1.1.2集合間的基本關(guān)系學習目標了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn圖表示集合的方法，通過子集理解兩集合相等的意義．自學導(dǎo)引1．一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A含于B”(或“B包含A”)．2．如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，記作A＝B.3．如果A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．4．不含任何元素的集合叫做空集，記作?.5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.一、寫出給定集合的子集例1(1)寫出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填寫下表，并回答問題.原集合子集子集的個數(shù)?{a.}{a，b}{a.，b，c}由此猜想：含n個元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的個數(shù)是多少？真子集的個數(shù)及非空真子集數(shù)呢？解(1)不含任何元素的集合：?；含有一個元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有兩個元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三個元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集為?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的個數(shù)??1{a}?，{a}2{a.，b}?，{a.}，，{a，b}.4{a.，b，c}?，{a.}，，{c}，{a.，b}，{a.，c}，{b，c}，{a.，b，c}8這樣，含n個元素的集合{a1，a2，…，}的所有子集的個數(shù)是2n，真子集的個數(shù)是2n－1，非空真子集數(shù)是2n－2.點評(1)分類討論是寫出所有子集的有效方法，一般按集合中元素個數(shù)的多少來劃分，遵循由少到多的原則，做到不重不漏．(2)集合A中有n個元素，則集合A有2n個子集，有(2n－1)個真子集，(2n－1)個非空子集，(2n－2)個非空真子集．變式遷移1已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，寫出集合M.解由已知條件知所求M為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．二、集合基本關(guān)系的應(yīng)用例2已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x||x|<1}，滿足A?B，求實數(shù)a的取值范圍．分析對參數(shù)進行討論，寫出集合A、B，讓其滿足A?B，求a的值．解(1)當a＝0時，A＝?，滿足A?B.(2)當a>0時，A＝.∵A?B，∴∴a≥2(3)當a.<0時，A＝.∵A?B，∴∴a≤－2.綜合(1)(2)(3)知，a的取值范圍{a|a≤－2或a＝0或a≥2}．點評對集合A分類討論是解決此類題目的關(guān)鍵，注意不要忽視對A＝?的討論．變式遷移2已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若BA，求實數(shù)m所構(gòu)成的集合M.解由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3.∴A＝{2,3}由BA知B＝?或B＝{2}或B＝{3}若B＝?，則m＝0；若B＝{2}，則m＝eq\f(1,2)；若B＝{3}，則m＝eq\f(1,3).∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,3))).三、集合相等關(guān)系的應(yīng)用例3已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．解方法一∵A＝B∴集合A與集合B中的元素相同∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x,y＝y(tǒng)2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)2,y＝2x))，解得x，y的值為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,2)))驗證得，當x＝0，y＝0時，A＝{2,0,0}這與集合元素的互異性相矛盾，舍去．∴x，y的取值為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,2)))方法二∵M＝N，∴M、N中元素分別對應(yīng)相同．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋y2，,x·y＝2x·y2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y(y－1)＝0，①,xy(2y－1)＝0.②))∵集合中元素互異，∴x、y不能同時為0.∴y≠0.由②得x＝0或y＝eq\f(1,2).當x＝0時，由①知y＝1或y＝0(舍去)；當y＝eq\f(1,2)時，由①得x＝eq\f(1,4).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)))點評集合相等則元素相同，但要注意集合中元素的互異性，防止錯解．變式遷移3含有三個實數(shù)的集合可表示為，也可表示為{a2，a＋b,0}，求a.，b.解由集合相等得：0∈，易知a≠0，∴＝0，即b＝0，∴a2＝1且≠a.∴a.＝－1.綜上所述：a＝－1，b＝0.1．元素、集合間的關(guān)系用符號“∈”或“?”表示，集合、集合間的關(guān)系用“?”、“?”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情況下集合也可以作為元素，如集合B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，則此時{1}∈B…而不能是{1}B.3．解集合關(guān)系的問題時還需注意以下幾個方面：(1)當A?B時，A＝B或AB.(2)判斷兩個集合間的關(guān)系：①用列舉法表示兩個集合再判斷；②分類討論．(3)解數(shù)集問題學會運用數(shù)軸表示集合．(4)集合與集合間的關(guān)系可用Venn圖直觀表示．一、選擇題1．下列命題①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A時，則A≠?，其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析僅④是正確的．2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，則能使A?B成立的實數(shù)a.的取值范圍是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．?答案B解析結(jié)合數(shù)軸由圖可知∵A?B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝(a－1)2.,－1≤3,b＝(a－1)2.,＋2≥5))∴3≤a≤43．設(shè)B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，則A與B的關(guān)系是()A．A?BB．B?AC．A∈BD．B∈A答案D解析∵B的子集為{1}，{2}，{1,2}，?，∴A＝{x|x?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，∴B∈A.4．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(n,2)，n∈Z))，則A與B的關(guān)系是()A．ABB．ABC．A＝BD．A∈B答案A5．在以下六個寫法中：①{0}∈{0,1}；②?{0}；③{0，－1,1}?{－1,0,1}；④0∈?；⑤Z＝{正整數(shù)}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中錯誤寫法的個數(shù)是()A．3個B．4個C．5個D．6個答案B二、填空題6．若B＝{0,1,2,3,4,7,8}，C＝{0,3,4,7,9}，則滿足A?B，A?C的集合A有________個．答案167．設(shè)M＝{x|x2－1＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，則a的值為________．答案±1或08．若{x|2x－a＝0，a∈N}?{x|－1<x<3}，則a的所有取值組成的集合為________________．答案{0,1,2,3,4,5}三、解答題9．設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求實數(shù)a、b的值．解∵A＝B且1∈A，∴1∈B.若a＝1，則a2＝1，這與元素互異性矛盾，∴a≠1.若a2＝1，則a＝－1或a＝1(舍)．∴A＝{1，－1，b}，∴b＝a.b＝－b，即b＝0.若ab＝1，則a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)．故a＝－1，b＝0即為所求．10．設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B?A，求a解方法一A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，由B?A，得B＝?，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，因為Δ＝(2a＋1)2－42－4a所以B必不為空集．當B＝{2}時，需2a＋1＝4和a