專題22與圓的有關(guān)解答題一．解答題（共50小題）1．（2020?銅仁市）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，CE⊥AB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BCE＝∠BCD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝8，BECE=1【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACO，等量代換得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)BC＝k，AC＝2k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BCAC=tan∠設(shè)BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BCAC∵AD＝8，∴CD＝4．2．（2020?溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，G是AC上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．（1）求證：∠1＝∠2．（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)為F，連結(jié)CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時(shí)，CF＝10，tan∠1=25，求⊙【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和AB為⊙O的直徑，即可證明∠1＝∠2；（2）連接DF，根據(jù)垂徑定理可得FD＝FC＝10，再根據(jù)對(duì)稱性可得DC＝DF，進(jìn)而可得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑．【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，∴AC=∵AB為⊙O的直徑，∴BC=∴∠1＝∠2；（2）如圖，連接DF，∵AC=AD，AB是⊙∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵點(diǎn)C，F(xiàn)關(guān)于DG對(duì)稱，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1=2∴EB＝DE?tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2=2∴AE=DE∴AB＝AE+EB=29∴⊙O的半徑為2943．（2020?衢州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，其中點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長(zhǎng)．【分析】（1）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可．（2）證明△AEC∽△BCA，推出CEAC=AC【解析】（1）證明：∵AE＝DE，OC是半徑，∴AC=∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CEAC∴CE6∴CE＝3.6，∵OC=12∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．4．（2020?嘉興）已知：如圖，在△OAB中，OA＝OB，⊙O與AB相切于點(diǎn)C．求證：AC＝BC．小明同學(xué)的證明過程如下框：證明：連結(jié)OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的證法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出你的證明過程．【分析】連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】證法錯(cuò)誤；證明：連結(jié)OC，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．5．（2020?湖州）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結(jié)BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圓周角定理可得CD=【解析】（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，∴CD=∵AD是⊙O的直徑，AD＝6，∴CD的長(zhǎng)=12×12×6．（2020?遵義）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長(zhǎng)度．【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠ADO＝∠DAE，從而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠ODE＝90°，由切線的判定定理得出答案；（2）先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，進(jìn)而得出AF和BA的值，然后證明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)得比例式，從而求得BD2的值，求算術(shù)平方根即可得出BD的值．【解析】（1）連接OD，如圖：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BDBA∴BD2＝BF?BA＝2×6＝12．∴BD＝23．7．（2019?陜西）如圖，⊙O的半徑OA＝6，過點(diǎn)A作⊙O的切線AP，且AP＝8，連接PO并延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)B、D，過點(diǎn)B作BC∥OA，并與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC、CD．（1）求證：DC∥AP；（2）求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠BCD＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：∵AP是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延長(zhǎng)AO交DC于點(diǎn)E，則AE⊥DC，OE=12BC，CE=在Rt△AOP中，OP=62+82由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DBOP即1210∴BC=365，DC∴OE=185，CE在Rt△AEC中，AC=A8．（2020?聊城）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．（1）試證明DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝610，求此時(shí)DE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）根據(jù)題意求得AD，根據(jù)勾股定理求得BD，然后證得△CDE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得DE．【解析】（1）證明：連接OD、BD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D為AC中點(diǎn)，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD為半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）由（1）知BD是AC的中線，∴AD＝CD=12AC=∵O的半徑為5，∴AB＝6，∴BD=A∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴CDAB=DE∴DE＝3．9．（2020?上海）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大?。唬?）當(dāng)AD＝2，CD＝3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）分三種情形：①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線于E．則AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，根據(jù)BH2＝【解析】（1）證明：連接OA．A∵AB＝AC，∴AB=∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)AO交BC于H．