一、選擇題1．(2022江蘇蘇州)如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(－1，0)，半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是A．2B．1C．D．【答案】：C2．（2022甘肅蘭州）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個正三角形的邊長為A． B．C． D． 【答案】D3．（2022山東青島）A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交BBCA第6題圖【答案】B4．（2022四川眉山）下列命題中，真命題是A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直【答案】C5．（2022臺灣）圖(四)為△ABC和一圓的重迭情形，此圓與直線BC相切于C點，且與交于另一點D。若A=70，B=60，則的度數(shù)為何？

(A)50(B)60(C)100(D)120。AACBD圖(四)【答案】C6．（2022嵊州市）如圖,點B是線段AC的中點,過點C的直線EQ與AC成60°的角,在直線上取一點,使∠APB=30°,則滿足條件的點有幾個()個個個D.不存在【答案】B7．（2022浙江省溫州）如圖，在AABC中，AB=BC=2，以AB為直徑的⊙0與BC相切于點B，則AC等于(▲)A．B．c．2D．2【答案】C8．（2022四川南充）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60°．下列結(jié)論錯誤的是（）．

ll1l2ABMNO（第10題）1（A）

（B）若MN與⊙O相切，則

（C）若∠MON＝90°，則MN與⊙O相切

（D）l1和l2的距離為2

【答案】B9．（2022廣東珠海）如圖，PA、PB是O的切線，切點分別是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）° ° ° °【答案】D10．（2022四川眉山）下列命題中，真命題是A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直【答案】C11．（2022湖南婁底）在平面直角坐標(biāo)系中，以點（3，2）為圓心、3為半徑的圓，一定（）A.與x軸相切，與y軸相切B.與x軸相切，與y軸相C.與x軸相交，與y軸相切D.與x軸相交，與y軸相【答案】C12．（2022內(nèi)蒙赤峰）如圖，⊙O的圓心到直線l的距離為3cm，⊙O的半徑為1cm，將直線l向右（垂直于l的方向）平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是（）A．1 cm， B．2cm， C．4cm， D．2cm或4cm【答案】D二、填空題1．（2022江蘇南京）如圖，以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長為cm?！敬鸢浮?2．（2022浙江杭州）如圖,已知△,，．是的中點，⊙與AC，BC分別相切于點與點．點F是⊙與的一個交點，連并延長交的延長線于點.則.【答案】3．（2022浙江義烏）已知直線與⊙O相切，若圓心O到直線的距離是5，則⊙O的半徑是▲．【答案】54．（2022重慶）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線的距離是4，則直線與⊙O的位置關(guān)是．【答案】相離5．（2022重慶市潼南縣）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB為直徑的圓，則直線DC與⊙O的位置關(guān)系是.【答案】相離6．（2022浙江金華）如圖在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，O分別是AB，CD，AD的中點， 以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧是上的一個動點，連結(jié)OP，并延長OP交線段BC于點K，過點P作⊙O的切線，分別交射線AB于點M，交直線BC于點G.若，則BK﹦▲.AAODBFKE(第16題圖)GMCK【答案】,7．（2022湖南懷化）如圖6，已知直線AB是⊙O的切線，A為切點，OB交⊙O于點C，點D在⊙O上，且∠OBA=40°，則∠ADC=．【答案】8．（2022山東泰安）如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點C,點D、E、F是⊙O上三個點，EF∥AB，若EF=2，則∠EDC的度數(shù)為?！敬鸢浮?0°9．（2022河南）如圖，AB切⊙O于點A，BO交⊙O于點C，點D是異于點C、A的一點，若∠ABO=,則∠ADC的度數(shù)是.【答案】29°10．（2022湖北孝感）P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，∠APB=50°，點C為⊙O上一點（不與A、B）重合，則∠ACB的度數(shù)為。【答案】11．（2022四川瀘州）如圖7,已知⊙O是邊長為2的等邊△ABC的內(nèi)切圓,則⊙O的面積為__________.【答案】12．（2022山東淄博）如圖，D是半徑為R的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，下列四個條件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有（A）①②OODCBA(第12題)（B）①③④（C）②③④（D）①②③④【答案】D13．（2022青海西寧）如圖2，已知在直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓的圓心坐標(biāo)為（3，-3），當(dāng)該圓向上平移個單位時，它與軸相切.【答案】116°14．（2022廣東茂名）如圖，已知AD為⊙O的切線，⊙O的直徑AB＝2，弦AC＝1，則∠CAD＝．(第13題圖)(第13題圖)【答案】30o15．（2022廣西百色）如圖，⊙的直徑為20，弦,，垂足為.則沿射線方向平移時可與⊙相切.第19題第19題ABOD【答案】4三、解答題1．(2022江蘇蘇州)(本題滿分9分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點，以O(shè)為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點為F(1)求證：OE∥AB；(2)求證：EH=AB；(3)若，求的值．【答案】2．（2022安徽蚌埠）已知⊙過點（3，4）,點與點關(guān)于軸對稱，過作⊙的切線交軸于點。⑴求的值；⑵如圖，設(shè)⊙與軸正半軸交點為，點、是線段上的動點（與點不重合），連接并延長、交⊙于點、，直線交軸于點，若是以為底的等腰三角形，試探索的大小怎樣變化，請說明理由。