教材復習課“不等式”有關基礎知識一課過不等式、一元二次不等式[過雙基]1．兩個實數比較大小的方法－>0?>，abab(1)作差法a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<b；a>1?>∈R，>0，abbabaa＝ba∈R，b>0(2)作商法b＝1?，a<a∈R，b>0.b<1?ab2．不等式的性質對稱性：a>b?b<a；傳達性：a>b，b>c?a>c；可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；n可乘方性：a>b>0?a>b(n∈N，n≥1)；n可開方性：a>b>0?a>b(n∈N，n≥2)．3．三個“二次”間的關系鑒別式＝b2－4＞0＝0＜0ac二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程有兩相等實根x＝x＝有兩相異實根x，x122ax2＝0(a1＋＋＞b沒有實數根bxc120)的根(x＜x)－2a2＋＋＞0(a＞baxbxc{x|x>x或x<x}R2a0)的解集21ax2＋bx＋c＜0(a＞??{x|x1＜x＜x2}的解集[小題速通]1．若>>0，則以下不等式中恒成立的是()abbb＋111A.a>a＋1B．a＋a>b＋b112＋C．a＋b>b＋aD.a＋2b>b1111分析：選C由a>b>0?0<a<b?a＋b>b＋a，應選C.2．設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則()A．M>NB．M≥NC．M＜ND．M≤N分析：選A由題意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a1)2＋2>0恒成立，所以M>N.3．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集為xx＜－1或x＞21，則f(10x)＞0的解集為()A．{x|x＜－1或x＞lg2}B．{x|－1＜x＜lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}1x分析：選C一元二次不等式f(x)＞0的解集為xx＜－1或x＞2，則不等式f(10)＞0可化為10x＜－1或10x1x＞lg1x＞－lg2，所以所求不等式的解集為{|＞＞，解得，即22xxlg2}．4．不等式－6x2＋2＜x的解集是________．分析：不等式－6x2＋2＜x可化為6x2＋x－2＞0，即(3x＋2)(2x－1)＞0，1解不等式得x<－3或x>2，所以該不等式的解集是－∞，－2∪1，＋∞.321答案：－∞，－3∪2，＋∞[清易錯]1．在乘法法例中，要特別注意“乘數c的符號”，比如當c≠0時，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，>?ac2>2就是錯誤結論(當＝0時，取“＝”)．abbcc2．對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘掉議論a＝0時的情況．3．當<0時，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R仍是?，要注意差別a的符號．1．若(＋1)x2－(－1)x＋3(－1)<0對任何實數x恒成立，則實數m的取值范圍是mmm()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)1313C.－∞，－11D.－∞，－11∪(1，＋∞)分析：選C①當m＝－1時，不等式為2x－6<0，即x<3，不切合題意．②當≠－1時，則m＋1<0，解得<－13，切合題意．m<0，m11故實數m的取值范圍為13－∞，－11.2．對于實數a，b，c，有以下命題：①若a＞b，則ac＜bc；22②若ac＞bc，則a＞b；ab④若c＞a＞b＞0，則c－a＞c－b；11⑤若a＞b，a＞b，則a＞0，b＜0.此中真命題的序號是________．分析：當c＝0時，若a＞b，則ac＝bc，故①為假命題；若ac2＞bc2，則c≠0，c2＞0，故a＞b，故②為真命題；若a＜b＜0，則a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③為真命題；若c＞＞＞0，則c＜c，則c－a＜c－b，則a＞b，故④為真命題；abababc－ac－b1b－a若a＞b，a＞b，即ab>0，故ab＜0，則a＞0，b＜0，故⑤為真命題．故②③④⑤為真命題．答案：②③④⑤3．若不等式

ax2－bx＋c＜0

的解集是

(－2,3)

，則不等式

bx2＋ax＋c＜0

的解集是________．分析：∵不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，∴a＞0，且對應方程ax2－bx＋c＝0的實數根是－2和3，ca＝－2×3，由根與系數的關系，得ba＝－2＋3，cb即a＝－6，a＝1，cb＞0，且b＝1，b＝－6，22∴不等式bx＋ax＋c＜0可化為x＋x－6＜0，∴該不等式的解集為(－3,2)．答案：(－3,2)簡單的線性規(guī)劃問題[過雙基]1．一元二次不等式(組)表示的平面地區(qū)不等式表示地區(qū)＋＋＞0不包含界限直線AxByCAx＋By＋C≥0直線Ax＋By＋C＝0某一側包含界限直線的所有點構成的平面地區(qū)不等式組各個不等式所表示平面地區(qū)的公共部分2．線性規(guī)劃中的基本觀點名稱意義拘束條件由變量x，y構成的不等式(組)線性拘束條件由x，y的一次不等式(或方程)構成的不等式(組)目標函數對于x，y的函數分析式，如z＝2x＋3y等線性目標函數對于x，y的一次分析式可行解知足線性拘束條件的解(x，y)可行域所有可行解構成的會合最優(yōu)解使目標函數獲得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性拘束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題[小題速通]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在座標平面內表示的地區(qū)(用暗影部分表示)應是()x－2y＋1≥0，x－2y＋1≤0，分析：選C由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或結x＋y－3≤0x＋y－3≥0.合圖形可知選C.x＋3y≤3，．·全國卷Ⅰ)設x，y知足拘束條件x－y≥1，則z＝＋y的最大值為2(2017xy≥0，()A．0B．1C．2D．3分析：選D不等式組表示的可行域如圖中暗影部分所示，平移直線y＝－x，當直線經過點A(3,0)時，z＝x＋y獲得最大值，此時zmax＝3＋0＝3.≤1，y3xOy中，P為不等式組x＋y－2≥0，所表示的平面地區(qū)上．在平面直角坐標系x－y－1≤0一動點，則直線斜率的最大值為()OP1A．2B.31C.2D．1分析：選DP位于x＋y＝2，作出可行域如圖中暗影部分所示，當點的交點(1,1)y＝1時，(kOP)max＝1.y≥x，4z＝2xy，實數x，y知足x＋y≤2，且z的最大值是最小值的4倍，則．已知＋x≥m，m的值是()11A.4B.511C.6D.7分析：選A依據題意畫出以下圖的可行域如圖中暗影部分所示．平移直線l：2x＋y＝0，當l過點A(m，m)時z最小，過點B(1,1)時z最大，由題意知，1zmax＝4zmin，即3＝4×3m，解得m＝.4[清易錯]1．畫出平面地區(qū)．防止失誤的重要方法就是第一把二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)．2．線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不必定是獨一的，即可行域內使目標函數獲得最值的點不必定只有一個，也可能有無數多個，也可能沒有．xy≥0，實數