①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．綜上所述，∠C的值為67.5°或72°．（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線于E．則AEBC∴AOOH=AEBH=43，設(shè)OB＝OA∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2=25∴BH=5∴BC＝2BH=510．（2020?金華）如圖，AB的半徑OA＝2，OC⊥AB于點(diǎn)C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的長(zhǎng)．（2）求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題意和垂徑定理，可以求得AC的長(zhǎng)，然后即可得到AB的長(zhǎng)；（2）根據(jù)∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】（1）∵AB的半徑OA＝2，OC⊥AB于點(diǎn)C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA?sin60°＝2×3∴AB＝2AC＝23；（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴AB的長(zhǎng)是：120π×218011．（2020?齊齊哈爾）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=CD=DB，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC交（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若直徑AB＝6，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件得到∠BOD=13×180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OD，∵AC=∴∠BOD=13×180°∵CD=∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12∴AD=62?12．（2020?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，AD的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)B的切線交于點(diǎn)C，E為線段AD上的點(diǎn)，過點(diǎn)E的弦FG⊥AB于點(diǎn)H．（1）求證：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C；（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BCAC∴6AC∴AC＝9，∴AB=AC2∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴AHAB∴AH3∴AH=5，EH連接AF，BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴FHAH∴FH5∴FH=10∴EF=1013．（2020?河南）我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的．人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡(jiǎn)易操作工具﹣﹣三分角器．圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等；DB與AC垂直于點(diǎn)B，DB足夠長(zhǎng)．使用方法如圖2所示，若要把∠MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點(diǎn)E，點(diǎn)A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點(diǎn)為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了．為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，點(diǎn)A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點(diǎn)B，AB＝OB，EN切半圓O于F．求證：EB，EO就把∠MEN三等分．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠2＝∠3，于是得到結(jié)論．【解析】已知：如圖2，點(diǎn)A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點(diǎn)B，AB＝OB，EN切半圓O于F．求證：EB，EO就把∠MEN三等分，證明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切線，∵EN切半圓O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案為：AB＝OB，EN切半圓O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．14．（2020?安徽）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠BFE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABE＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA與Rt△DAB中，BC=ADBA=AB∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圓O所在圓的切線，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．15．（2020?河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段BC＝8cm，點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥BD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問題．請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點(diǎn)D在BC上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段BD，CD，F(xiàn)D的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：①“當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，BD＝5.0cm”．則上表中a的值是5；②“線段CF的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到”．請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．（2）將線段BD的長(zhǎng)度作為自變量x，CD和FD的長(zhǎng)度都是x的函數(shù)，分別記為yCD和yFD，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yFD的圖象，如圖所示．請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，線段BD長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【分析】（1）①由BD=CD可求BD＝CD＝a＝5②由“AAS”可證△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由題意可畫出函數(shù)圖象；（3）結(jié)合圖象可求解．【解析】（1）∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD=∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案為：5；（2）∵點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴線段CF的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到；（3）由題意可得：（4）由題意畫出函數(shù)yCF的圖象；由圖象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm時(shí)，△DCF為等腰三角形．16．（2020?德州）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)D是半圓AB的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，BD．