yHyHADOOCPFyGDExBxx【答案】⑴BOCPFBOCPFyGDEx解：當(dāng)、兩點在上運動時（與點不重合），的值不變過點作于，并延長交于，連接，MNT交于。MNT因為為等腰三角形，，所以平分所以弧BN=弧CN，所以，所以所以=即當(dāng)、兩點在上運動時（與點不重合），的值不變。3．（2022安徽蕪湖）（本小題滿分12分）如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧eq\o(AB,\s\up5(⌒))上一點，過點M點作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點，MD與OA交于N點．（1）求證：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝EQ\F(3,2)AO，過點B作BC∥MP交⊙O于C點，求BC的長．【答案】4．（2022廣東廣州，24，14分）如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．（1）求弦AB的長；（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由；（3）記△ABC的面積為S，若＝4，求△ABC的周長.CCPDOBAEFFCPDOBAEHG【答案】解：（1）連接OA，取OP與AB的交點為F，則有OA＝1．FFCPDOBAEHG∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因為點D為△ABC的內(nèi)心，所以，連結(jié)AD、BD，則∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因為∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點分別為G，H，連接DG，DC，DH，則有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴＝AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC)?DE＝l?DE．∵＝4，∴＝4，∴l(xiāng)＝8DE.∵CG，CH是⊙D的切線，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．又由切線長定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l(xiāng)＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，∴△ABC的周長為．5．（2022甘肅蘭州）（本題滿分10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）求證：BC=AB；（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值.【答案】解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB……………………1分∵AB是⊙O的直徑∴∠ACO+∠OCB=90°…………………2分∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP…………3分∵OC是⊙O的半徑∴PC是⊙O的切線…………………4分（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB……………5分∴BC=OC∴BC=AB………6分(3)連接MA,MB∵點M是弧AB的中點∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM………7分∵∠ACM=∠ABM∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB∴∴BM2=MC·MN……8分∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4∴BM=………9分∴MC·MN=BM2=8……………………10分6．（2022山東日照）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．求證：（1）D是BC的中點； （2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．【答案】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD是底邊BC上的高．………1分又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中點；………3分(2)證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，∴∠CBE=∠CAD．…………………5分又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；…………………6分（3）證明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．…………………8分∵D是BC的中點，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE．……………………10分7．（2022山東煙臺）（本題滿分10分）如圖以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC邊于點E。（1）求證：DE⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值?！敬鸢浮?．（2022山東威海）CABDOFE如圖，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半徑等于3㎝，AB，AD分別與⊙O相切于點E，F(xiàn)．⊙O在□ABCD內(nèi)沿AB方向滾動，與BC邊相切CABDOFE【答案】解：連接OE，OA．……1分∵AB，AD分別與⊙O相切于點E，F(xiàn)．∴OE⊥AB，OE=3㎝．………………2分∵∠DAB＝60°，∴∠OAE＝30°．……3分在Rt△AOE中，AE=㎝．…………………5分∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°．……………………6分設(shè)當(dāng)運動停止時，⊙O與BC，AB分別相切于點M，N，連接ON，OB．……………7分同理可得BN=㎝.…………………9分∴㎝．∴⊙O滾過的路程為㎝．…………………10分CCABDOFEMNO9．（2022四川涼山）如圖，為線段上一點，和都是等邊三角形，連接并延長，交的延長線于，LINKE:\\2022中考分類\\中考分類匯編\\40.直線與圓的位置關(guān)系.docOLE_LINK12\a\r的外接圓交于點。