數(shù)為1）。第二項(xiàng)和第三項(xiàng)表明：有2條距離為8的路徑，其中一條長(zhǎng)度為4（4的輸入比特信息）另一條長(zhǎng)度為5（5個(gè)輸入比特信息）。在長(zhǎng)度為4的的路徑中有2個(gè)輸入比特為1，在長(zhǎng)度為5的路徑中有2個(gè)輸入比特是1。 下面的項(xiàng)依此類(lèi)推……75第75頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼的譯碼常用的卷積碼的譯碼方法序列譯碼算法堆棧算法反饋?zhàn)g碼軟輸出算法維特比算法——卷積碼最佳譯碼器76第76頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼的最佳譯碼——維特比譯碼卷積碼的最佳譯碼——維特比算法最佳：在加性高斯白噪聲、p<1/2的二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信道中，該算法的差錯(cuò)概率最小。卷積碼的最佳譯碼器是最大似然序列估計(jì)器譯碼的目標(biāo)：搜遍整個(gè)網(wǎng)格圖找到最有可能的序列。如下圖兩條路徑（綠色（i=0）和藍(lán)色（i=1））：abcd00000000000000010110110111111111111111100100100100111011011011001101101110010010001001001077第77頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼兩條路徑分別對(duì)應(yīng)信息000和100對(duì)應(yīng)的發(fā)送序列分別為：000000000和111000011{cjm,j=1,2,3;m=1,2,3}:發(fā)送比特;{rjm,j=1,2,3;m=1,2,3}:解調(diào)器的輸出j表示第j個(gè)分支，m表示該分支的第m個(gè)比特硬判決譯碼：解調(diào)器輸出0或者1軟判決譯碼：聯(lián)合條件概率對(duì)數(shù)：由B分支組成的第i條路徑的量度定義為：例如,接收序列為{101000100}，并執(zhí)行硬判決譯碼78第78頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼兩條路徑的量度：式中，p是比特差錯(cuò)概率p<1/2，求得PM(0)>PM(1)序列{101000100}和{000000000}的漢明距為d=3序列{101000100}和{111001011}的漢明距為d=5說(shuō)明對(duì)于硬判決譯碼來(lái)說(shuō)漢明距是一種等效的量度。79第79頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼軟判決譯碼解調(diào)器的輸出的PDF：第i條路徑的第j分支的分支量度：此例中n=3這兩條路徑的相對(duì)量度：80第80頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼維特比算法在卷積碼譯碼中的應(yīng)用：兩條路徑經(jīng)過(guò)3次轉(zhuǎn)移在a點(diǎn)匯合滿足CM(0)>CM(1)那么，任何起源于a節(jié)點(diǎn)的路徑CM(0)將仍然大于CM(1)以后可以不用再考慮與CM(1)對(duì)應(yīng)的路徑，將其去除對(duì)于從零時(shí)刻開(kāi)始的每一時(shí)刻，維特比譯碼器都要比較進(jìn)入每一狀態(tài)的所有的路徑值，并把最大值的路徑與它的度量值一起存儲(chǔ)下來(lái)，這些路徑稱(chēng)為幸存路徑（Survivor）。此例中幸存路徑是與CM(0)對(duì)應(yīng)的路徑同理，根據(jù)度量大小，在b、c、d狀態(tài)混合的兩條路徑也可以去除其中之一。3次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后只剩下4條路徑，每個(gè)狀態(tài)作為其中的一條的終點(diǎn)，并且每條幸存路徑有相應(yīng)的度量。在每個(gè)時(shí)間間隔段中，在網(wǎng)格圖中每一級(jí)都重復(fù)這樣的步驟。81第81頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼維特比譯碼的步驟：步驟1：從時(shí)間j=m開(kāi)始，計(jì)算進(jìn)入每個(gè)狀態(tài)的路徑的部分度量。存儲(chǔ)每一狀態(tài)的路徑（幸存路徑）及度量值。步驟2：j增加1。計(jì)算進(jìn)入每一狀態(tài)所有的路徑的部分度量。這個(gè)度量值是進(jìn)入該狀態(tài)的分支度量加上與該分支相連的前一步的幸存路徑的度量值。對(duì)于每個(gè)狀態(tài)，共有2k這樣的度量值，從中選擇最大度量的路徑（幸存路徑），并刪除其他路徑。步驟3：如果j<L+m，重復(fù)步驟2，否則停止計(jì)算。