用分離變量法求解混合問題

0分離變量法的適用條件首先，解決數(shù)學(xué)物理方程的通解方法僅適用于極少數(shù)的定解問題，而分離變量法是定解問題的基本解決方案。它適用于各種有限區(qū)域的混合問題。所使用的術(shù)語和符號來自文本。1簡化常微分方程初值問題這種方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合問題,經(jīng)過分離變量,轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題,使原問題得到簡化,這是一種很常用的方法.對于含兩個以上自變量的偏微分方程,也可采用這種方法,把偏微分方程化為常微分方程或所含自變量較少的偏微分方程,將問題簡化,使之容易求解.2變量分離法的基本步驟2.1不同齊次如果關(guān)于未知函數(shù)u的混合問題中的邊界條件不是齊次的,那么選取一個與u具有相同邊界條件的已知函數(shù)U,作變換u=v+U,代入關(guān)于u的混合問題,導(dǎo)出新的未知函數(shù)v的混合問題,這時v所滿足的邊界條件就是齊次的了.2.2齊次方程設(shè)v(x,t)=X(x)T(t),代入關(guān)于v的混合問題所對應(yīng)的齊次方程及齊次邊界條件,經(jīng)過分離變量后,可得關(guān)于X(x)的特征值問題,求出特征值λn和特征函數(shù)Xn(x).2.3分離出1xnxnt設(shè)該問題的解為特征函數(shù)的級數(shù)v(x?t)=∞∑n-1Xn(x)Τn(t)將其代入v所滿足的方程及初始條件,從中可分離出待定函數(shù)Tn(t)所滿足的常微分方程的初值問題,求出Tn(t)后可得v(x,t).2.4關(guān)于u的混合問題將所求得的v代入u=v+U,便得關(guān)于u的混合問題的解.3tnt型特征值混合方程的構(gòu)建用分離變量法求解下列熱傳導(dǎo)方程的混合問題:{ut=a2uxx(0＜x＜b?t＞0)ux(0?t)=0?u(b?t)=Μ(t＞0)u(x?0)=Μbx(0≤x≤b)其中a,b,M是已知常數(shù).解先把邊界條件齊次化,為此作變換u(x?t)=v(x?t)+Μb2x2將其代入u的混合問題,導(dǎo)出關(guān)于v的混合問題:{vt=a2vxx+2a2Μb2(0＜x＜b?t＞0)vx(0?t)=0?v(b?t)=0(t＞0)v(x?0)=Μbx-Μb2x2(0≤x≤b)為了求出新的未知函數(shù)v,先建立特征值問題.為此令v(x,t)=X(x)T(t)代入關(guān)于v的混合問題所對應(yīng)的齊次方程和齊次邊界條件,得{X(x)Τ′(t)=a2X″(x)Τ(t)X′(0)Τ(t)=0X(b)Τ(t)=0整理方程,得X″(x)X(x)=Τ′(t)a2Τ(t)=-λ分離變量后,得特征值問題:{X″(x)+λX(x)=0X′(0)=0X(b)=0該特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為λn=[(2n-1)π2b]2?Xn(x)=cos(2n-1)πx2b?n=1?2??設(shè)關(guān)于v的混合問題的解為特征函數(shù)的級數(shù),即v(x?t)=∞∑n=1Τn(t)cos(2n-1)πx2b將其代入v所滿足的非齊次方程和初始條件,得{∞∑n=1[Τ′n(t)+(2n-1)2π24b2a2Τn(t)]cos(2n-1)πx2b=2a2Μb2∞∑n=1Τn(0)cos(2n-1)πx2b=Μbx-Μb2x2將上面等式右端的函數(shù)在[0,b]上展成付氏級數(shù),得{2a2Μb2=∞∑n=1Cncos(2n-1)πx2bΜbx-Μb2x2=∞∑n=1Dncos(2n-1)πx2b其中的付氏系數(shù)為{Cn=2b∫b02a2Μb2cos(2n-1)πξ2bdξ=(-1)n-18a2Μ(2n-1)πb2Dn=2b∫b0(Μbξ-Μb2ξ2)cos(2n-1)πξ2bdξ=-8Μ(2n-1)2π2[1+(-1)n4(2n-1)π]比較系數(shù),可得Tn(t)所滿足的常微分方程的初始問題:{Τ′n(t)+(2n-1)2π2a24b2Τn(t)=CnΤn(0)=Dn解得Τn(t)=-8Μ(2n-1)2π2[e-(2n-1)2π2a24b2t+(-1)n4(2n-1)π]將所所求得的Tn(t)代入v的級數(shù)表示式,然后再將所求得的v代入u(x?t)=v(x?t)+Μb2x2就得到關(guān)于u的混合問題的解為u(x?t)=Μb2x2+∞∑n=1[(-1)n-132Μ(2n-1)3π3-8Μ(2n-1)2π2e-(2n-1)2π2a24b2t]cos(2n-1)πx2b4如何確定特征函數(shù)簇?不難看出,分離變量法最主要的環(huán)節(jié)是求解特征