求證：是的切線；求證：；ABCDEMFO第26題圖若過點D作DG∥BE交EF于點G，過G作GH∥DE交DF于點H，則易知是等邊三角形；設(shè)等邊LINKE:\\2022中考分類\\中考分類匯編\\40.直線與圓的位置關(guān)系.docOLE_LINK12\a\r、LINKE:\\2022中考分類\\中考分類匯編\\40.直線與圓的位置關(guān)系.docOLE_LINK13\a\r、LINKE:\\2022中考分類\\中考分類匯編\\40.直線與圓的位置關(guān)系.docOLE_LINK14\a\r的面積分別為、、，試探究LINKE:\\2022中考分類\\中考分類匯編\\40.直線與圓的位置關(guān)系.docOLE_LINK15\a\r、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。ABCDEMFO第26題圖【答案】10．（2022浙江義烏）如圖，以線段為直徑的⊙交線段于點，點是的中點，交于點，°，，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：BC是⊙的切線；（3）求的長度．OOBACEMD【答案】解：（1）∵∠BOE=60°∴∠A＝∠BOE＝30°（2）在△ABC中∵∴∠C=60°…1分又∵∠A＝30°∴∠ABC=90°∴∴BC是⊙的切線（3）∵點M是的中點∴OM⊥AE在Rt△ABC中∵∴AB=6……2分∴OA=∴OD=∴MD=11．（2022山東聊城）如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90o，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連結(jié)BD．（1）若AD＝3，BD＝4，求邊BC的長；（2）取BC的中點E，連結(jié)ED，試證明ED與⊙O相切．【答案】（1）∵AB是直徑，∴∠CDB＝90o，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴，∴．（2）證明：連結(jié)OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中點，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE，又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，又∵∠OBD+∠DBC＝90o，∠C+∠DBC＝90o，∴∠BDO＝∠CDE，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90o，∴∠BDC＝90o，∴∠BDE+∠CDE＝90o，∠BDO＝∠CDE，∴∠BDE+∠BDO＝90o，∴∠ODE＝90o，∴ED與⊙O相切．12．（2022福建德化）（9分）如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半徑．【答案】解：（1）直線CE與⊙O相切。證明：∵四邊形ABCD是矩形∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE ∴∠DAC=∠DCE,連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90∴∠AE0+∠DEC=90∴∠OEC=90∴直線CE與⊙O相切。（2）∵tan∠ACB=，BC=2∴AB=BC∠ACB=AC=又∵∠ACB=∠DCE∴tan∠DCE=∴DE=DC?tan∠DCE=1方法一：在Rt△CDE中，CE=，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，即解得：r=方法二：AE=CD-AE=1，過點O作OM⊥AE于點M，則AM=AE= 在Rt△AMO中，OA=13．（2022湖南長沙）已知：AB是⊙O的弦，D是eq\o(AB,\s\up8(⌒))的中點，過B作AB的垂線交AD的延長線于C，（1）求證：AD＝DC；（2）過D作⊙O的切線交BC于E，若DE＝EC，求sinC.【答案】解：（1）連接DB,∵D是eq\o(AB,\s\up8(⌒))的中點，∴eq\o(AD,\s\up8(⌒))＝eq\o(BD,\s\up8(⌒)).∴AD＝DB.∴∠DAB＝∠DBA.∵AB⊥BC,∴∠DBC＝90°－∠DBA,∠C＝90°－∠DAB.∴∠DBC＝∠C.∴DB＝DC.∴AD＝DC.（2）連接OD,交AB于F,∵D是eq\o(AB,\s\up8(⌒))的中點，∴AB⊥OD∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE∵AB⊥BC,∴四邊形DEBF是矩形∴∠DEC＝90°,∵DE＝EC，∴∠C＝45°∴sinC＝sin45°＝.14．（2022江蘇宿遷）（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上任意一點，C為半圓ACB的中點，PD切⊙O于點D，連結(jié)CD交AB于點E．求證：（1）PD=PE；（2）．??PBAEOCD【答案】證明：(1)連接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=—∠ODE，∠PED=∠CEO=—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PD??PBAEOCD(2)連接AD、BD∴∠ADB=∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴PDB∽PAD∴∴∴15．（2022山東濟南）（2）如圖，是⊙的切線，為切點，是⊙的弦，過作于點．若，，．求：（1）⊙的半徑；（2）AC的值．【答案】解①∵AB是⊙O的切線，A為切點∴OA⊥AB在Rt△AOB中，AO===5∴⊙O的半徑為5②∵OH⊥AC∴在Rt△AOH中AH===又∵OH⊥AC∴AC=2AH=216．（2022浙江衢州）(本題8分)如圖，直線l與⊙O相交于A，B兩點，且與半徑OC垂直，垂足為H，已知AB=16厘米，．(1)求⊙O的半徑；(2)如果要將直線l向下平移到與⊙O相切的位置，平移的距離應(yīng)是多少？請說明理由．AABOHCl【答案】解：(1)∵直線l與半徑OC垂直，∴． ABOHCABOHC(第20題)l∴OB=HB=×8=10． (2)在Rt△OBH中，． ∴．所以將直線l向下平移到與⊙O相切的位置時，平移的距離是4cm． 17．（2022江蘇泰州）在平面直角坐標(biāo)系中，直線（k為常數(shù)且k≠0）分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O半徑為個單位長度．⑴如圖甲，若點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，點P為直線上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，當(dāng)PC⊥PD時，求點P的坐標(biāo)．