x，y知足

使z＝ax＋y獲得最大值的最優(yōu)解有

2個，則

z1＝ax＋y＋1|

x＋y|≤1，的最小值為

(

)A．0

B．－2C．1

D．－1分析：選

A

畫出不等式組所表示的可行域如圖中暗影部分所示，

∵z＝ax＋y獲得最大值的最優(yōu)解有

2個，∴－

a＝1，a＝－1，∴當

x＝1，y＝0

或

x＝0，y＝－1

時，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－

1，∴ax＋y＋1的最小值是

0.基本不等式[過雙基]a＋b1．基本不等式ab≤2基本不等式成立的條件：a>0，b>0.等號成立的條件：當且僅當a＝b.2．幾個重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；baa＋b≥2(a，b同號)；ab≤a＋b2(a，b∈R)；2(4)a＋b2a2＋b22≤2(a，b∈R)．3．算術均勻數與幾何均勻數設a＞0，b>0，則a，b的算術均勻數為a＋bab，基本不等式可表達為：2，幾何均勻數為兩個正數的算術均勻數不小于它們的幾何均勻數．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則假如xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2p(簡記：積定和最小)．(2)假如x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是q24(簡記：和定積最大)．[小題速通]1．若實數a，b知足1＋2＝，則的最小值為()abababA.2B．2C．22D．4分析：選C12ab，知a＞0，b＞0，由a＋b＝122所以ab＝a＋b≥2ab，即ab≥22，12當且僅當a＝b，42，b＝24即a＝2時取“＝”，12a＋b＝ab，所以ab的最小值為22.2．已知直線2＋by－2＝0(a＞0，＞0)過點(1,2)11，則＋的最小值是()axbabA．2B．3C．4D．1分析：選C由直線2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)過點(1,2)，可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1.11＝11(aabba1則＋＋＋)＝2＋＋≥2＋2×＝4，當且僅當＝＝時取等號．ababbbaabab211a＋b的最小值為4.3．已知x，y∈R且2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍為________．分析：依據題意知，2x＞0,2y＞0，x＋2y≥22xyx＋y，所以1＝2·2＝22即2x＋y≤14＝2－2，x＋y≤－2，所以x＋y的取值范圍為(－∞，－2]．答案：(－∞，－2][清易錯]1．求最值時要注意三點：一是各項為正；二是追求定值；三是考慮等號成立的條件．2．多次使用基本不等式時，易忽略取等號的條件的一致性．1．在以下函數中，最小值等于2的函數是()1A．y＝x＋xπB．y＝cosx＋cosx0<x<22x＋3x4D．y＝e＋x－2e1π分析：選D當x<0時，y＝x＋x≤－2，故A錯誤；因為0<x<2，所以0<cosx<1，所以y＝cosx＋1>2，故B錯誤；因為x2＋2≥2，所以y＝x2＋2＋1>2，故Ccosxx2＋2xx4x4x4x錯誤；因為e>0，所以y＝e＋ex－2≥2e·ex－2＝2，當且僅當e＝ex，即e＝2時等號成立，應選D.4＋44＋12．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，則ab的最小值為________．aba4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋111分析：因為ab>0，所以ab≥ab＝ab＝4ab＋ab≥24ab·ab＝4，a2＝2b2，a4＋4b4＋1當且僅當1時取等號，故ab的最小值是4.ab＝2答案：4一、選擇題1．(2018·洛陽統(tǒng)考

)已知

a<0，－1<b<0，那么(

)A．a>ab>ab2

B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2

D．ab>ab2>a分析：選D∵－1<b<0，∴b<b2<1，又a<0，∴ab>ab2>a.2．以下不等式中正確的選項是()A．若a∈R，則a2＋9>6aa＋bB．若a，b∈R，則ab≥2C．若a>0，b>0，則2lga＋ba＋lgb2≥lg21D．若x∈R，則x＋x2＋1>1分析：選C∵a2－6＋9＝(－3)2≥0，∴A錯誤；明顯B不正確；∵>0，>0，∴a＋baaab2a＋b21≥ab.∴2lg2≥2lgab＝lg(ab)＝lga＋lgb，∴C正確；∵當x＝0時，x＋x2＋1＝1，∴D錯誤，應選C.3．若角α，β知足－π2<α<β<π，則α－β的取值范圍是()3π3π3πA.－2，2B.－2，0C.0，3πD.－π，022ππ分析：選B∵－2<α<π，－2<β<π，π3π3π∴－π<－β<2，∴－2<α－β<2.3π又∵α<β，∴α－β<0，從而－2<α－β<0.221221＝15，則a＝()4．若對于x的不等式x－2ax－8a<0(a>0)的解集為(x，x)，且x－x57A.2B.21515C.4D.2分析：選A由條件知x，x22x＋x＝2a，12121222－x1)21221222225xx＝－8a，故(x＝(x＋x)－4xx＝(2a)－4×(－8a)＝36a＝15，解得a＝2.y≤－x＋2，5．不等式組y≤x－1，所表示的平面地區(qū)的面積為()y≥01A．1B.211C.3D.4分析：選D作出不等式組對應的地區(qū)為△BCD，由題意知xB＝1，xC＝2.由y＝－x＋2，D1△BCD111y＝x－1，得y＝2，所以S＝2×(2－1)×2＝4.6．(2018·成都一診)已知x，y∈(0，＋∞)，且logx＋log11xy22()A．4B．3C．2D．111＋y2xy2xy，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號．∵log2x＋log2y＝分析：選Dx＋y＝xy≥xy＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.11211∴x＋y≥xy＝1.故x＋y的最小值為1.3x＋y－6≥0，7x，y知足拘束條件x－y－2≤0，則目標函數z＝y(tǒng)－2x的最小值為．設變量y－3≤0，()A．－7B．－4C．1D．2分析：選A法一：將z＝－2x化為y＝2＋，作出可行域和直線y＝2x(以下圖)，yxz當直線y＝2x＋z向右下方平移時，直線y＝2x＋z在y軸上的截距z減小，數形聯(lián)合知當直線y＝2x＋z經過點A(5，3)時，z獲得最小值3－10＝－7.法二：易知平面地區(qū)的三個極點坐標分別為(1,3)，(2,0)，(5,3)，分別代入z＝y(tǒng)BCA－2x，得z的值為1，－4，－7，故z的最小值為－7.xy8．(2017·山東高考改編)若直線a＋b＝1(a＞0，b＞0)過點(1,2)，則2a＋b的最小值為()A．4B．3＋22C．8D．42xya＞0，b＞0)分析：選C∵直線a＋b＝1(過點(1,2)，2a＋b＝1，∵a＞0，b＞0，22a＋b＝(2a＋b)a＋bb4ab4a＝4＋a＋b≥4＋2a·b＝8，當且僅當b4a＝2，＝4時等號成立，＝，即abab∴2a＋b的最小值為8.二、填空題9．(2018·沈陽模擬)已知實數x，y知足x2＋y2－xy＝1，則x＋y的最大值為________．分析：因為x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy.所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×x＋y2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，22即(x＋y)≤4，解得－2≤x＋y≤2.答案：210．(2017·鄭州二模)某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b知足不等2a－b≥5，式組a－b≤2，設這所學校今年計劃招聘教師最多x名，則x＝________.a＜7，分析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中暗影部分所示，作直線l：b＋a＝0，平移直線l，再由a，b∈N，可知當a＝6，＝7時，招聘的教師最多，此時x＝＋＝13.bab答案：1311．一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，則這個矩形的長為________m，寬為________m時菜園面積最大．11x＋2y分析：設矩形的長為xm，寬為ym．則x＋2y＝30，所以S＝xy＝2x·(2y)≤22222515＝2，當且僅當x＝2y，即x＝15，y＝2時取等號．答案：15

152x＋y－3≥0，12．(2018·邯鄲質檢)若不等式組y≤kx＋3，表示的平面地區(qū)為一個銳角三角0≤x≤3形及其內部，則實數

k的取值范圍是

________．分析：直線

y＝kx＋3恒過定點

(0,3)

，作出不等式組表示的可行域知，

要使可行域為一個銳角三角形及其內部，需要直線

y＝kx＋3的斜率在

0與

1之間，即

k∈(0,1)

