3.函數的圖像(2)蘇教版高中數學2010高考第一輪復習06九月20232023/9/613.函數的圖像(2)蘇教版高中數學2010高考第一輪復習03在平面直角坐標系中,以函數

y=f(x)

中的

x

為橫坐標,函數值

y

為縱坐標的點

(x,y)

的集合,叫做函數

y=f(x)

的圖象.1、函數的圖象定義

注:

圖象上每一點的坐標

(x,y)

均滿足函數關系

y=f(x),反過來,滿足

y=f(x)

的每一組對應值

x,y

為坐標的點

(x,y),均在其圖象上.考點回放2023/9/62在平面直角坐標系中,以函數y=f(x)中的x2、函數作圖基本思路1）討論函數的定義域及函數的基本性質；2）若函數的圖象與圖象變換有關,則應考慮用圖象變換作出圖象；3）作函數的圖象必須準確描出關鍵的點線(如圖象與

x,y

軸的交點,極值點,對稱軸,漸近線等).考點回放2023/9/632、函數作圖基本思路1）討論函數的定義域及函數的基本性質；2描點法作函數圖象是根據函數解析式,列出函數中

x,y

的一些對應值表,在坐標系內描出點,然后用平滑的曲線將這些點連接起來.利用這種方法作圖時,要與研究函數的性質結合起來.1）描點法函數圖象的畫法有兩種常見的方法:

一是描點法;

二是圖象變換法.3、函數圖象的畫法考點回放2023/9/64描點法作函數圖象是根據函數解析式,列出函常用變換方法有三種:平移變換;伸縮變換;對稱變換.2）圖象變換法(1)平移變換:由

y=f(x)

的圖象變換得

y=f(x+a)+b

的圖象.先沿

x

軸向左平移

(a>0)

或向右平移

(a<0)

|a|

個單位y=f(x)

y=f(x+a);

y=f(x+a)+b.再沿

y

軸向上平移

(b>0)

或向下平移

(b<0)

|b|

個單位考點回放2023/9/65常用變換方法有三種:平移變換;伸縮變換;對稱變換.2）(2)伸縮變換:由

y=f(x)

的圖象變換得

y=Af(

x)(A>0,A

1,

>0,

1)的圖象.y=f(x)y=f(

x);縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的

A

倍(x

不變)y=Af(

x).y=f(x)各點橫坐標縮短(

>1)或伸長(0<

<1)到原來的(

y

不變)

1考點回放2023/9/66(2)伸縮變換:由y=f(x)的圖象變換得(3)對稱變換①y=f(x)

與

y=f(-x)②y=f(x)

與

y=

-f(x)③y=f(x)

與

y=

-f(-x)關于

y

軸對稱關于

x

軸對稱關于原點對稱④y=f(x)

與

y=f(|x|)

⑤

y=f(x)

與

y=|f(x)|保留

y

軸右邊圖象,去掉左邊圖象,再作關于

y

軸的對稱圖象.保留

x

軸上方圖象,將

x

軸下方圖象翻折上去.考點回放2023/9/67(3)對稱變換①y=f(x)與y=f(-x)②y=f4、函數圖象的對稱性對于函數

y=f(x),若對定義域內的任意

x

都有：①若f(a-x)=f(a+x)(或

f(x)=f(2a-x)),則

f(x)

的圖象關于直線

x=a

對稱;②

若f(a-x)+f(a+x)=2b(或

f(x)+f(2a-x)=2b),則

f(x)

的圖象關于點

(a,b)

對稱.考點回放2023/9/684、函數圖象的對稱性對于函數y=f(x),若對定義域內例1.作出下列函數的圖象:(1)y=|x2-2x|+1(2)y=|log2(|x|-1)|(3)y=(4)y=lgx-32-x

2-x

1習題探究總結：用函數圖象變換法作函數的圖象關鍵是找到基本函數。2023/9/69例1.作出下列函數的圖象:(1)y=|x2-2x|+1對號函數1（對勾函數）2023/9/610對號函數1（對勾函數）2023/8/310對號函數2（對勾函數）2023/9/611對號函數2（對勾函數）2023/8/311例2.設函數

f(x)=x3+2x2,若函數

g(x)

的圖象與

f(x)

的圖象關于點

(2,1)

對稱,求

g(x)

的解析式.解:

設

P(x,y)

是

g(x)

圖象上任意一點,P

關于點

(2,1)

的對稱點為

Q(u,v),由已知則

v=u3+2u2①,且有:代入①得

2-y=(4-x)3+2(4-x)2.整理得

y=x3-14x2+64x-94.

y+v

2=1.x+u

2=2,u=4-x,v=2-y.∴即

g(x)=x3-14x2+64x-94.