⑵若，直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，求b的值．（圖乙供選用）【答案】⑴①根據(jù)題意得：B的坐標(biāo)為（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐標(biāo)為（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.②過P作x軸的垂線，垂足為F，連結(jié)OD.∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD＝，OP=.∵P在直線y＝－x＋4上，設(shè)P（m，－m＋4），則OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)2＝（）2，解得m=1或3，∴P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）⑵分兩種情形，y＝－x＋，或y＝－x－。直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，可知其所對圓心角為120°，如圖，畫出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直線中∴直線與x軸交角的正切值為，即，∴AC=，進而可得AO=，即直線與與x軸交于點（，0）．所以直線與y軸交于點（，0），所以b的值為．當(dāng)直線與x軸、y軸的負(fù)半軸相交，同理可求得b的值為．綜合以上得：b的值為或．18．（2022江蘇無錫）如圖，已知點，經(jīng)過A、B的直線以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發(fā)，在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動．設(shè)它們運動的時間為秒．（1）用含的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)；（2）過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥軸于D，問：為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時與直線CD的位置關(guān)系．【答案】解：⑴作PH⊥OB于H﹙如圖1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝;∴OH＝，∴P﹙，﹚圖1圖2圖3圖1圖2圖3⑵當(dāng)⊙P在左側(cè)與直線OC相切時﹙如圖2﹚，∵OB＝，∠BOC＝30°∴BC＝ ∴PC由，得﹙s﹚，此時⊙P與直線CD相割．當(dāng)⊙P在左側(cè)與直線OC相切時﹙如圖3﹚，PC由，得﹙s﹚，此時⊙P與直線CD相割．綜上，當(dāng)或時，⊙P與直線OC相切，⊙P與直線CD相割．19．（2022山東臨沂）如圖,是半圓的直徑,為圓心,、是半圓的弦，且.(第23題圖)(1)判斷直線是否為的切線，并說明理由；(第23題圖)(2)如果，，求的長?！敬鸢浮浚?）PD是⊙O的切線連接OD,∵OB=OD,∴∠2=∠PBD.又∵∠PDA=∠PBD.∴∠PBD=∠2.又∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB=90°.即∠1+∠2=90°.∴∠1+∠PDA=90°,即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切線.（2）方法一：∵∠BDE=60°,∠ODE=60°,∠ADB=90°,∴∠2=30°,∠1=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形?！唷螾OD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.在直角△PDO中，設(shè)OD=x,∴，∴x1=1,x2=-1（不合題意，舍去）∴PA=1.方法二：∵OD⊥PE,AD⊥BD,∠BDE=60°,∴∠2=∠PBD=∠PDA=30°∴∠OAD=60°.∴∠P=30°.∴PA=AD=OD.在直角△PDO中，∠P=30°,PD=,∴，∴OD=PDtan∠P=tan30°=1.∴PA=1.20．（2022江蘇連云港）（本題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，⊙C的圓心坐標(biāo)為（－2，－2），半徑為eq\r(2)．函數(shù)y＝－x＋2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P為AB上一動點（1）連接CO，求證：CO⊥AB；（2）若△POA是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數(shù)；當(dāng)直線PO與⊙C相交時，設(shè)交點為E、F，點M為線段EF的中點，令PO＝t，MO＝s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出t的取值范圍．ADADBADxPO··CFEBADy【答案】21．（2022湖南衡陽）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D的切線交BC于E．（1）求證：；（2）若tanC=，DE=2，求AD的長．【答案】(1)連接BD，∵AB為直徑，∠ABC=90°，∴BE切⊙O于點B，因為DE切⊙O于點D，所以DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE=∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴.(2)因為DE=2，，所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=，所以AB=BC·=2，在Rt△ABC中，AC===6，又因為△ABD∽△ACB，所以，即，所以AD=.22．（2022黃岡）（6分）如圖，點P為△ABC的內(nèi)心，延長AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長線上有一點E，滿足AD＝AB·AE，求證：DE是⊙O的切線.第20題圖【答案】證明：連結(jié)DC，DO并延長交⊙O于F，連結(jié)AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切線23．（2022河北）圖14-1連桿圖14-1連桿滑塊滑道某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖14-1，圖14-2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的究其中所蘊含的數(shù)學(xué)知識，過點O作OH