．答案：(0,1)三、解答題13．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.解對于a的不等式f(1)>0；若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，務實數a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，∴原不等式可化為a2－6a－3<0，解得3－23<a<3＋23.∴原不等式的解集為{a|3－23<a<3＋23}．f(x)>b的解集為(－1,3)等價于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，a6－a－1＋3＝，3，3a＝3±故解得6－b，b＝－3.－1×3＝－314．(2018·濟南一模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求u＝lgx＋lgy的最大值；1求x＋y的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，即xy≤10，當且僅當2x＝5y時等號成立．所以有2x＋5y＝20，x＝5，解得2x＝5y，y＝2，此時xy有最大值10.u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴當x＝5，y＝2時，u＝lgx＋lgy有最大值1.11112＋5y15y2x15y2x(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝x＋y7＋x＋y≥207＋2·20＝20x·y＝7＋21020，5y2x當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．117＋210.∴x＋y的最小值為20高考研究課一不等式性質、一元二次不等式[全國卷5年命題剖析]考點考察頻度考察角度不等式性質5年2考比較大小一元二次不等式解法5年8考與會合交匯命題考察解法不等式恒成立問題5年1考利用不等式恒成立求參數不等式的性質及應用利用不等式性質比較大小或判斷命題真假，一般直接利用性質推導或特別值法考證.1111112[典例]若a<b<0，給出以下不等式：①a＋b<ab；②|a|＋b>0；③a－a>b－b；④lna>lnb2.此中正確的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④[分析]法一：用“特值法”解題11因為a<b<0，故可取a＝－1，b＝－2.明顯|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯誤；因為lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④錯誤，綜上所述，可清除A、B、D，選C.法二：用“直接法”解題11由a<b<0，可知b<a<0.11①中，因為a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，故①正確；②中，因為<<0，所以－b>－>0.故－b>||，即||＋<0，故②錯誤；baaaab③中，因為111111<<0，又<<0，則－>－b>0，所以－>－，故③正確；baabaaabb④中，因為b<a<0，依據y＝x2在(－∞，0)上為減函數，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數，所以lnb2>lna2，故④錯誤．由以上剖析，知①③正確．[答案]C[方法技巧]不等式性質應用問題的3大常有種類及解題策略利用不等式性質比較大小熟記不等式性質的條件和結論是基礎，靈巧運用是要點，要注意不等式性質成立的前提條件．與充要條件相聯(lián)合問題用不等式的性質分別判斷p?q和q?p能否正確，要注意特別值法的應用．與命題真假判斷相聯(lián)合問題解決此類問題除依據不等式的性質求解外，還常常采納特別值考證的方法．[即時操練]111．(2018·泰安調研)設a，b∈R，若p：a<b，q：b<a<0，則p是q的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件1111分析：選B當a<b時，b<a<0不必定成立；當b<a<0時，a<b<0.綜上可得，p是q的必要不充分條件．2．若a＜b＜0，給出以下不等式：①22－a|＞|b－1|；③1＞1＞1，a＋1＞b；②|1＋abab此中正確的個數是()A．0B．1C．2D．3分析：選D因為a＜＜0，所以－a＞－＞0，則1－＞1－＞1，所以①a2＋1＞2bbabb正確；②|1－|＞|－1|正確；因為a＜＜0，所以＋＜＜＜0，所以③1＞1＞1正abbababa＋bab確，應選D.3．已知＋>0，則ab112＋2與＋的大小關系是________．abbaabab11－bb－a11a＋b－b2分析：b2＋a2－a＋b＝b2＋a2＝(a－b)·b2－a2＝a2b2.∵a＋b>0，(a－b)2≥0，a＋ba－b2∴a2b2≥0.ab11b2＋a2≥a＋b.ab11答案：b2＋a2≥a＋b一元二次不等式的解法[典例]解以下不等式：－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[解](1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.4解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集為x－2≤≤4.x3(2)原不等式等價于x2－x－2＞0，x2－x－2＞0，x2－x－2≤4?x2－x－6≤0x－2x＋1＞0，x＞2或x＜－1，?x＋2≤0?x－3－2≤x≤3.借助于數軸，以下圖，故原不等式的解集為{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}.原不等式變成(ax－1)(x－1)＜0，1因為a＞0，所以ax－a(x－1)＜0.1所以當a＞1時，解為a＜x＜1；當a＝1時，解集為

?；當0＜a＜1時，解為

11＜x＜a.1綜上，當

0＜a＜1時，不等式的解集為

x1＜x＜a

；a1

?1當a＞1時，不等式的解集為

xa＜x＜1

.[方法技巧]解一元二次不等式的4個步驟[即時操練]1．若(x－1)(x－2)＜2，則(x＋1)(x－3)的取值范圍是()A．(0,3)B．[－4，－3)C．[－4,0)D．(－3,4]分析：選C解不等式(x－1)(x－2)＜2，可得0＜x＜3，(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，由二次函數的性質可得(x＋1)(－3)的取值范圍是[－4,0)．x2．(2018·昆明、玉溪統(tǒng)考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集為()A．{x|－2<x<1}B．{x|x<－2或x>1}C．{x|0<x<3}D．{x|x<0或x>3}分析：選C由題意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0①，又不等式

