2021年新高考數(shù)學(xué)模擬試題專題練習(xí)一

解題思維8高考中概率與統(tǒng)計解答題的提分策略

1.［2020北京西城區(qū)高三模擬，12分］隨著科技的進步,視頻會議系統(tǒng)的前景愈加廣闊.其中，小型視頻會議

軟件格外受人青睞.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，小型視頻會議軟件下載量的前6名依次為A,B,C,D,E,F.在實際中，存在

很多軟件下載后并未使用的情況.為此,某調(diào)查公司對有視頻會議需求的人群進行抽樣調(diào)查,統(tǒng)計得到這6

款軟件的下載量W（單位:人次）與使用量U（單位:人次），數(shù)據(jù)用條形圖8-1表示如下：

圖8-1

定義軟件的使用率t=$當t》0.9時,稱該款軟件為“有效下載軟件”.調(diào)查公司以調(diào)查得到的使用率t作

為實際中該款軟件的使用率.

（1）在這6款軟件中任取1款,求該款軟件是“有效下載軟件”的概率.

（2）從這6款軟件中隨機抽取4款,記其中“有效下載軟件”的數(shù)量為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（3）將（1）中概率值記為x%.對于市場上所有小型視頻會議軟件,能否認為這些軟件中大約有x%的軟件為

“有效下載軟件”？請說明理由.

2.［條件創(chuàng)新，12分］某企業(yè)銷售部門為了解員工的銷售能力，按性別利用分層抽樣的方法從該部門現(xiàn)有員工

中（其中男生占比為45%）隨機抽取n名進行問卷調(diào)查,并將得分分為1,2,3,4,5五個檔次,各檔次中參與問

卷調(diào)查的員工人數(shù)如條形圖8-2所示.已知第5檔的員工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的右

第1頁共6頁

人數(shù)

圖8-2

（1）若將某員工得分所在的檔次作為該員工銷售的能力基數(shù)X。（記能力基數(shù)x0=5為能力基數(shù)高,其他均為能

力基數(shù)不高），在能力基數(shù)為5的員工中，女生與男生的比例為7:3,以抽取的n名員工為研究對象,完成下

面的2X2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為能力基數(shù)高低與性別有關(guān).

男生女生合計

能力基數(shù)高

能力基數(shù)不

高

合計

（2）為提高員工認知并調(diào)動員工自主學(xué)習(xí)的積極性,部門組織員工參加各種形式的培訓(xùn)講座.已知每位員工

的銷售能力指數(shù)y、能力基數(shù)x。以及參加培訓(xùn)的次數(shù)t滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x°+（l+x。）（l+e2）,如果員工甲的

能力基數(shù)為4,員工乙的能力基數(shù)為2,則在甲不參加培訓(xùn)的情況下，乙至少參加多少次培訓(xùn)I,其銷售能力指

數(shù)超過甲？

n(ad-bc)2

參考數(shù)據(jù)及參考公式：In3-1.099,K2=.n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2^ko)0.150.100.050.01

k02.0722.7063.8416.635

第2頁共6頁

3.[2021湖南省六校聯(lián)考，12分]隨著城市規(guī)模的擴大和人們生活水平的日益提高,某市近年機動車保有量

逐年遞增.根據(jù)機動車管理部門的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以5年為一個研究周期,得到機動車每5年純增數(shù)量（單位:萬

輛）的情況如下表.

1995"2000”2005"2010"2015、

年度周期

20002005201020152020

時間變量X,12345

純增數(shù)量Yi/

3691527

萬輛

其中i=l,2,3,…，時間變量x,對應(yīng)的機動車純增數(shù)量為y?且通過數(shù)據(jù)分析得到時間變量x與對應(yīng)的機動車

純增數(shù)量y（單位：萬輛）具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）求機動車純增數(shù)量y關(guān)于時間變量x的回歸方程,并預(yù)測2025~2030年間該市機動車純增數(shù)量的值；

（2）該市交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況,隨機采訪了220名市民，將他們的意見

和是否擁有私家車情況進行了統(tǒng)計,得到的2X2列聯(lián)表如下表.

贊同限不贊同限

合計

行行

沒有私家車9020110

有私家車7040110

合計16060220

根據(jù)列聯(lián)表判斷,能否有99%的把握認為對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān)?

附:回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=/n,a=歹一位.