⊥l于點H，并測得OH

=4分米，PQ

=

3分米，OP

=

2分米．解決問題HlOPQ圖14-2（1）點Q與點HlOPQ圖14-2點Q與點O間的最大距離是分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是分米．（2）如圖14-3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點Q滑動到點H的位置時，PQ與O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對嗎？為什么？（3）①分米；HlO圖14-3P（QHlO圖14-3P（Q）求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù)．【答案】解：（1）456； （2）不對． ∵OP

=

2，PQ

=

3，OQ

=

4，且42≠32

+

22，即OQ2≠PQ2

+

OP2，∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．（3）①3； DHlO圖3PQ②由①知，在⊙O上存在點P，到l的距離為3，此時，OP將不能再向下轉(zhuǎn)動，如圖3．OP在繞點ODHlO圖3PQ連結(jié)P，交OH于點D．∵PQ，均與l垂直，且PQ

=，∴四邊形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD=D．∴所求最大圓心角的度數(shù)為120°．24．（2022山東省德州）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，AE平分∠BAD交BC于點E，點O是AB上一點，⊙O過A、E兩點,交AD于點G，交AB于點F．（1）求證：BC與⊙O相切；（2）當(dāng)∠BAC=120°時，求∠EFG的度數(shù)．BBACDEGOF第20題圖【答案】（1）證明：連接OE，BBACDEGOF∵AB=AC且D是BC中點，∴AD⊥BC．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA．∴∠OEA=∠DAE．∴OE∥AD．∴OE⊥BC．∴BC是⊙O的切線．（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∴∠EOB=60°．∴∠EAO=∠EAG=30°．∴∠EFG=30°．25．（2022山東萊蕪）（在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點D.（1）求線段AD的長度；（2）點E是線段AC上的一點，試問當(dāng)點E在什么位置時，直線ED與⊙O相切？請說明理由.OODCBA（第21題圖）【答案】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm．連結(jié)CD，∵BC為直徑，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB．ODCBAE∴ODCBAE（2）當(dāng)點E是AC的中點時，ED與⊙O相切．證明：連結(jié)OD，∵DE是Rt△ADC的中線．∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°．∴ED與⊙O相切．26．（2022江西）“6”字形圖中，F(xiàn)M是大圓的直徑，BC與大圓相切于B，OB與小圓相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，設(shè)，（１）求證：AD是小圓的切線；（２）在圖中找出一個可用表示的角，并說明你這樣表示的理由；（３）當(dāng)，求DH的長【答案】解：（１）證明：∵BC是圓的切線，所以∠CBO＝90°，∵BC∥AD，∴∠BAD＝90°，所以AD是圓的切線.(2)答案不唯一，略（3）∵CD∥BG，BC∥DG，所以四邊形BGDC是平行四邊形，所以DG=BC=6，又因為∠DGH＝，所以27．（2022年貴州畢節(jié)）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA、CB于點E、F，點G是AD的中點．求證：GE是⊙O的切線．【答案】證明：（證法一）連接． ∵是⊙O的直徑，． ∵是的中點，． ． ∵． ．即． 是⊙O的切線． （證法二）連接． ∵，． ． ∵OC=OE．∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3． 又，． ． 是⊙O的切線． 28．（2022湖北武漢）如圖，點O在的平分線上，⊙O與PA相切于點C．求證：直線PB與⊙O相切；PO的延長線與⊙O交于點E若⊙O的半徑為3，PC=4，求弦CE的長．【答案】（1）證明：過點O作OD⊥PB于點D，鏈接OC．∵PA切⊙O于點C，∴OC⊥PA又∵點O在∠APB的平分線上，∴OC=OD∴PB與⊙O相切(2)解：過點C作CF⊥OP于點F，在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△PCO，∴CF=．在Rt△COF中，OF=，∴EF=EO+OF=，∴CE=29．