ax2＋bx＋c>0的解集為

{x|

－1<x<2}，則

a<0，且－1,2

分別為方程

ax2＋bx＋c＝0的兩根，bb由根與系數的關系得－1＋2＝－a，即a＝－1，②，cc－1×2＝a，a＝－22bcb將①兩邊同除以a得x＋a－2x＋1＋a－a<0，將②代入得x2－3<0，解得0<<3.xx一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著親密的聯(lián)系.在解決詳細的數學識題時，要注意三者之間的互相聯(lián)系，并在必定條件下互相變換.對于一元二次不等式恒成立問題，常依據二次函數圖象與x軸的交點狀況確立鑒別式的符號，從而求出參數的取值范圍.,常有的命題角度有：1形如fx≥0≤0x∈R確立參數的范圍；2形如fx≥0≤0x∈[，b]確立參數范圍；a3形如fx≥0≤0參數m∈[a，b]確立x的范圍.角度一：形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)確立參數的范圍1．(2018·南昌一模)已知函數f(x)＝2－2x－＋1，能否存在實數對所有的實數x，mxmmf(x)<0恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明原因．解：f(x)＝mx2－2x－m＋1＜0恒成立，2即函數f(x)＝mx－2x－m＋1的圖象所有在x軸下方．1當m＝0時，1－2x＜0，則x＞2，不知足題意；2當m≠0時，函數f(x)＝mx－2x－m＋1為二次函數，2需知足張口向下且方程mx－2x－m＋1＝0無解，m＜0，即4－4m1－m＜0，不等式組的解集為空集，即m無解．綜上可知不存在這樣的m.[方法技巧]對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上所有在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上所有在x軸下方．角度二：形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])確立參數的范圍2．(2018·西安八校聯(lián)考2)設函數f(x)＝mx－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，則2－＋－＜，即mx－12＋3－＜0在x∈[1,3]上恒成立．mxmxm6024m6有以下兩種方法：法一：令g(x)＝mx－12＋3－，∈[1,3]．24m6x當m＞0時，g(x)在[1,3]上是增函數，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以66＜，則0＜＜.m7m7當m＜0時，g(x)在[1,3]上是減函數，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，則m＜0.6綜上所述，m的取值范圍是(－∞，0)∪0，7.2123法二：因為x－x＋1＝x－＋＞0，又因為m(x2－x＋1)－6＜0，6所以m＜x2－x＋1.因為函數y＝26＝6在[1,3]上的最小值為6，所以只需m＜6即可．x－x＋112377x－2＋46因為m≠0，所以m的取值范圍是(－∞，0)∪0，7.[方法技巧]解決一元二次不等式的恒成立問題常轉變成求二次函數的最值或用分別參數法求最值．角度三：形如f(x)≥0(≤0)(參數∈[a，])確立x的范圍mb3．對隨意m∈[－1,1]，函數f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m≥0恒成立，求x的取值范圍．解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，∴1＝x－2＋x2－4x＋4>0，g解得x<1或x>3.故當x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)時，對隨意的∈[－1,1]，函數f(x)的值恒大于零．m[方法技巧]解決恒成立問題必定要清楚選誰為主元，誰是參數．一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數．即把變元與參數互換地點，結構以參數為變量的函數，根據原變量的取值范圍列式求解．1．(2014·全國卷Ⅰ)已知會合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，則A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)分析：選A＝{x|x≤－1或x≥3}，故∩＝[－2，－1]．AAB2．(2014·全國卷Ⅱ)設會合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則M∩N＝()A．{1}B．{2}C．{0,1}D．{1,2}分析：選DN＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．3．(2012·全國卷)已知會合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，則()A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝?分析：選BA＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，＝{x|－1<<1}，所以.BxBA一、選擇題1．(2018·唐山一模)以下命題中，正確的選項是()A．若a>b，c>d，則ac>bdB．若ac>bc，則a>b11C．若a<b<0，則|a|＋b<0D．若a>b，c>d，則a－c>b－d分析：選C取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯誤；當c<0時，ac>bc?a<b，11<0，可知<<0，所以－>－>0，故－>||，即||＋<0，故C正確；取∴B錯誤；由<abbababaaba＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯誤．2．(2017·山東高考)若>>0，且ab＝1，則以下不等式成立的是()ab1bA．a＋<a<log2(a＋b)b2b1B.2a<log2(a＋b)<a＋b1bC．a＋b<log2(a＋b)<2abD．log2(a＋b)<a＋b<2a1分析：選B依據題意，令a＝2，b＝2進行考證，易知1b1，log(＋)＝log5＋＝4，2＝>1，22a1b所以a＋b>log2(a＋b)>2a.3．已知會合M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|m<x<8}，若M∩N＝{x|6<x<n}，則m＋n＝()A．10B．12C．14D．16分析：選C∵M＝{x|x2－4x>0}＝{x|x>4或x<0}，N＝{x|m<x<8}，因為M∩N＝{x|6<x<n}，∴m＝6，n＝8，∴m＋n＝14.24．(2018·重慶檢測)不等式x＋1<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,1)221－x(x＋1)(x－1)>0，分析：選A∵x＋1<1，∴x＋1－1<0，即x＋1<0，該不等式可化為x<－1或x>1.5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數y＝f(－x)的圖象為()分析：選B由根與系數的關系得1c＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x)aa＝－x2－x＋2(經查驗知知足題意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其圖象張口向下，對稱軸為x1B.＝，聯(lián)合圖象知選2236．(2018·合肥一模)若不等式2kx＋kx－8<0對一確實數x都成立，則k的取值范圍為()A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0]23分析：選D當k＝0時，明顯成立；當k≠0時，即一元二次不等式2kx＋kx－8<0對一確實數x都成立，<0，則＝2－4×2×－3<0，解得－3<k<0.kk8綜上，知足不等式232kx＋kx－<0對一確實數x都成立的k的取值范圍是(－3,0]．87．若不等式x2－(＋1)x＋≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是()aaA．[－4,1]B．[－4,3]C．[1,3]D．[－1,3]分析：選B原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當a<1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當a＝1時，不等式的解為x＝1，此時切合要求；當a>1時，不等式的解集為[1，a]，此時只需a≤3即可，即1<a≤3.綜上可得－4≤a≤3.8．某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每日可銷售100件，現(xiàn)準備采用提升售價來增添收益．已知這種商品每件銷售價提升1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每日所賺的收益在320元以上，銷售價每件應定為()A．12元B．16元C．12元到16元之間D．10元到14元之間分析：選C設銷售價定為每件x元，收益為y，則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依題意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件銷售價應為12元到16元之間．二、填空題9．(2018·武漢一模)已知存在實數a知足ab2>a>ab，則實數b的取值范圍是__________．分析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，當a>0時，b2>1>b，b2>1，即解得b<－1；b<1，當a<0時，b2<1<b，b2<1，即此式無解．b>1，綜上可得實數b的取值范圍為(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．(2018·河南六市一聯(lián))不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實數a的取值范圍是________．分析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴＝a2－4×4>0，即a2>16.a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)x2＋ax，x≥0，11．已知函數f(x)＝2－3，x<0為奇函數，則不等式f(x)<4的解集為________．bxx分析：當x>0時，－x<0，即f(－x)＝bx2＋3x，因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，即－bx2－3xx2axa＝－3，＝－1，所以f()＝x2－3x，x≥0，x＝＋，可得－x2－3x，x<0.當≥0bx時，由x2－3x<4，解得0≤x<4；當x<0時，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集為(－∞，4)．答案：(－∞，4)12．對一確實數x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是________．11分析：當x＝0時，不等式恒成立，當x≠0時，將問題轉變成－a≤|x|＋|x|，由|x|＋|x|≥2，故－a≤2，即a≥－2.所以實數a的取值范圍為[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)三、解答題13．已知a∈R，解對于x的方程ax2－(a＋2)x＋2＜0.解：原不等式等價于(ax－2)(x－1)＜0.當a＝0時，原不等式為－(x－1)＜0，解得x＞1.即原不等式的解集為(1，＋∞)．2(2)若a＞0，則原不等式可化為x－a(x－1)＜0，2對應方程的根為x＝1或x＝.a當2＞1，即0＜a＜2時，不等式的解為1＜x＜2；aa當a＝2時，不等式的解集為?；當2＜1，即＞2時，不等式的解為2＜x＜1.aaa2(3)若a＜0，則原不等式可化為x－a(x－1)＞0，22所以a＜1，所以不等式的解為x＞1或x＜a.綜上，當a＝0時，不等式的解集為(1，＋∞)．當0＜＜2時，不等式的解集為21，.aa當a＝2時，不等式的解集為?.當a＞2時，不等式的解集為2，1.a當a＜0時，不等式的解集為2－∞，a∪(1，＋∞)．14．某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．今年度為適應市場需求，計劃提升產質量量，適量增添投入成本．若每輛車投入成本增添的比率為x(0<x<1)，則出廠價相應地提升比率為0.75x，同時估計年銷售量增添的比率為0.6x，已知年收益＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．(1)寫出今年度估計的年收益y與投入成本增添的比率x的關系式；(2)為使今年度的年收益比上年度有所增添，則投入成本增添的比率x應在什么范圍內？解：(1)由題意得，y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1)．要保證今年度的年收益比上年度有所增添，y－12－10×10000>0，一定有0<x<1，即－6000x2＋2000x>0，解得0<x<1，0<x<1，31所以投入成本增添的比率應在0，3范圍內．2kx15．已知函數f(x)＝x2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集為{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式2＞0的解集；5mx＋kx＋3若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范圍．2kx2解：(1)由不等式f(x)＞m?x2＋6k＞m?mx－2kx＋6km＜0，∵不等式mx2－2kx＋6km＜0的解集為{x|x＜－3或x＞－2}，∴－3，－2是方程mx2－2kx＋6km＝0的根，2k＝－5，k＝1，22∴m解得2－x－3＜0?－1＜x＜，故有5mx＋kx＋3＞0?2x6k＝6，m＝－532，∴不等式52＋kx＋3＞0的解集為3mx－1，.2(2)()＞1?2kx＞1?2－2＋6＜0?(2－6)＞2f2xkkx.xx＋6kkxxx2存在x＞3，使得f(x)＞1成立，即存在x＞3，使得k＞2x－6成立．令()＝x2，∈(3，＋∞)，則k＞()min.gx2x－6xgxt＋62令2x－6＝t，則x＝t＋6，則t∈(0，＋∞)，y＝2t9t92t＝4＋t＋3≥24·t＋3＝6，t9，即t＝6時等號成立．當且僅當4＝t當t＝6時，x＝6，∴g(x)min＝g(6)＝6，故k的取值范圍為(6，＋∞)．1．已知函數f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]，若對于x的不等式f(x)＞c－1的解集為(m－4，m＋1)，則實數c的值為________．分析：∵函數f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]，∴＝a2＋4b＝0，a2∴b＝－4.∵對于x的不等式f(x)＞c－1的解集為(m－4，m＋1)，∴方程f(x)＝c－1的兩根分別為m－4，m＋1，－a2即－x2＋ax＝－1的兩根分別為－4，＋1，4cmm2a2a∵－x＋ax－4＝c－1的根為x＝2±1－c，∴兩根之差為：21－c＝(m＋1)－(m－4)，21解得c＝－4.21答案：－4xy＋2z＝1，2．已知實數x，y，z知足x2＋y2＋z2＝5，則xyz的最小值為________．1－xy分析：由xy＋2z＝1，可得z＝，21－xy21－xy2則22＋xy|＋.5＝x＋y2≥2|4當xy≥0時，不等式可化為22＋6－19≤0；xyxy當xy<0時，不等式可化為x2y2－10xy－19≤0.由x2y2＋6xy－19≤0，解得0≤xy≤－3＋27.由x2y2－10xy－19≤0，解得5－211≤xy<0，所以5－211≤xy≤－3＋27.則xyz＝xy·1－xy＝－1xy－12＋1，2228依據二次函數的單一性可適當xy＝5－211時，xyz獲得最小值為911－32.答案：911－32高考研究課