過點(diǎn)D作DH∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：直線DH是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠AOD=12∠AOB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODH（2）連接CD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC=102?62=8，求得∠CAD＝∠DBH，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠【解析】（1）證明：連接OD，∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是半圓AB的中點(diǎn)，∴∠AOD=12∠AOB∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直線DH是⊙O的切線；（2）解：連接CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵點(diǎn)D是半圓AB的中點(diǎn)，∴AD=∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×22=∵AB＝10，BC＝6，∴AC=1∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴ACBD∴85解得：BH=2517．（2020?長(zhǎng)沙）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，AC平分∠DAB．（1）求證：DC為⊙O的切線．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O【分析】（1）如圖，連接OC，根據(jù)已知條件可以證明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，進(jìn)而可得DC為⊙O的切線；（2）過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)Rt△ADC中，AD＝3，DC=3，可得DAC＝30°，再根據(jù)垂徑定理可得AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得⊙O【解析】（1）如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半徑，∴DC為⊙O的切線；（2）過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC=3∴tan∠DAC=DC∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝23，∵OE⊥AC，根據(jù)垂徑定理，得AE＝EC=12AC∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA=AE∴⊙O的半徑為2．18．（2020?襄陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且EC=BC，連接AE，AC．過點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（1）判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝4，CD=3【分析】（1）連接OC，根據(jù)EC=BC，求得∠CAD＝∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙（2）連接OE，連接BE交OC于F，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圓周角定理得到∠AEB＝90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF＝CD=3，根據(jù)勾股定理得到AE=AB2?BE2=42?(23【解析】（1）證明：連接OC，∵EC=∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：連接OE，連接BE交OC于F，∵EC=∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四邊形DEFC是矩形，∴EF＝CD=3∴BE＝23，∴AE=A∴AE=12∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵EC=∴∠COE＝∠BOC＝60°，連接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等邊三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE=33∴AD＝3，∴圖中陰影部分的面積＝S△ACD﹣S扇形COE=12×19．（2020?衡陽(yáng)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A和點(diǎn)D的圓，圓心O在線段AB上，⊙O交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）連接DE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AC=325，根據(jù)勾股定理得到CD【解析】（1）BC與⊙O相切，理由：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD為半徑，∴BC是⊙O切線；（2）連接DE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD108∴AC=32∴CD=A∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴ODAC∴532∴BD=12020．（2020?淮安）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點(diǎn)，OC⊥OA，CO交AB于點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)D，且CP＝CB．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得∠CPB＝∠CBP，根據(jù)垂直的定義得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，則CB與⊙O相切；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等邊三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根據(jù)勾股定理得到OB=O【解析】（1）CB與⊙O相切，理由：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半徑，∴CB與⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，∵PC＝CB，∴△PBD是等邊三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴∠OBP＝∠POB＝30°，∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，∴OB=O∴圖中陰影部分的面積＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×21．（2020?南京）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥BC，交⊙O于點(diǎn)F．求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；（2）AF＝EF．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定得出BD∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；（2）求出∠AEF＝∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ECF+∠EAF＝180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．【解析】證明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形；（2）連接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AE＝EF．22．（2020?遼陽(yáng)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠CAB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，交BC邊于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE．（1）求證：DE與⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求陰影部分的面積．【分析】（1）證明：連接AE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到△ABE是等邊三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（AAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半徑，∴DE與⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC=12AB?AC=1∴S△ACE=12S△ABC=1∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF=30π×A∴S陰影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43?23．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD、OD．先證明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，從而可證明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積得出答案．【解析】（1）證明：連接AD、OD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圓O的切線，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半徑為5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD=A∵S△ADC=12AD?DC=1∴DE=AD?DC24．（2020?天津）在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如圖①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如圖②，若CD⊥AB，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，求∠E的大小．【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)得出∠C＝37°，由圓周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）連接OD，求出∠PCB＝27°，由切線的性質(zhì)得出∠ODE＝90°，由圓周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一個(gè)外角，∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，由圓周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；（2）連接OD，如圖②所示：∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．25．（2020?涼山州）如圖，⊙O的半徑為R，其內(nèi)接銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c．（1）求證：asin∠A=b（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的結(jié)論求AB的長(zhǎng)和sin∠B的值．【分析】（1）證明：作直徑BE，連接CE，如圖所示：則∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：b（2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=【解析】（1）證明：作直徑BE，連接CE，如圖所示：則∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE=BC∴asinA=2同理：bsin∠B=2R，csin∠C∴asin∠A=b（2）解：由（1）得：ABsinC即ABsin45°=4∴AB=43×223過B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB?cos60°＝42×12=22，CH=∴AC＝AH+CH＝2（2+∴sin∠B=AC26．（2020?深圳）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．連接BC并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）證明：連接AC、OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，則可判斷OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后證明∠B＝∠E，從而得到結(jié)論；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用勾股定理可計(jì)算出AC＝8，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝BC＝6，然后利用面積法求出CD的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：連接AC、OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC=1∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD?AE=12AC∴CD=6×827．（2020?陜西）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．過點(diǎn)C作⊙O的切線，與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：AD∥EC；（2）若AB＝12，求線段EC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)可得∠OCE＝90°，由圓周角定理可得∠AOC＝90°，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于F，由銳角三角函數(shù)可求AD＝83，可證四邊形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由銳角三角函數(shù)可求EF＝12，即可求解．【解析】證明：（1）連接OC，∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB∴AD=12×23=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四邊形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四邊形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF∴EF=3AF∴CE＝CF+EF＝12+43．28．（2020?天水）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD＝23，AB＝6，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【分析】（1）連接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分別求出△ODB和扇形DOF的面積即可．【解析】（1）證明：連接OD，如圖：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD為⊙O的半徑，∴直線BC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OA＝OD＝r，則OB＝6﹣r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴r2+（23）2＝（6﹣r）2，解得：r＝2，∴OB＝4，∴OD=O∴OD=12∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，∴陰影部分的面積S＝S△ODB﹣S扇形DOF=12×23×229．（2020?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F，若DF＝2，BC＝43，求線段EF的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OD⊥BC得到CD＝BD，則OE為BC的垂直平分線，所以EB＝EC，證明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根據(jù)切線的判定定理得BE與⊙O相切；（2）設(shè)⊙O的半徑為x，則OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（23）2＝x2，解得x＝4，求出OE的長(zhǎng)，則可求出EF的長(zhǎng)；（3）由扇形的面積公式可得出答案．