（2022四川巴中）已知如圖9所示，△ABC中∠A＝∠B＝30°，CD是△ABC的角平分線，以C為圓心，CD為半徑畫圓，交CA所在直線于E、F兩點，連接DE、DF。（1）求證：直線AB是⊙C的切線。（2）若AC＝10cm，求DF的長圖圖9【答案】（1）∵∠A＝∠B＝30°，∴AC=BC，∵CD是△ABC的角平分線，∴CD⊥AB，∴AB是⊙C的切線；（2）∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB=120°，CD是△ABC的角平分線，∴∠ACD=60°，又∵CD=CF，∴∠F＝∠ACD＝30°，∴∠A＝∠F＝30°，∴DF=AF，在Rt△ADC中，=cos30°=，則AD=，∴AF=。30．（2022浙江湖州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O的直徑，D是弧AB的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線于E、F．（1）求證：EF是⊙O的切線.（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半徑.（第22題）（第22題）【答案】（1）連OD，∵D是弧AB的中點，∴OD⊥AB，又∵AC為⊙O的直徑，∴BC⊥AB，∴OD∥CE，又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，即EF是⊙O的切線．（2）∵EF＝8，EC＝6，在Rt△CEF中，由勾股定理得CF＝10，設(shè)⊙O的半徑為r，∵OD∥CE，∴，解得：．31.（2022四川成都）已知：如圖，與⊙O相切于點，，⊙O的直徑為．（1）求的長；（2）求的值．【答案】.解：（1）由已知，OC=2，BC=4。在Rt△OBC中，由勾股定理，得（2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=，OC=2，∴sinA=32。（2022湖南常德）如圖8，AB是⊙Ｏ的直徑，∠A＝，延長OB到D，使BD＝OB．（1）△OCB是否是等邊三角形？說明你的理由；（2）求證：DC是⊙Ｏ的切線．AABODC圖8【答案】（1）解法一：∵∠A＝，∴∠COB＝． 又OC＝OB，∴△OCB是等邊三角形． 解法二：∵AB是⊙Ｏ的直徑，∴∠ACB＝． 又∵∠A＝，∴∠ABC＝． 又OC＝OB，∴△OCB是等邊三角形． （2）證明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝．又∵BD＝OB，∴BC＝BD． ∴∠BCD＝∠BDC＝∠OBC＝．∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝，故DC是⊙Ｏ的切線． 33.（8分）（2022湖北荊州）如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經(jīng)過C、D兩點，與斜邊AB交于點E，連結(jié)BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連結(jié)DF．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=，求EF的長．【答案】(1)證明：連結(jié)OE∵ED∥OB∴∠1=∠2，∠3=∠OED，又OE=OD∴∠2=∠OED∴∠1=∠3又OB=OBOE=OC∴△BCO≌△BEO（SAS）∴∠BEO=∠BCO=90°即OE⊥AB∴AB是⊙O切線.（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD為⊙O的直徑，∴在Rt△CDE中有：ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=∴在Rt△CEG中，∴EG=根據(jù)垂徑定理得：34.（2022湖北省咸寧），在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．（1）直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說明理由；（2）若，求CD的長．AAFCGODEB（第20題）【答案】．解：（1）直線FC與⊙O相切．AFAFCGODEB（第20題）132連接．∵，∴由翻折得，，．∴．∴OC∥AF．∴．∴直線FC與⊙O相切．（2）在Rt△OCG中，，∴．在Rt△OCE中，．∵直徑AB垂直于弦CD，∴．35.（2022江蘇揚州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：點D是BC的中點；（2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如果⊙O的直徑為9，cosB＝EQ\F(1,3)，求DE的長．AABCDEO·【答案】（1）證明：連接AD∵AB為半圓O的直徑,∴AD⊥BC∵AB=AC∴點D是BC的中點(2)解：相切連接OD∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE與⊙O相切（3）∵AB為半圓O的直徑∴∠ADB=900在Rt△ADB中∵cosB=∴BD=3∵CD=3在Rt△ADB中∴cosC=∴CE=1∴DE=36.