(二)簡單的線性規(guī)劃問題[全國卷

5年命題剖析

]考點線性規(guī)劃求最值

考察頻度5年10考

考察角度求最大值、最小值線性規(guī)劃實質應用5年1考實質應用(整點)二元一次不等式(組)表示平面地區(qū)x＋y≥2，[典例](1)不等式組2x－y≤4，x－y≥0A．32C．6x＋y－1≤0，已知不等式組x－y＋1≥0，y≥0

所圍成的平面地區(qū)的面積為()B．62D．3表示的平面地區(qū)被直線2x＋y－k＝0均分紅面積相等的兩部分，則實數k的值為________．[分析](1)如圖，不等式組所圍成的平面地區(qū)為△ABC，此中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面地區(qū)的面積為1＝3.ABOACOS△－S△＝2(2×4－2×1)(2)畫出可行域如圖中暗影部分所示，其面積為12x＋y－k×1×(1＋1)＝1，可知直線2＝0與A，B的坐標分別為k－1k＋2k2x＋y－k＝0把地區(qū)界限的交點，及，0，要使直線3321kk＋21k＝6－2.地區(qū)分紅面積相等的兩部分，必有×＋1×＝，解得2232[答案](1)D(2)6－2[方法技巧]確立二元一次不等式表示平面地區(qū)的方法與技巧直線即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直定界限畫成實線特別即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側取一個特別點(x0，y0)作為測試點代入點定不等式查驗，若知足不等式，則表示的就是包含該點的這一側，不然就域表示直線的另一側．常選(0,0)，(1,0)或(0,1)點[即時操練]x≥0，1．在平面直角坐標系中，

不等式組

x＋y≤2，

所表示的平面地區(qū)的面積為

(

)x≤yA．1

B．2C．4

D．8分析：選

A

作出不等式組所表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，

A(1,1)

，B(0,2)

，則平面地區(qū)的面積為＝

12×2×1＝1.x>0，2．不等式組y>0，所表示的平面地區(qū)內的整點個數為()2x＋y<6A．2B．3C．4D．5分析：選C由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，則當x＝1時，0<y<4，則y＝1,2,3，此時整點有(1,1)，(1,2)，(1,3)；當x＝2時，0<y<2，則y＝1，此時整點有(2,1)；當x＝3時，y無解．故平面地區(qū)內的整點個數為4.y≥0，3．在直角坐標系中，若不等式組≤2，表示一個三角形地區(qū)，則實yxy≤kx－1－1，數k的取值范圍是

(

)A．(－∞，－

1)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)分析：選A直線y＝k(x－1)－1過定點A(1，－1)．當這條直線的斜率為負值時，如圖1所示，若不等式組表示一個三角形地區(qū)，則該直線的斜率

k∈(－∞，－

1)；當這條直線的斜率為正當時，如圖2所示，y≤k(x－1)－1所表示的地區(qū)是直線右下方的半平面，這個地區(qū)和此外兩個半平面的交集是一個無界地區(qū)，此k的取值范圍是(－∞，－1)．

y＝k(x－1)－1及其不可以構成三角形．因目標函數最值的求法及應用線性規(guī)劃問題是高考的要點，而線性規(guī)劃問題擁有代數和幾何的兩重形式，多與函數、平面向量、數列、三角、概率、分析幾何等問題交錯浸透，自然地交融在一同，使數學識題的解答變得更為新奇新奇.,常有的命題角度有：求線性目標函數的最值；求非線性目標函數的最值；求線性規(guī)劃中的參數值或范圍；線性規(guī)劃的實質應用.角度一：求線性目標函數的最值2x＋3y－3≤0，．(2017·全國卷Ⅱ)設x，y知足拘束條件2x－3y＋3≥0，則z＝2x＋y的最小1y＋3≥0，值是()A．－15B．－9C．1D．9分析：選A法一：作出不等式組表示的可行域如圖中暗影部分所示．易求得可行域的極點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當直線z＝2x＋y過點B(－6，－3)時，z獲得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域極點A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分別代入目標函數，求出對應的z的值挨次為1，－15,9，故最小值為－15.角度二：非線性目標函數的最值3x＋y＋3≥0，2．(2018·太原一模)已知實數x，y知足拘束條件2x－y＋2≤0，則z＝x2＋y2x＋2y－4≤0，的取值范圍為()A．[1,13]B．[1,4]44C.5，13D.5，4分析：選C畫出不等式組表示的平面地區(qū)，如圖中暗影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點O到直線：2x－＋2＝0的距離的平方，所以zmin＝22＝4，最大值為點BCy55O與點A(－2,3)的距離的平方，zmax＝|OA|2＝(－2)2＋32＝13.2x－y－1≥0，2x－y的最大值為．假如實數x，y知足2x＋y－4≤0，則z＝________．3xy－1≥0，分析：作出不等式組對應的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，2x－yyz＝x＝2－x.y設k＝x，則z＝2－k，的幾何意義是地區(qū)內的點到原點的斜率，要求z＝2－k的最大值，即求k的最小值，由圖象知OC的斜率最小，－1＝0，3由y得x＝2，即C3，1，2x＋y－4＝0，y＝1，21224則k＝3＝3，所以zmax＝2－3＝3.24答案：3角度三：求線性規(guī)劃中參數值或范圍x＋2y－5≥0，4．已知實數x，y知足x－3＋5≥0，若目標函數17倍與yz＝3x＋y的最小值的kx－y－5k≤0，z2＝x＋7y的最大值相等，則實數k的值為()A．2B．1C．－1D．－2分析：選A作出不等式組所表示的可行域如圖中暗影部分所示，由圖知，當z1＝3x＋y過點A時取x＋2y－5＝0，x＝1，即(1,2)，所以z1＝3xy5，得最小值，由解得＋的最小值為x－3y＋5＝0，y＝2，A故z2＝x＋7y的最大值為35，由圖知z2＝x＋7y過點B時獲得最大值．由x＋7y＝35，x－3＋5＝0，yx＝7，解得代入kx－y－5k＝0，得k＝2.y＝4，x＋y≥1，．·漢中質檢)若x，y知足拘束條件x－y≥－1，且目標函數z＝ax＋2y5(20182x－y≤2，僅在點(1,0)處獲得最小值，則a的取值范圍是()A．[－4,2]B．(－4,2)C．[－4,1]D．(－4,1)分析：選