【解析】（1）證明：連接OC，如圖，∵CE為切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中OC=OBOE=OE∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE與⊙O相切；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD=12BC＝2∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（23）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE=3OB＝43∴S陰影＝S四邊形OBEC﹣S扇形OBC＝2×12×4×＝163?30．（2020?武威）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，其切線AE與直徑BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）若DE＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OA，先由切線的性質(zhì)得∠OAE的度數(shù)，再等腰三角形的性質(zhì)得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形內(nèi)角和定理求得∠OAB，進(jìn)而得∠AOB，最后由圓周角定理得∠ACB的度數(shù)；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，再根據(jù)含30°解的直角三角形的性質(zhì)列出r的方程求解便可．【解析】（1）連接OA，∵AE是⊙O的切線，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB=12∠AOB＝60（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半徑為2．31．（2020?福建）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO交⊙O于點(diǎn)C，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D，E是BCD上不與B，D重合的點(diǎn)，sinA=1（1）求∠BED的大?。唬?）若⊙O的半徑為3，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，且BF＝33，求證：DF與⊙O相切．【分析】（1）連接OB，由切線求出∠ABO的度數(shù)，再由三角函數(shù)求出∠A，由三角形的外角性質(zhì)求得∠BOD，最后由圓周解與圓心角的關(guān)系求得結(jié)果；（2）連接OF，OB，證明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得結(jié)論．【解析】（1）連接OB，如圖1，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO＝90°，∵sinA=1∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60（2）連接OF，OB，如圖2，∵AB是切線，∴∠OBF＝90°，∵BF＝33，OB＝3，∴tan∠BOF=BF∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，OB=OD∠BOF=∠DOF∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF與⊙O相切．32．（2020?揚(yáng)州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，點(diǎn)E在直徑CD的延長(zhǎng)線上，且AE＝AC．（1）試判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝6，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可證明△AOD為等邊三角形，可求得∠EAO＝90°，可證明AE為⊙O的切線；（2）作OF⊥AC于F，結(jié)合（1）可得到OA＝23，AE＝6，再根據(jù)圓的面積公式和扇形面積公式即可求解．【解析】（1）證明：連接OA、AD，如圖，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DAC＝90°，又∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACD＝30°，又∵AE＝AC，OA＝OD，∴△ADO為等邊三角形，∴∠E＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，∴∠PAD＝30°，∴∠EAD+∠DAO＝90°，∴OA⊥E，∴AE為⊙O的切線；（2）解：作OF⊥AC于F，由（1）可知△AEO為直角三角形，且∠E＝30°，∴OA＝23，AE＝6，∴陰影部分的面積為12×6×23?60π×(23故陰影部分的面積為63?2π33．（2020?臨沂）已知⊙O1的半徑為r1，⊙O2的半徑為r2．以O(shè)1為圓心，以r1+r2的長(zhǎng)為半徑畫弧，再以線段O1O2的中點(diǎn)P為圓心，以12O1O2的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A，連接O1A，O2A，O1A交⊙O1于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作O2A的平行線BC交O1O2于點(diǎn)C（1）求證：BC是⊙O2的切線；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求陰影部分的面積．【分析】（1）由題意得出O1P＝AP＝O2P=12O1O2，則可得出∠O1AO2＝90°，由平行線的性質(zhì)可得出∠（2）由直角三角形的性質(zhì)求出∠BO1P＝60°，由勾股定理求出BC長(zhǎng)，則可根據(jù)S陰影=S【解析】（1）證明：連接AP，∵以線段O1O2的中點(diǎn)P為圓心，以12O1O2∴O1P＝AP＝O2P=1∴∠O1AO2＝90°，∵BC∥O2A，∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，∴O1B⊥BC，∴BC是⊙O2的切線；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A=1∴∠BO1P＝60°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC=O1C∴S陰影=S△O134．（2020?山西）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)B，與AO相交于點(diǎn)D，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接EB交OC于點(diǎn)F．求∠C和∠E的度數(shù)．【分析】連接OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AB，再利用平行四邊形的性質(zhì)得AB∥OC，OA∥BC，則∠BOC＝90°，接著計(jì)算出∠C＝∠OBC＝45°，然后利用平行線的性質(zhì)得到∠AOB＝∠OBC＝45°，從而根據(jù)圓周角定理得到∠E的度數(shù)．【解析】連接OB，如圖，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)B，∴OB⊥AB，∵四邊形ABCO為平行四邊形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E=12∠AOB＝22.535．（2020?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：AB為⊙O的切線；（2）如圖2，AB與⊙O相切于點(diǎn)E，連接CE交OA于點(diǎn)F．①試判斷線段OA與CE的關(guān)系，并說明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．