E（Xi-x）Lxj-nx

i=ii=i1

憶2_n(ad-bc)

—,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2^k0.020.010.00

0.150.100.050.001

)505

2.072.703.845.026.637.87

k10.828

261459

第3頁共6頁

4.［2020洛陽市第一次聯(lián)考，12分］“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2019年春節(jié)前

夕,A市某質(zhì)量檢測部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質(zhì)量指標值,所得頻率分布直方

圖如圖8-3所示：

(1)求所抽取的100包速凍水餃的該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

代表).

(2)(i)由頻率分布直方圖可以認為,速凍水餃的該項質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(u,。2),利用該正態(tài)分

布，求Z落在(14.55,38.45］內(nèi)的概率；

(ii)將頻率視為概率,若某人從該市某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中該項質(zhì)量

指標值位于(10,30］內(nèi)的包數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:計算得所抽取的這100包速凍水餃的該項質(zhì)量指標值的標準差H42.75到1.95.

若g~N(u,o'),貝Wu+。)七0.6827,P(u-2o〈&Wu+2。)~0.9545.

答案

解題思維8高考中概率與統(tǒng)計解答題的提分策略

1.(1)根據(jù)條形圖中的數(shù)據(jù),可得軟件A,B,C,D,E,F的使用率

t考〉蟲9,Y>0.9,Y〈0.9,吟<0.9,t譚>0.9,t,=§>0,9.

所以軟件A,B,E,F為“有效下載軟件”.(2分)

記事件M為“在這6款軟件中任取1款，該款軟件是‘有效下載軟件’”，

則事件M的概率P(M)4=1.(3分)

(2)隨機變量X的可能取值為2,3,4.(4分)

則P(X=2)窄W，P(X=3)舉Y，P(X=4)=m=2.(7分)

所以隨機變量X的分布列為

第4頁共6頁

X234

281

P

51515

所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2x|+3X*MX?J(9分)

OXOXOO

(3)不能認為大約有x%的軟件為“有效下教軟件”.(10分)

理由如下：

若根據(jù)這6款軟件中“有效下載軟件”的概率來估計所有軟件中“有效下載軟件”的概率，即是用樣本估

計總體.

用樣本估計總體應(yīng)保證總體中的每個個體被等可能抽取.

但此次調(diào)查是從“有視頻會議需求”的人群中抽樣調(diào)查，且有針對性只選取“下教量排名前6名”的軟

件,不是從所有軟件中隨機抽取6款作為樣本.

故對于市場上所有小型視頻會議軟件,不能認為大約有x%的軟件為“有效下載軟件”.(12分)

2.(1)由已知及條形圖，可得工(8+16+22+34)=1-3得n=100,(2分)

n5

補全2X2列聯(lián)表如下表所示.

男生女生合計

能力基數(shù)高61420

能力基數(shù)不

394180

高

合計4555100

（4分）

Y的觀測值k=100x（6x41-39xl4）2^2.273<2.706,

（5分）

45X55X80X20

所以沒有90%的把握認為能力基數(shù)高低與性別有關(guān).（6分）

(2)員工甲的銷售能力指數(shù)y=4+(l+4)(l+e2)=14.（7分）

員工乙參加t次培訓(xùn)后的銷售能力指數(shù)y=2+(l+2)(l+e?)=2+3(l+e?),（8分）

由已知得2+3(1+/)>14,即備3,（9分）

（>ln3,t>151n3,t>16.485,（11分）

所以乙至少參加17次培訓(xùn)I,其銷售能力指數(shù)超過甲.（12分）

第5頁共6頁

3.(1)由機動車的純增數(shù)量表可知

x=|(l+2+3+4+5)=3,y=|(3+6+9+15+27)=12,

5

￡XiVj=1x3+2x6+3x9+4x15+5x27=237,(2分)

i=l

v237-5X3X1257?

C5__________________________=：_____—Qr7(4分)

：邑“沙廠5元?歹(l2+22+32+42+52)-5X3255-45,：

所以b=f------------=

￡xl5x2

因為回歸直線y=bx+a過樣本點的中心收，歹)，所以12=5.7X3+a,

解得a=-5.1,所以y=5.7x-5.1.(6分)

當年度周期為2025^2030時，x=7,所以y=5.7X7-5.1=34.8,

所以2025^2030年間該市機動車約純增34.8萬輛.(8分)

22

(2)根據(jù)列聯(lián)表,計算得K的觀測值k=220x(90x4020X70)=^^9,儂，(10分)

11UX11UXloOXoU6

因為9.167>6.635,所以有99%的把握認為對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān).(12分)

4.(1)所抽取的