B

作出不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，直線

z＝ax＋2y的斜率為

ka

a＝－2，從圖中能夠看出，當－

1＜－2＜2，即－4＜a＜2

時，目標函數僅在點

(1,0)

處獲得最小值．角度四：線性規(guī)劃的實質應用6．(2016·天津高考)某化肥廠生產甲、乙兩種混淆肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數以下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸．在此基礎上生產甲、乙兩種肥料．已知生產1車皮甲種肥料，產生的收益為2萬元；生產1車皮乙種肥料，產生的收益為3萬元．分別用x，y表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數．用x，y列出知足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面地區(qū)；問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的收益？并求出此最大收益．解：4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，(1)由已知，x，y知足的數學關系式為3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.該二元一次不等式組所表示的平面地區(qū)為圖①中的暗影部分．(2)設收益為z萬元，則目標函數為z＝2x＋3y.考慮

z＝2x＋3y，將它變形為

2zy＝－3x＋3，它的圖象是斜率為－

23，隨

z變化的一族平z行直線，

3為直線在zy軸上的截距，當3取最大值時，z的值最大．依據x，y知足的拘束條件，由圖②可知，當直線z＝2＋3y經過可行域上的點時，截距z最大，即z最大．xM34x＋5y＝200，的坐標為(20,24)解方程組3＋10得點，y＝300，Mx所以zmax＝2×20＋3×24＝112.答：生產甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時收益最大，且最大收益為112萬元．[方法技巧]1．求目標函數的最值3步驟作圖——畫出拘束條件所確立的平面地區(qū)和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；平移——將l平行挪動，以確立最優(yōu)解的對應點的地點；求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數，即可求出最值．2．常有的3類目標函數(1)截距型：形如z＝ax＋by.az求這種目標函數的最值常將函數

z＝ax＋by轉變成直線的斜截式：

y＝－bx＋b，經過求z直線的截距b的最值間接求出z的最值．距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.y－b斜率型：形如z＝x－a.3．解答線性規(guī)劃實質問題的3步驟依據題意設出變量，找出拘束條件和目標函數；正確作出可行域，求出最優(yōu)解；將求解出來的結論反應到實質問題中間，設計最正確方案．[提示]注意轉變的等價性及幾何意義．x＋y≥1，1．(2014·全國卷Ⅰ)不等式組的解集記為D.有下邊四個命題：x－2y≤4p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.此中真命題是()A．p2，p3

B．p1，p4C．p1，p2

D．p1，p3分析：選

C畫出可行域如圖中暗影部分所示，由圖可知，當目標函數

z＝x＋2y

經過可行域內的點

A(2，－1)時，獲得最小值

0，故

x＋2y≥0，所以

p1，p2是真命題，選

C.x＋2y≤1，．·全國卷Ⅰ)設，y知足拘束條件2x＋y≥－1，則z＝3x－2y的最小值2(2017xx－y≤0，為________．分析：x＋2y≤1，畫出不等式組2x＋y≥－1，x－y≤03z所表示的可行域如圖中暗影部分所示，由可行域知，當直線y＝2x－2過點A時，在yz最小，由x＋2y＝1，x＝－1，軸上的截距最大，此時解得y＝1.2x＋y＝－1，∴zmin＝－5.答案：－5x－y≥0，．·全國卷Ⅲ)若，y知足拘束條件x＋y－2≤0，則z＝3x－4y的最小值3(2017xy≥0，為________．分析：作出拘束條件表示的可行域如圖中暗影部分所示，作出直線

l：3x－4y＝0，平移直線

l

，當直線

z＝3x－4y經過點

A(1,1)

時，z獲得最小值，最小值為

3－4＝－1.答案：－1x－y＋1≥0，4．(2016·全國卷Ⅲ)若x，y知足拘束條件x－2≤0，則z＝x＋y的最大值yx＋2y－2≤0，為________．分析：作出不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示．平移直線x＋y＝0，當直線經過A點時，z獲得最大值，x－2＝0，113由x＋2y－2＝0得A1，2，zmax＝1＋2＝2.3答案：2x－1≥0，則y5．(2015·全國卷Ⅰ)若x，y知足拘束條件x－y≤0，的最大值為x＋y－4≤0，x________．y分析：畫出可行域如圖暗影部分所示，∵x表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，y∴點(x，y)在點A處時x最大．由

x＝1，x＋y－4＝0，

得

x＝1，y＝3.A(1,3)．yx的最大值為3.答案：36．(2016·全國卷Ⅰ

)某高科技公司生產產品

A和產品

B需要甲、乙兩種新式資料．生產一件產品

A需要甲資料

1.5kg

，乙資料

1kg

，用

5個工時；生產一件產品

B需要甲資料0.5kg，乙資料0.3kg，用

3個工時．生產一件產品

A的收益為

2100元，生產一件產品

B的收益為

900元．該公司現(xiàn)有甲資料

150kg

，乙資料

90kg

，則在不超出

600個工時的條件下，生產產品

A、產品

B的收益之和的最大值為

________元．分析：設生產

A產品

x件，B產品

y件，由已知可得拘束條件為1.5x＋0.5y≤150，

3x＋y≤300，x＋0.3

y≤90，

10x＋3y≤900，即5x＋3y≤600，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N.x∈N，y∈N.目標函數為z＝2100x＋900y，由拘束條件作出不等式組表示的可行域如圖中暗影部分．作直線2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，當直線經過點M時，z獲得最大值，聯(lián)立10x＋3y＝900，解得M(60,100)．5x＋3y＝600，則z＝2100×60＋900×100＝216000(元)．max答案：216000一、選擇題x＋y≥1，1O為坐標原點，實數x，y知足條件x－y≥－1，在可行域內任取一點P(x，．若2－y≤2，xy)，則|OP|的最小值為()A．1B.323C.2D.2分析：選C作出不等式組所表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，可知|OP|的最小值為點O到直線x＋y＝1的距離，所以|OP|的最小值為22.x－y＋3≤0，．·山東高考)已知，知足拘束條件3x＋y＋5≤0，則z＝x＋2y的最大2(2017xy＋3≥0，x值是()A．0B．2C．5D．6xz分析：選C作出知足拘束條件的可行域如圖中暗影部分所示，將直線y＝－2＋2進行3x＋y＋5＝0，x＝－3，即A(－平移，明顯當該直線過點A時z獲得最大值，由解得y＝4，x＋3＝0，3,4)，所以z＝－3＋8＝5.max2－y≤0，x3．已知x，y知足x－3y＋5≥0，則z＝8－x1y的最小值為()x≥0，·2y≥0，32A．1B.411C.16D.32分析：選D不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，而z＝8－x·1y＝2－3x－y，2欲使z最小，只需使－3－y最小即可．由圖知當x＝1，＝2時，－3－y的值最小，且－xyx3×1－2＝－5，此時2－3x－y最小，最小值為1.32x≥0，．(2017·浙江高考)若x，y知足拘束條件x＋y－3≥0，則z＝x＋2y的取值范4x－2≤0，y圍是()A．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)分析：1選