【分析】（1）過點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，利用角平分線的性質(zhì)定理可得OG＝OC，即可證明；（2）①利用切線長(zhǎng)定理，證明OE＝OC，結(jié)合OE＝OC，再利用垂直平分線的判定定理可得結(jié)論；②根據(jù)OF：FC＝1：2，OC＝3求出OF和CF，再證明△OCF∽△OAC，求出AC，再證明△BEO∽△BCA，得到BEBC=OEAC=BOAB，設(shè)BO＝x，BE＝y(tǒng)，可得關(guān)于x【解析】（1）如圖，過點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，∵OA平分∠BAC交BC于點(diǎn)O，∴OG＝OC，∴點(diǎn)G在⊙O上，即AB與⊙O相切；（2）①OA垂直平分CE，理由是：連接OE，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)E，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴AE＝AC，∵OE＝OC，∴OA垂直平分CE；②∵OF：FC＝1：2，OC＝3，則FC＝2OF，在△OCF中，OF2+（2OF）2＝32，解得：OF=355，則由①得：OA⊥CE，則∠OCF+∠COF＝90°，又∠OCF+∠ACF＝90°，∴∠COF＝∠ACF，而∠CFO＝∠ACO＝90°，∴△OCF∽△OAC，∴OCOA=OF解得：AC＝6，∵AB與圓O切于點(diǎn)E，∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6，而∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，∴BEBC=OEAC=BOAB，設(shè)BO則y3+x可得：6y=9+3x6x=3y+18解得：x=5y=4，即BO＝5，BE∴tanB=OE36．（2020?湘潭）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）AB為⊙O的直徑得AD⊥BC，結(jié)合AB＝AC，用HL證明全等三角形；（2）由△ABD≌△ACD得BD＝BC，結(jié)合AO＝BO得OD為△ABC的中位線，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直線DE為⊙O切線．【解析】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中AD=ADAB=AC∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；（2）直線DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，如圖所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切．37．（2020?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，AE與過點(diǎn)D的切線互相垂直，垂足為E．（1）求證：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．【分析】（1）連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，則可判斷OD∥AE，從而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；（2）連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，再證明∠2＝∠3，利用三角函數(shù)的定義得到sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，則AD＝BC，設(shè)CD＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，證明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y(tǒng)：（x+y），然后求出x、y【解析】（1）證明：連接OD，如圖，∵DE為切線，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD∥AE，∴∠1＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE；（2）解：連接BD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∵sin∠1=DEAD，sin∠3而DE＝DC，∴AD＝BC，設(shè)CD＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y(tǒng)：（x+y），整理得x2+xy+y2＝0，解得x=?1+52y或x∴sin∠3=DC即sin∠BAC的值為5?138．（2020?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)M，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，過M作MN⊥AB，垂足為N．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為5，sinB=35，求【分析】（1）連接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）連接DM和CE，求出DM⊥BC，OE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．【解析】（1）證明：連接OM，如圖1，∵OC＝OD，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=12AB＝∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵M(jìn)N⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM過O，∴MN是⊙O的切線；（2）解：連接DM，CE，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M為BC的中，∵sinB=3∴cosB=4在Rt△BMD中，BM＝BD?cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC?cosB=32∴ED＝BE﹣BD=325?39．（2020?江西）已知∠MPN的兩邊分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，⊙O的半徑為r．（1）如圖1，點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間的優(yōu)弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形APBC為菱形，∠APB的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由；（3）若PC交⊙O于點(diǎn)D，求第（2）問中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含r的式子表示）．【分析】（1）連接OA，OB，由切線的性質(zhì)可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四邊形內(nèi)角和可求解；（2）當(dāng)∠APB＝60°時(shí)，四邊形APBC是菱形，連接OA，OB，由切線長(zhǎng)定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可證△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可證AP＝AC＝PB＝BC，可得四邊形APBC是菱形；（3）分別求出AP，PD的長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式可求AD，即可求解．【解析】（1）如圖1，連接OA，OB，∵PA，PB為⊙O的切線，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如圖2，當(dāng)∠APB＝60°時(shí)，四邊形APBC是菱形，連接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，∴PC經(jīng)過圓心，∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四邊形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半徑為r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP=3r，PD＝r∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴AD=∴陰影部分的周長(zhǎng)＝PA+PD+AD=3r+r+π3r＝（340．（2020?