2023/9/612例2.設函數f(x)=x3+2x2,若函數g(x)例3.對于正整數

k,若關于

x

的方程

(x-2k)2=ax

在區(qū)間

(2k-1,2k+1]上有兩個不相等的實根,求

a

的取值范圍.解:

設f(x)=(x

-2k)2(其中x∈(2k

-1,2k+1])∴f(x)的圖象是以

A(2k

-1,1)

及

B(2k+1,1)

為端點,頂點為

(2k,0)

的一段拋物線.∵f(2k

-1)=f(2k+1)=1,設

g(x)=ax,它表示過原點且斜率

k=a

的直線.則命題等價于:求使

f(x)

與

g(x)

的圖象有兩個交點的

a

的取值范圍,即∴0<a≤,（其中kN+）2k+11等價于0<a≤kOB,而

kOB=.2k+112k-12k+12kxyoAB習題探究2023/9/613例3.對于正整數k,若關于x的方程(x-2k)2xAxoy-1-122A-2例4.利用函數圖象解不等式

4-x2>

-x-1.

解:

令y=

4-x2,它的圖象是以原點為圓心,2

為半徑的半圓.畫出直線

y=-x-1,與半圓交于點A.解方程

4-x2=-x-1(-2<x<-1)得:則不等式的解集為滿足

y=

4-x2

的圖象在直線

y=-x-1

上方的

x

的取值集合,為

(xA,2].如圖所示:xA=.-1-27故原不等式的解集為

(

,2].-1-27習題探究2023/9/614xAxoy-1-122A-2例4.利用函數圖象解不等式4例5.若

1<x<3,a

為何值時,x2-5x+3+a=0

有兩解,一解,無解?解:

原方程即為a=-x2+5x-3(※)

作出函數y=-x2+5x-3(1<x<3)的圖象,顯然該圖象與直線

x=a

的交點的橫坐標是方程

(※)

的解.由圖象知:當3<a<時,原方程有兩解;413當1<a≤3或a=時,原方程有一解;413當a≤1或a>時,原方程無解.413123xy13o413y=a

習題探究2023/9/615例5.若1<x<3,a為何值時,x2-5x+3+例6.已知函數

y=f(x)

的圖象與

x

軸有三個不同的交點

(m,0),(n,0),(p,0).試分別就下列情況求

m+n+p

的值:(1)

y=f(x)為奇函數;(2)

y=f(x)

的圖象關于直線

x=2

對稱.解:

(1)由于

f(x)

為奇函數,它的圖象關于原點對稱,因而f(x)的圖象與

x

軸的三個不同交點中,有一個為原點,另兩個關于原點對稱.∴m,n,p

中有一個為

0,另兩個互為相反數.

∴m+n+p=0.(2)由于

y=f(x)

的圖象關于直線

x=2

對稱.因而

f(x)

的圖象與

x

軸的三個不同交點中,有一個為(2,0),

另兩個關于點

(2,0)

對稱.∴m+n+p=2+2

2=6.即

m+n+p

的值為

0.即

m+n+p

的值為

6.∴m,n,p

中有一個為

2,另兩個之和必為

2

的

2

倍.

習題探究2023/9/616例6.已知函數y=f(x)的圖象與x軸有三個不同的交例7.已知函數

y=f(x)=(a,b,c

R,a>0,b>0)是奇函數,當

x>0時,f(x)

有最小值

2,其中b

N+且

f(1)<,(1)試求函數y=f(x)

的解析式;(2)問函數

f(x)

圖象上是否存在關于點

(1,0)對稱的兩點?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.

52bx+c

ax2+1解:(1)∵f(x)

是奇函數,∴f(-x)=-f(x).∴bx+c=bx-c,bx+c

ax2+1即=--bx+cax2+1∴c=0.∵a>0,b>0,∴f(x)=bx

ax2+1=x+bx

1ba≥2

,b2a當且僅當

x=時,等號成立.

a1∴2

=2,b2a∵f(x)有最小值

2,∴a=b2.由

f(1)<

得,52b

a+1

<,52b

b2+1<

,52即∴2b2-5b+2<0,解得<b<2.12又

b

N*,∴b=1.∴a=1.∴f(x)=x+.x12023/9/617例7.已知函數y=f(x)=(a,解:(2)設存在一點

(x0,y0)

在

y=f(x)

的圖象上并且關于點

(1,0)

對稱的點(2-x0,-y0)

也在

f(x)

圖象上,則x0

x02+1=y0