從0到m時(shí)刻，從零狀態(tài)逐步翻倍擴(kuò)展到2m個(gè)狀態(tài)。從m到L時(shí)刻的每一個(gè)時(shí)刻，都共有2k條幸存路徑分別與2k個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)。L時(shí)刻以后幸存路徑逐步減少，直至L+m時(shí)刻只剩一條路徑進(jìn)入s0狀態(tài)最后，從L+m時(shí)刻的s0回溯，維特比算法找到的最后的幸存路徑一定就是最大似然路徑。如果卷積碼為歸零，那么L時(shí)刻度量值最大的那個(gè)狀態(tài)是最有可能的末狀態(tài)，從該時(shí)刻回溯可以找到最大似然路徑。82第82頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼分支度量的計(jì)算和最大似然路徑的物理意義AWGN信道：接收信息：ri、vi、ni都是n維向量：分支度量：即：所以分支度量與信號(hào)的歐式距離成反比，即：對(duì)于AWGN，維特比算法找到的最大似然路徑就是與接收信號(hào)的歐式距離最小的網(wǎng)格圖路徑。83第83頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼BSC信道：信道的轉(zhuǎn)移概率矩陣:根據(jù)BSC的性質(zhì)：將上式整理一下：所以：即對(duì)于BSC，維特比算法找到的最大似然路徑就是與接收信號(hào)漢明距離最小的網(wǎng)格圖路徑84第84頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼例：[3,1,2]卷積碼，輸入序列為{1，0，1，0，0}對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格圖上的編碼路徑如下圖所示輸出碼字為{111，001，100，001，011}經(jīng)過(guò)BSC信道假設(shè)錯(cuò)一個(gè)碼字，接收碼字為{111，011，100，001，011}，作為維特比解碼器的輸入序列rabcd000000000000000101111111111001001001110110011011011100歸零卷積碼的維特比解碼的網(wǎng)格圖01001001342585第85頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼狀態(tài)時(shí)刻abcd0a;0無(wú)無(wú)無(wú)1a;3無(wú)a;0無(wú)2a;5c;1a;4c;23b;4d;4b;1d;34b;5c;1無(wú)無(wú)5b;1無(wú)無(wú)無(wú)表中記錄了0時(shí)刻到5時(shí)刻，維特比解碼器所存儲(chǔ)的4個(gè)狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的上一個(gè)狀態(tài)（前一個(gè)值）和部分路徑度量（后一個(gè)值）。[3,1,2]維特比解碼的運(yùn)算過(guò)程表86第86頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月維特比譯碼時(shí)刻0到2，狀態(tài)數(shù)由1個(gè)遞增到4個(gè)時(shí)刻3到5，狀態(tài)數(shù)由4個(gè)遞減到1個(gè)第3時(shí)刻：狀態(tài)a3的前一個(gè)狀態(tài)可能是a2也可能是b2a2

（2時(shí)刻的狀態(tài)是a）：到3時(shí)刻的a狀態(tài)輸出是000，與輸入r2=100的漢明距是1，所以分支度量也是1；而a2由表中可知部分度量值是5，所以a3(3時(shí)刻a狀態(tài))部分度量值是5+1=6。b2（2時(shí)刻的狀態(tài)是b）：到3時(shí)刻的a狀態(tài)輸出是011，與輸入r2=100的漢明距是3，所以分支度量也是3；而b2由表中可知部分度量值是1，所以a3(3時(shí)刻a狀態(tài))部分度量值是3+1=4。比較這兩個(gè)不同的路徑，選取部分度量小的作為3時(shí)刻的a狀態(tài)部分度量值，也就是4按上述方法逐步遞推就可以得到表中運(yùn)算的結(jié)果最后譯碼出{111，001，100，001，011}即對(duì)應(yīng) {1，0，1，0，0}87第87頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月軟判決譯碼的差錯(cuò)概率軟判決譯碼的差錯(cuò)概率加性高斯白噪聲中使用軟判決譯碼時(shí)維特比算法的差錯(cuò)概率假定發(fā)送的是全零序列，求誤判成另一個(gè)序列的概率。