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA'長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB得到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦P1P2和P3P4，則這兩條弦的位置關(guān)系是P1P2∥P3P4；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)P3的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點(diǎn)A，B都在直線y=3x+23上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，求d1（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，32），記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2，直接寫出d2【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及線段AB到⊙O的“平移距離”的定義判斷即可．（2）如圖1中，作等邊△OEF，點(diǎn)E在x軸上，OE＝EF＝OF＝1，設(shè)直線y=3x+23交x軸于M，交y軸于N．則M（﹣2，0），N（0，23），過點(diǎn)E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH（3）如圖2中，作直線OA交⊙O于M，N過點(diǎn)O作PQ⊥OA交，交⊙O于P，Q．以O(shè)A，AB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDO，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊△ODB′，等邊△OB′A′，則AB∥A′B′，AA′的長(zhǎng)即為線段AB到⊙O的“平移距離”，Q求出AA′使得最小值和最大值即可解決問題．【解析】（1）如圖，平移線段AB得到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦P1P2和P3P4，則這兩條弦的位置關(guān)系是P1P2∥P3P4；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)P3的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”．故答案為：P1P2∥P3P4，P3．（2）如圖1中，作等邊△OEF，點(diǎn)E在x軸上，OE＝EF＝OF＝1，設(shè)直線y=3x+23交x軸于M，交y軸于N．則M（﹣2，0），N（0，23過點(diǎn)E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝23，∴tan∠NMO=3∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM?sin60°=3觀察圖象可知，線段AB到⊙O的“平移距離”為d1的最小值為32（3）如圖2中，作直線OA交⊙O于M，N過點(diǎn)O作PQ⊥OA交，交⊙O于P，Q．以O(shè)A，AB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDO，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊△ODB′，等邊△OB′A′，則AB∥A′B′，AA′的長(zhǎng)即為線段AB到⊙O的“平移距離”，當(dāng)點(diǎn)A′與M重合時(shí)，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52?當(dāng)點(diǎn)A′與P或Q重合時(shí)，AA′的值最大最大值=1∴32≤d241．（2020?哈爾濱）已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為E，連接BO，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：∠BFC＝3∠CAD；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BF交⊙O于點(diǎn)G，點(diǎn)H為DG的中點(diǎn)，連接OH，求證：BE＝OH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若DG＝DE，△AOF的面積為925，求線段CG【分析】（1）由垂徑定理可得BE＝EC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB＝AC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，由外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由“AAS”可證△BOE≌△ODH，可得BE＝OH；（3）過點(diǎn)F作FN⊥AD，交AD于N，設(shè)DG＝DE＝2x，由全等三角形的性質(zhì)可得OE＝DH＝x，OD＝3x＝OA＝OB，勾股定理可求BE＝22x，由銳角三角函數(shù)可求AN=2NF，ON=24NF，可得AO＝AN+ON=524NF，由三角形面積公式可求NF的長(zhǎng)，可求x＝1，可得BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE＝2，勾股定理可求AC＝26，連接AG，過點(diǎn)A作AM⊥CG，交GC的延長(zhǎng)線于M，通過證明△ACM∽△ADG【解析】證明：（1）∵AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BE＝EC，∴AB＝AC，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；（2）如圖2，連接AG，∵AD是直徑，∴∠AGD＝90°，∵點(diǎn)H是DG中點(diǎn)，∴DH＝HG，又∵AO＝DO，∴OH∥AG，AG＝2OH，∴∠AGD＝∠OHD＝90°，∵DG∥BF，∴∠BOE＝∠ODH，又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，∴△BOE≌△ODH（AAS），∴BE＝OH；（3）如圖3，過點(diǎn)F作FN⊥AD，交AD于N，設(shè)DG＝DE＝2x，∴DH＝HG＝x，∵△BOE≌△ODH，∴OE＝DH＝x，∴OD＝3x＝OA＝OB，∴BE=OB2?OE2∵∠BAE＝∠CAE，∴tan∠BAE＝tan∠CAE=BE∴22∴AN=2NF∵∠BOE＝∠NOF，∴tan∠BOE＝tan∠NOF=BE∴22∴ON=24∴AO＝AN+ON=52∵△AOF的面積為92∴12×AO×NF=12∴NF=6∴AO=524NF∴x＝1，∴BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE∴AC=AE2+CE如圖3，連接AG，過點(diǎn)A作AM⊥CG，交GC的延長(zhǎng)線于M，由（2）可知：AG＝2OH＝42，∵四邊形ADGC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACM＝∠ADG，又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，∴△ACM∽△ADG，∴ADAC∴62∴CM=263，∴GM=AG∴CG＝GM﹣CM=242．（2020?咸寧）定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為90°或270°；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點(diǎn)D．求證：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；探究：（3）如圖2，在對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究線段AD，CD和BD之間有有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．【分析】（1）對(duì)余四邊形的定義即可得出結(jié)果；（2）由圓周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出結(jié)論；（3）對(duì)余四邊形的定義得出∠ADC＝30°，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，則△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，則△BFD是等邊三角形，得出BF＝BD＝DF，易證∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，則∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出結(jié)果．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案為：90°或270°；（2）證明：∵M(jìn)N是⊙O的直徑，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；（3）解：線段AD，CD和BD之間數(shù)量關(guān)系為：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵對(duì)余四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，如圖3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等邊三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．