D

作出不等式組所表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，由

z＝x＋2y，得

y＝－2xz＋，2z1z1zz∴2是直線y＝－2x＋2在y軸上的截距，依據圖形知，當直線y＝－2x＋2過A點時，2取得最小值．由x－2y＝0，得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此時，z＝4，∴z＝x＋y的取x＋y－3＝0，值范圍是[4，＋∞)．x＋y≤1，5表示的平面地區(qū)為My＝kx－3k與平面區(qū)．已知不等式組x－y≥－1，，若直線y≥0域M有公共點，則k的取值范圍是()A.－1，0B.－∞，13311C.0，3D.－∞，－3分析：選A畫出可行域如圖中暗影部分所示，因為直線y＝kx－3k過定點(3,0)，聯(lián)合圖形0－111可知該直線的斜率的最大值為k＝0，最小值為k＝3－0＝－3，所以k的取值范圍是－3，0.2x－y－2≤0，y＋16．設變量x，y知足拘束條件x－2y＋2≥0，則＝的取值范圍是()x＋y－1≥0，Sx＋1A.1，31，12B.21C.2，2D．[1,2]分析：選C作出可行域為含界限的三角形地區(qū)(如圖)，y＋1極點分別是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝x＋1表示可行域內的點與定點P(－1，－1)連線的斜率，則1＝k＝2.2minPAmaxPBx＋y≤4，．·大連期末)已知點P的坐標，知足y≥x，過點P的直線l與圓7(2018(xy)x≥1，C：x2＋y2＝14訂交于A，B兩點，則|AB|的最小值是()A．26B．4C.6D．2分析：選B依據拘束條件畫出可行域，如圖中暗影部分所示，設點P到圓心的距離為d，求最短弦長，等價于求到圓心距離d最大的點，即為圖中的P點，其坐標為(1,3)，則d1＋32＝10，此時|AB|min＝214－10＝4.8．已知點M(a，b)與點N(0，－1)在直線3x－4y＋5＝0的雙側，給出以下結論：①3a－4b＋5>0；②當a＞0時，a＋b有最小值，無最大值；③a2＋b2＞1；④當a＞0且b＋19∪3，＋∞.≠1時，的取值范圍是－∞，－aa－144正確的個數是()A．1B．2C．3D．4分析：選B因為點M(a，b)與點N(0，－1)在直線3x－4y＋5＝0的雙側，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3－4b＋5＜0，故①錯誤；作出可行域(如圖中暗影部分，不包含界限)，a當a>0時，由圖知，a＋b無最小值，也無最大值，故②錯誤；3a－4b＋5<0表示的地區(qū)是直線3x－4y＋5＝0的左上方，a2＋b2表示暗影部分的點M(a，b)和原點間的距離的平方，則d5b＋1M(a，b)和B(1，－1)連線的斜率，＞32＋－42＝1，故③正確；a－1表示暗影部分的點5由圖象得b＋13b＋14＋19B.－1＞k1＝4或a－1＜kAB＝0－1＝－4，故④正確，應選a二、填空題x≤3，．·北京高考)若x，y知足x＋y≥2，則＋的最大值為________．9(2017x2yy≤x，分析：不等式組所表示的可行域如圖中暗影部分所示，是以點(1,1)，(3,3)，(3，ABC－1)為極點的三角形及其內部．設z＝x＋2y，當直線z＝x＋2y經過點B時，z獲得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9.答案：9x＋y－2≥0，10．(2018·沈陽質監(jiān))已知不等式組x－2≤0，表示的平面地區(qū)的面積等于3，ax－y＋2≥0則a的值為________．分析：依照不等式組畫出可行域如圖中暗影部分所示，由圖可知其表示的平面地區(qū)為△1ABC，所以S＝2×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又點C在直線ax－y＋2＝0上，得1a＝2.答案：12x≥0，11．點P(x，y)在不等式組x＋y≤3，表示的平面地區(qū)內，若點P(xy)到直線y，y≥x＋1＝kx－1(k>0)的最大距離為22，則實數k＝________.分析：題中的不等式組表示的平面地區(qū)是以(0,1)，(0,3)，(1,2)為極點的三角形地區(qū)(如圖所示)，易得平面地區(qū)內的點(0,3)到直線y＝kx－1(k>0)|0×k－3－1|的距離最大，所以k2＋122，又k>0，得k＝1.答案：13x－y－6≤0，12．設x，y知足拘束條件x－y＋2≥0，若目標函數z＝＋by(a＞，＞0)的ax0bx≥0，y≥0，最大值為10，則a2＋b2的最小值為________．分析：作出不等式組所表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，易知當直線z＝ax＋by過點A(4,6)時，獲得最大值10，即2a＋3b＝5，而a2＋b2表示原點(0,0)與直線2a＋3b＝5上的點的距離的平方，明顯a2＋2的最小值為原點到直線2＋3＝5的距離的平方，又原點bab52225到直線2a＋3b＝5的距離d＝13，所以a＋b的最小值為13.25答案：13三、解答題13．(2017·天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次以下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時收視人次長(分鐘)(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于許多于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數不多于乙連續(xù)劇播放次數的每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數．

600分鐘，廣告的總播放時間2倍．分別用x，y表示用x，y列出知足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面地區(qū)；問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解：(1)由已知，x，y知足的數學關系式為70x＋60y≤600，

7x＋6y≤60，5x＋5y≥30，

x＋y≥6，x≤2y，

即x－2y≤0，x≥0，

x≥0，y≥0，

y≥0，該二元一次不等式組所表示的平面地區(qū)為圖中的暗影部分中的整數點．設總收視人次為z萬，則目標函數為z＝60x＋25y.12z12考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－5x＋25，這是斜率為－5，隨z變化的一族平行zy軸上的截距，當zz的值最大．直線.為直線在獲得最大值時，2525又因為x，y知足拘束條件，所以由圖可知，當直線z＝60x＋25y經過可行域上的點Mz時，截距25最大，即z最大．7＋6y＝60，得點M的坐標為(6,3)解方程組．x－2y＝0，所以電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多．14．投資人擬訂投資計劃時，不單要考慮可能獲取的盈余，并且要考慮可能出現(xiàn)的損失，一投資人打算投資甲、乙兩項目．依據展望，甲、乙項目可能的最大盈余率分別為50%和40%，可能的最大損失率分別為30%和20%.投資人計劃投資本額不超出10萬元，要求保證可能的資本損失不超出2.4萬元．設甲、乙兩個項目投資額分別為x，y萬元．寫出x，y知足的拘束條件；求可能盈余的最大值(單位：萬元)．x＋y≤10，0.3x＋0.2y≤2.4，解：(1)x，y知足拘束條件為x≥0，y≥0，設目標函數z＝0.5x＋0.4y，上述不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，平移直線l0：0.5x＋0.4y＝0，當經過點M時，z＝0.5x＋0.4y獲得最大值．解方程組x＋y＝10，得x＝4，y＝6.此時zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(萬元)．0.3x＋0.2y＝2.4，x－y－2≤0，．已知x，y知足拘束條件5x－3y－12≥0，當目標函數z＝＋＞，＞1axby(a0by≤3，0)在該拘束條件下獲得最小值1時，(a－1)2＋(b－1)2的最小值為()110A.10B.103109C.10D.10分析：選D作出知足拘束條件的可行域如圖中暗影部分所示，z把z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化為y＝－bx＋b，az由圖可知，當直線y＝－bx＋b過點A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值1，x－y－2＝0，聯(lián)立5x－3y－12＝0，解得A(3,1)，所以3a＋b＝1，1因為a＞0，b＞0，所以0＜a＜3.22222－129則(a－1)＋(b－1)＝(a－1)＋9a＝10a－2a＋1＝10a10＋10.1229則當a＝10時，(a－1)＋(b－1)獲得最小值，最小值為10.x≥0，2．在平面直角坐標系中，點P是由不等式組y≥0，所確立的平面地區(qū)內的x＋y－4≥0動點，M，N是圓x2＋y2＝1的一條直徑的兩頭點，則PM―→·PN―→的最小值為()A．4B．22－1C．42D．7分析：選D因為M，N是圓x2＋y2＝1的一條直徑的兩頭點，所以可設M(a，b)，N(－a，22―→―→22－b)，則a＋b＝1.設P(x，y)，則PM·PN＝(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x－a＋y2－b2＝x2＋y2－1，設z＝x2＋y2，則z的幾何意義是地區(qū)內的點到原點距離的平方，作出不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示．則原點到直線x＋y－4＝0的距離最小，此|0＋0－4|2―→―→22－1＝8－1＝7.時d＝＝22，則z＝d＝8，則PM·PPN＝x＋y2高考研究課