路徑量度：設(shè)i=0表示全零路徑，其路徑量度：把節(jié)點(diǎn)B上與全零路徑匯合的路徑的量度首次超過(guò)全零路徑量度的概率定義為首次差錯(cuò)事件概率i=1的路徑比全零路徑有d比特差異（i=1路徑上有d個(gè)1其余為0）88第88頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月軟判決譯碼的差錯(cuò)概率比較CM(0)和CM(1)，得差錯(cuò)概率：即：出現(xiàn)d比特差錯(cuò)的概率：首次差錯(cuò)概率上邊屆：由Q函數(shù)的性質(zhì)得：上邊界另一種形式：89第89頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月軟判決譯碼的差錯(cuò)概率轉(zhuǎn)移函數(shù)T(D,N)中因子N的指數(shù)代表與全零路徑匯合與某節(jié)點(diǎn)B的所選的錯(cuò)誤路徑中差錯(cuò)比特。對(duì)N求導(dǎo)，并令N=1：比特差錯(cuò)概率的上邊界：K比特符號(hào)的差錯(cuò)概率上邊界：90第90頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月硬判決譯碼的差錯(cuò)概率硬判決譯碼的差錯(cuò)概率二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信道，采用維特比譯碼。假定發(fā)送的也是全零路徑，求誤判成另一序列的概率選擇錯(cuò)誤路徑的總概率：聯(lián)合下邊界：較寬松的上邊界：比特差錯(cuò)概率上邊界：當(dāng)k>1時(shí)，上式定義的Pb的結(jié)果應(yīng)再除以k91第91頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積碼譯碼的差錯(cuò)概率K=3,k=1，n=3卷積碼的軟判決譯碼和硬判決譯碼的比較92第92頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月刪余卷積碼刪余卷積碼在某些場(chǎng)合需要用到一些高碼率的卷積碼。而高碼率卷積碼的譯碼非常復(fù)雜，因此我們通過(guò)刪余（puncturing）低碼率卷積碼的某些比特來(lái)生成高碼率卷積碼以碼率為1/n的卷積碼為母本，并定義刪余周期p對(duì)應(yīng)于輸入到編碼器的p個(gè)信息比特。在這個(gè)周期里，編碼器輸出np個(gè)編碼比特。如果我們?cè)趎p個(gè)比特中刪除N比特，碼率為：與之對(duì)應(yīng)的是刪余矩陣P：P中元素為0或者1。元素為1是，對(duì)應(yīng)的編碼器輸出比特被傳送出去。若元素為0，對(duì)應(yīng)的編碼器輸出比特被刪除。93第93頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月刪余卷積碼例：用碼率為1/3，K=3的卷積碼，構(gòu)造一個(gè)碼率為3/4的碼。令善于周期p=3，選擇P為：下圖表明了刪余過(guò)程和刪余碼對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格圖輸入＋＋輸出刪余矩陣……111011……0011刪除比特……1101編碼器……100194第94頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月刪余卷積碼從碼率1/3卷積碼生成碼率3/4刪余碼不同的刪余矩陣會(huì)有不同的漢明距，通過(guò)計(jì)算機(jī)搜索可以得到好的刪余矩陣，使得刪余后的漢明距與同碼率未刪余的卷積碼的漢明距相同或小1個(gè)比特。abcd0000000110111111110000011111000110195第95頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月多碼率兼容刪余卷積碼多碼率兼容的刪余碼不同類(lèi)型的信息比特群重要程度不同，采取的差錯(cuò)保護(hù)程度也就不同以同一個(gè)低碼率1/n卷積碼為基礎(chǔ)刪除不同數(shù)量的“余”實(shí)現(xiàn)多碼率碼率刪余矩陣1/31111111111111111111111114/111111111111111111111011102/51111111111111111101010104/9111111111111111110001000由碼率1|3,K=4碼構(gòu)造的多碼率兼容刪余卷積碼96第96頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月多碼率兼容刪余卷積碼碼率刪余矩陣1/21111111111111111000000004/71111111111101110000000004/61111111110101010000000004/51111111110001000000000008/9111111111000000000000000由碼率1/3，K=4碼構(gòu)造的多碼率兼容刪余卷積碼（續(xù)表）97第97頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月并行級(jí)聯(lián)卷積碼——Turbo碼并行級(jí)聯(lián)卷積碼帶交織的并行級(jí)聯(lián)卷積碼（PCCC）也叫Turbo碼，是1993年Berrou等人提出。