43．（2020?陜西）問題提出（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D．過點(diǎn)D分別作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分別為E，F(xiàn)，則圖1中與線段CE相等的線段是CF、DE、DF．問題探究（2）如圖2，AB是半圓O的直徑，AB＝8．P是AB上一點(diǎn)，且PB=2PA，連接AP，BP．∠APB的平分線交AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為E，F(xiàn)，求線段CF問題解決（3）如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖．已知⊙O的直徑AB＝70m，點(diǎn)C在⊙O上，且CA＝CB．P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D．連接AD，BD．過點(diǎn)P分別作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分別為E，F(xiàn)．按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．設(shè)AP的長(zhǎng)為x（m），陰影部分的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理．試求當(dāng)AP＝30m時(shí)．室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形PEDF）的面積．【分析】（1）證明四邊形CEDF是正方形，即可得出結(jié)果；（2）連接OP，由AB是半圓O的直徑，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，則∠ABP＝30°，同（1）得四邊形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC=3CF，推出PB（3）①同（1）得四邊形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，將△APE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′PF，PA′＝PA，則A′、F、B三點(diǎn)共線，∠APE＝∠A′PF，證∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′?PB=12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB=12AC2＝1225，由y＝S△PA′②當(dāng)AP＝30時(shí)，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B=A'P2+PB2=50，由S△A′PB=12A′B?PF【解析】（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四邊形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四邊形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案為：CF、DE、DF；（2）連接OP，如圖2所示：∵AB是半圓O的直徑，PB=2PA∴∠APB＝90°，∠AOP=13×180°∴∠ABP＝30°，同（1）得：四邊形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32=在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43=CF+3解得：CF＝6﹣23；（3）①∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四邊形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴將△APE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如圖3所示：則A′、F、B三點(diǎn)共線，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′?PB=12x在Rt△ACB中，AC＝BC=22AB=2∴S△ACB=12AC2=12×∴y＝S△PA′B+S△ACB=12x（70﹣x）+1225=?12x②當(dāng)AP＝30時(shí)，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B=A'∵S△A′PB=12A′B?PF=12PB?∴12×50×PF=1解得：PF＝24，∴S四邊形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴當(dāng)AP＝30m時(shí)．室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形PEDF）的面積為576m2．44．（2020?北京）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ADC＝∠AOF；（2）若sinC=13，BD＝8，求【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOF＝∠B，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDO＝90°，等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到OE=12BD=12×8＝4，設(shè)OD＝x【解析】（1）連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝∠ADO+∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵OF∥BD，AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE=12BD∵sinC=OD∴設(shè)OD＝x，OC＝3x，∴OB＝x，∴CB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴OCBC∴3x4x∴OF＝6，∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．45．（2020?涼山州）如圖，AB是半圓AOB的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，AD平分∠BAC交半圓于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DH⊥AC與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．（1）求證：DH是半圓的切線；（2）若DH＝25，sin∠BAC=5【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAO＝∠ADO，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝∠OAD，等量代換得到∠CAD＝∠ADO，求得AH∥OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DH，于是得到結(jié)論；（2）連接BC交OD于E，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，推出四邊形CEDH是矩形，得到CE＝DH＝25，∠DEC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圓的切線；（2）解：連接BC交OD于E，∵AB是半圓AOB的直徑，∴∠ACB＝90°，∴四邊形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝25，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝45，∵sin∠BAC=BC∴AB＝12，即半圓的直徑為12．46．（2020?棗莊）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為4，CF＝6，求tan∠CBF．【分析】（1）連接AE，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF＝90°，于是得到結(jié)論；（2）過C作CH⊥BF于H，根據(jù)勾股定理得到BF=AF2?AB2【解析】（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