三

基本不等式[全國卷

5年命題剖析

]考點基本不等式求最值基本不等式的實質應用

考察頻度未考察未考察

考察角度利用基本不等式求最值利用基本均值不等式求最值，一般是已知兩個非負數的和為定值求其乘積的最大值，或已知兩個非負數的乘積為定值求其和的最小值，高考對其考察的頻次較低，但也要引起重視.,常有的命題角度有：經過配湊法求最值；經過常值代換法求最值；經過消元法求最值.角度一：經過配湊法求最值1．(2018·泉州檢測)已知0<<1，則x(3－3)獲得最大值時x的值為()xx11A.B.3232C.4D.3x＋1－x23分析：選B∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝4.1當且僅當x＝1－x，即x＝2時，“＝”成立．4x3y2．已知x，y為正實數，則x＋3y＋x的最小值為()510A.3B.33D．3C.2434xx＋34x＋3分析：選D由題意得x>0，y>0，x＋3y＋x＝x＋3y＋x－1≥2x＋3y·x－1＝4－1＝3(當且僅當x＝3y時等號成立)．3．若b>a>1，且3logab＋6log32ba＝11，則a＋－1的最小值為________．b分析：因為b>a>1，所以logb>1.又3logb＋6loga＝3log6＝11，解得logbab＋aablogbaa33222＝3，即a＝b，所以a＋－1＝b＋b－1＝b－1＋－1＋1≥22＋1(當且僅當b＝2＋1時bb32等號成立)，即a＋b－1的最小值為22＋1.答案：22＋1[方法技巧]利用基本(均值)不等式解題必定要注意應用的前提“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數，“二定”是指應用基本(均值)不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指知足等號成立的條件．在利用基本(均值)不等式求最值時，要依據式子的特點靈巧變形，配湊出積、和為常數的形式，而后再利用基本(均值)不等式．角度二：經過常值代換法求最值234．(2017·日照二模)已知第一象限的點(a，b)在直線2x＋3y－1＝0上，則代數式a＋b的最小值為()A．24B．25C．26D．27分析：選B因為第一象限的點(a，b)在直線2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，2323(2a＋3)＝4＋9＋6b6a6b6a＝>0，>0，即2＋3＝1，所以＋＝＋＋≥13＋2·ababababbabab6b6a12325，當且僅當a＝b，即a＝b＝5時取等號，所以a＋b的最小值為25.415．已知正數x，y知足x＋y＝1，則x＋2＋y＋1的最小值為________．分析：正數x，y知足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，則4＋1＝1[x＋2＋y＋1]4＋1x＋2y＋1x＋2y＋141x＋24y＋11x＋24y＋119＝45＋y＋1＋x＋2≥45＋2y＋1·x＋2＝4×(5＋4)＝4，29當且僅當x＝2y＝時，獲得最小值為.349答案：46．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，則x＋y的最小值為________．分析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.1即x＋y＝1.則x＋＝(x＋)16＋1＝16＋1＋16y＋x≥17＋216y·x＝25，當且僅當x＝4y＝y(tǒng)yxyxyxy時等號成立，所以x＋y的最小值為25.答案：25[方法技巧]將條件靈巧變形，利用常數代換法求最值是解決此類問題的常用方法．角度三：經過消元法求最值7．(2018·山西大學附中檢測)已知函數f(x)＝|lgx|，>>0，()＝f(b)，則a2＋b2abfaa－b的最小值為________．分析：由函數f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lga＝－lgb，21211a2＋b2a＋a1212b＝a，a－b＝a－a>0，則a－b＝1＝a－a＋1≥22(當且僅當a－a＝1，即aa－aa－aa－a2＋6時，等號成立)．2答案：22[方法技巧]利用給定條件變形，消去此中一元，變成一元變量函數，再配湊后使用基本不等式求最值．[典例]

基本不等式的實質應用某房地產開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內建筑一個長方形公園

ABCD，公園由形狀為長方形

A1B1

C1D1

的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道

(暗影部分

)構成．已知休閑區(qū)

A1B1C1D1的面積為

40002m，人行道的寬分別為

4m

和

10m(以下圖

)．|A1B1|(1)若設休閑區(qū)的長和寬的比

|

B1C1|

＝x(x>1)，求公園

ABCD所占面積

S對于

x的函數

S(x)的分析式；(2)要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該怎樣設計？[解](1)設休閑區(qū)的寬為am，則長為axm，由a2x＝4000，得a＝2010.x則S(x)＝(a＋8)(ax＋20)a2x＋(8x＋20)a＋1602010＝4000＋(8x＋20)·＋160x＝80102x＋5＋4160(x>1)．x(2)由(1)知，255S(x)＝8010x＋＋4160≥8010×22x×x＋4160＝1600＋4160＝5x760.5當且僅當2x＝，即x＝2.5時，等號成立，x此時a＝40，ax＝100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)1111應設計為長100m，寬40m.ABCD[方法技巧]利用基本不等式求解實質應用題的方法此種類的題目常常較長，解題時需仔細閱讀，從中提煉出實用信息，成立數學模型，轉變成數學識題求解．當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不可以使用基本不等式求解，此時可依據變量的范圍用對應函數的單一性求解．[即時操練

]1.如圖，某城鎮(zhèn)為適應旅行家產的需要，欲在一扇形

OAB(此中∠

AOB＝45°，扇形半徑為1)的草地上修筑一個三角形人造湖

OMN(此中點

M在

OA上，點

N在

AB或

OB上，∠OMN＝90°)，且沿湖畔OMN修筑休閑走廊，現(xiàn)甲部門需要人造湖的面積最大，乙部門需要人造湖的走廊最長，請你設計出一個方案，則該方案()A．只好知足甲部門，不可以知足乙部門B．只好知足乙部門，不可以知足甲部門C．能夠同時知足兩個部門D．兩個部門都不可以知足分析：選C當點N在AB上時，設＝，＝，則x2＋y2＝1，所以人造湖的面積SOMxMNy＝1≤1·x2＋y2＝1，走廊長l＝1＋x＋y＝1＋x＋y2＝1＋1＋2≤1＋2xy224xy2221＋x＋y＝1＋2，上述兩個不等式等號成立的條件均為x＝y(tǒng)＝2，即點N在點B處；當點N在線段OB上時，人造湖的面積、休閑走廊長度的最大值明顯也在點B處獲得．2．運貨卡車以每小時xkm的速度勻速行駛130km，按交通法例限制50≤x≤100(單位