Turbo碼編碼器是一個(gè)遞歸系統(tǒng)的編碼器，由兩個(gè)并聯(lián)的卷積碼編碼器組成，并且在第二個(gè)編碼器之前串接了一個(gè)交織器。這兩個(gè)遞歸卷積碼編碼器可以是相同的也可以不同。交織器的作用是：在信息比特進(jìn)入下一級(jí)編碼器之前，對(duì)信息比特進(jìn)行重新排序。通常選用塊狀的偽隨機(jī)交織器。交織使得連續(xù)錯(cuò)誤分散，利于糾錯(cuò)；還使得原始信息序列的相關(guān)性減弱，實(shí)現(xiàn)編碼的隨機(jī)性；并且交織還起到改變碼字重量分布的作用，使得Turbo碼輸出的碼字中重量輕的碼字?jǐn)?shù)量很少，有利用譯碼性能提高。98第98頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月并行級(jí)聯(lián)卷積碼編碼器并行級(jí)聯(lián)卷積碼（Turbo碼）編碼器99第99頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月并行級(jí)聯(lián)卷積碼Turbo碼的譯碼Turbo碼使用基于MAP準(zhǔn)則的迭代譯碼。PCCC（Turbo碼）迭代解碼器方框圖100第100頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月并行級(jí)聯(lián)卷積碼對(duì)于傳輸比特x=1和x=-1，我們將逐符號(hào)MAP解碼器的輸出定義為后驗(yàn)對(duì)數(shù)相似比：先驗(yàn)信息：信息比特x的軟輸出：解碼器1計(jì)算得出的外信息：解碼器1計(jì)算得出的外信息：最后一次迭代中，解碼器2計(jì)算軟輸出時(shí)將兩個(gè)外信息值結(jié)合在一起：101第101頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月并行級(jí)聯(lián)卷積碼Turbo碼是非常優(yōu)秀的信道編碼器，仿真結(jié)果表明，在采用長(zhǎng)度為65536的隨機(jī)交織器并譯碼迭代18次情況下，在信噪比Eb/N0≧0.7dB并采用BPSK調(diào)制時(shí)，碼率為1/2的turbo碼在AWGN信道上的BER≦10-5，達(dá)到了與香農(nóng)限僅差0.7dB的優(yōu)異性能。102第102頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容6.1線性分組碼6.2卷積碼6.3帶限信道的編碼調(diào)制——網(wǎng)格編碼調(diào)制103第103頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容6.1線性分組碼6.2卷積碼6.3帶限信道的編碼調(diào)制——網(wǎng)格編碼調(diào)制104第104頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月網(wǎng)格編碼調(diào)制 TCM(網(wǎng)格編碼調(diào)制)是Ungerboeck于1982年提出的一種將編碼和調(diào)制結(jié)合在一起，利用狀態(tài)記憶和分集映射來(lái)增大編碼序列之間距離的編碼方法?；驹恚菏峭ㄟ^(guò)分集(setpartitioning)方法將編碼器對(duì)信息比特的編碼轉(zhuǎn)換為對(duì)信號(hào)節(jié)點(diǎn)的編碼，使得在信道中傳輸?shù)男盘?hào)點(diǎn)序列遵從一定的規(guī)則，即符合網(wǎng)格圖中的某條路徑。一方面它擴(kuò)大星座尺寸為糾錯(cuò)碼提供冗余度，另一方面?zhèn)鬏數(shù)男盘?hào)序列是網(wǎng)格圖中的某條特定路徑，進(jìn)而在信號(hào)點(diǎn)之間引入了相關(guān)性。TCM特點(diǎn)：把編碼和調(diào)制作為一個(gè)統(tǒng)一的整體，而并非相互獨(dú)立的過(guò)程，從而避免了在接收端解調(diào)器作硬判決時(shí)帶來(lái)的信息損失，其優(yōu)點(diǎn)在于其能夠在不增加信道帶寬、不降低有效信息傳輸速率的情況下獲得明顯的編碼增益，使系統(tǒng)的頻帶和功率利用率同時(shí)達(dá)到最佳。105第105頁(yè)，課件共116頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月網(wǎng)格編碼調(diào)制 分集對(duì)于給定的信號(hào)星座，將其分割成子集，使得分割后的子集內(nèi)的最小歐氏距離隨著每次分集變大。例：將一個(gè)8-PSK信號(hào)星座按最小歐氏距離逐級(jí)增大的原則劃分子集信號(hào)點(diǎn)位于半徑r的圓上，各點(diǎn)間最小歐氏距離：第一次分集：8點(diǎn)分成2個(gè)子集，每個(gè)子集4點(diǎn)，最小距離：第二次分集：2個(gè)子集又各分成2個(gè)子集，最小距離：第