基于近似擬牛頓近似擬牛頓法的超寬帶定向耦合器設計

1契比雪夫組合濾波器的設計在微波系統(tǒng)中，定向耦合器是一種廣泛使用的微波設備。例如，應該應用定向激勵裝置來表示測量網絡分析儀、功率合成和微波接收機中的混合頻率。近年來,隨著定向耦合器的廣泛應用,對其帶寬提出了更高的要求,因而需要對超寬帶定向耦合器進行設計。然而在設計中,涉及到求解1/4波長等效階梯阻抗濾波器的最優(yōu)等波紋多項式,即契比雪夫多項式。此求解過程是一個復雜的求一個非線性方程組的問題,帶寬越寬即階數越高,其求解越困難。針對這一問題,本文提出了一種可靠有效的近似擬牛頓法來求解契比雪夫多項式。并在文章最后給出了MicrowaveOffice仿真結果和實驗結果,驗證了此算法是一種可靠有效的算法。2階梯阻抗濾波器多節(jié)對稱平行耦合線定向耦合器的綜合,是以單節(jié)為基礎的,而單節(jié)是四端口網絡,不能直接應用雙端口網絡的綜合方法來綜合。單節(jié)定向耦合器與1/4波長階梯阻抗濾波器等效,而1/4波長階梯阻抗濾波器是個雙端口網絡,故可用1/4波長階梯阻抗濾波器作為多節(jié)定向耦合器的原型。對于單節(jié)平行耦合線定向耦合器,當其偶模阻抗Z0e為對特性阻抗Z0的歸一化值時,如果1/4波長階梯阻抗濾波器的歸一化阻抗Z1等于定向耦合器的歸一化偶模阻抗Z0e,則二者等效,奇模阻抗由Z0eZ0o=Z0算出。故1/4波長階梯阻抗濾波器可作為定向耦合器的原型。本文研究的主要是對稱多節(jié)定向耦合器,所以其節(jié)數n為奇數。綜合1/4波長階梯阻抗濾波器的方法為:先把各節(jié)的[A]矩陣乘起來,求出n節(jié)濾波器[A]矩陣,然后寫出它的插入衰減函數并用近似的契比雪夫或最平坦函數來逼近,最后由近似衰減函數綜合處各階梯阻抗來。以下是n節(jié)1/4波長階梯阻抗濾波器原型的[A]矩陣:式中,對于對稱結構的多節(jié)耦合線定向耦合器,A11=A22,則上式變?yōu)?可見,衰減函數中(A12-A21)2都可表示成sinθ的多項式,所以可有:在定向耦合器中,它的傳輸衰減函數與1/4波長階梯阻抗濾波器的衰減函數相同,耦合函數與反射函數相同。對于定向耦合器,通常要求在一定帶寬內,具有允許波紋,也就是具有允許波紋的所需衰減。因此有(x)契比雪夫多項式來逼近衰減函數,根據此衰減特性可以求得它的耦合特性。由于k=Г,故有:C=10lg|k|2=10lg|Г|2=10lg(1-|τl2)(4)同時,上式表明了衰減與耦合間的互換關系,式中C的值是負的。當衰減為零時,耦合為無窮大;衰減呈小波紋變化,故為契比雪夫耦合波紋的定向耦合器,即可作為定向耦合器的原型。3近似擬牛頓算法由上圖可知x1,x2是奇次多項式P5(x)一階導數的兩個零點,5階的契比雪夫多項式是p5(x)=c1(x1,x2)x+c3(x1,x2)x3+c5(x1,x2)x5。圖中p+和p-是等波紋的極限。Pn(1)依賴于n的值:pn(1)=p+當(n-1)/2是偶數時=p-當(n-l)/2是奇數時同理,對于多階奇次多項式有,cj是xi,(i=1～(n-1)/2)的函數,且當j是偶數時cj=0。把系數不為零的cj,(j=1～(n+1)/2)及多項式的零點xj,(i=1～(n-1)/2)作為方程組的n個未知數,當求解一個非線性方程組fi(x)=0,i=0,1,…n-1即可求出系數cj,方程組將由下給出。首先,有(n-1)/2個非線性方程:其次,有(n-1)/2個非線性方程:且A(δ)=10δ/10,A(C)=l0c/10,k=1～(n-1)/2本文采用擬牛頓法來求解上面的非線性方程組,其具體過程如下:設非線性方程組及初值如下給出:若X的第k次迭代近似值為:則k+1次迭代近似值為:其中F(X)為雅克比矩陣:一般的擬牛頓法要求雅克比矩陣,想要對高階非線性方程組求偏導數是一個很困難的問題,定向耦合器帶寬越寬,階數越高,求解越困難。因此本文使用了一種近似擬牛頓法,用差商代替雅克比矩陣中的偏導數。此法可以加快收斂速度,且節(jié)省計算量,其具體實現如下:其中,近似擬牛頓法求解非線性方程組的具體框圖如圖2所示?？驁D中的i,j=0,1,…,n-1。該算法通過求fi(xj)得到線性方程組的系數矩陣A,從而把求解非線性方程組問題轉變成求解一個線性方程組問題,且該算法中采用的是全選主元高斯消去法來求解線性方程組AZ=B。應用上面給出的近似擬牛頓法,計算出耦合度C=3DB,等波紋度δ=0.2DB的十九階定向耦合器的多項式P19(x),其曲線圖如圖3所示。由圖3可見,近似擬牛頓法能滿足超寬帶定向耦合器設計中契比雪夫多項式求解的精度要求。4實際九階定向耦合器電路測試本文通過這個九階的耦合度C=20DB,等波紋度δ=0.4DB,隔離度大于15DB的定向耦合器設計,在應用該近似擬牛頓法求解契比雪夫多項式的基礎上,計算得出最終的歸一化偶模阻抗計算值Z1=1.0089,Z2=1.0206,Z3=1.0416,Z4=1.0833,Z5=1.2297,其帶寬比B=f2/f1=11.593,分式帶寬W=1.6824。并根據以上歸一化偶模阻抗值計算出九階對稱定向耦合器各節(jié)的耦合微帶線寬度、縫隙寬度及1/4工作波長,在軟件MicrowaveOffice中作為初值進行優(yōu)化。最后本文利用優(yōu)化好的參數,畫出PCB板,制做成實際的九階定向耦合器電路。本文沒有對定向耦合器的設計進行任何修正。通過對實際電路的測試,它的實際特性基本符合設計要求。可見,該算法是實際可行的等波紋多項式求解的方法。5超寬帶定向耦合器設計的近似擬牛頓法根據上面的實例可以看出,該算法是一種可靠且有效的算法。如果在設計中考慮到各種損耗并加以修正的話,此算法能得到更高的精度