（2022湖北恩施自治州）如圖，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC為⊙O的直徑，AC與⊙O交于點D,點E為AB的中點，PF⊥BC交BC于點G,交AC于點F.（1）求證：ED是⊙O的切線.（2）如果CF=1,CP=2，sinA=，求⊙O的直徑BC.【答案】解：⑴連接OD∵BC為直徑∴△BDC為直角三角形。又∵∠OBD=∠ODBRt△ADB中E為AB中點∴∠ABD=∠EDB∵∠OBD+∠ABD=90∴∠ODB+∠EDB=90∴ED是⊙O的切線。(2)∵PF⊥BC∴∠FPC=∠PDC又∠PCF公用∴△PCF∽△DCP∴PC=CF·CD又∵CF=1,CP=2，∴CD=4可知sin∠DBC=sinA=∴=即=得直徑BC=537.（2022北京）已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，⊙O過D、B、C三點，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半徑為2，求BD的長．【答案】（1） ∵OD＝OC，∠DOC＝90°∴∠ODC＝∠OCD＝45°∵∠DOC＝2∠ACD＝90°∴∠ACD＝45°∴∠ACD＋∠OCD＝∠OCA＝90°∵點C在⊙O上，∴直線AC是⊙O的切線。（2）∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°∴可求CD＝，∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°∴∠BCD＝30°作DE⊥BC于點E∴DE＝CD＝∵∠B＝45°∴DE＝2。38.（2022山東泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F.求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，BE＝1，求cosA的值.【答案】解：（1）證明：連結(jié)AD、OD∵AC是直徑∴AD⊥BC∵AB＝AC∴D是BC的中點又∵O是AC的中點∴OD∥AB∵DE⊥AB∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切線（2）由（1）知OD∥AE∴EQ\f(FO,FA)＝EQ\f(OD,AE)∴EQ\f(FC＋OC,FC＋AC)＝EQ\f(OD,AB－BE)∴EQ\f(FC＋2,FC＋4)＝EQ\f(2,4－1)，解得FC＝2∴AF＝6∴cosA＝EQ\f(AE,AF)＝EQ\f(AB－BE,AF)＝EQ\f(4－1,6)＝EQ\f(1,2)39.（2022云南紅河哈尼族彝族自治州）如圖9，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度數(shù).（2）以O(shè)B為直徑的⊙O‘與AB交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O‘相切？（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值.（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在請說明理由.【答案】解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=∴∠OAB=30°（2）如圖10，連接O‘P，O‘M.當(dāng)PM與⊙O‘相切時，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等邊三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t∴t=，t=3即：t=3時，PM與⊙O‘相切.（3）如圖9，過點Q作QE⊥x于點E∵∠BAO=30°，AQ=4t∴QE=AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t∴Q點的坐標(biāo)為（-t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ===（）當(dāng)t=3時，S△PQR最小=（4）分三種情況：如圖11.eq\o\ac(○,1)當(dāng)AP=AQ1=4t時，∵OP+AP=∴t+4t=∴t=或化簡為t=-18eq\o\ac(○,2)當(dāng)PQ2=AQ2=4t時過Q2點作Q2D⊥x軸于點D，∴PA=2AD=2AQ2·cosA=t即t+t=∴t=2eq\o\ac(○,3)當(dāng)PA=PQ3時，過點P作PH⊥AB于點HAH=PA·cos30°=（-t）·=18-3tAQ3=2AH=36-6t得36-6t=4t，∴t=綜上所述，當(dāng)t=2，t=，t=-18時，△APQ是等腰三角形.40。（2022云南楚雄）已知：如圖，⊙與軸交于C、D兩點，圓心的坐標(biāo)為（1，0），⊙的半徑為，過點C作⊙的切線交于點B（－4，0）．（1）求切線BC的解析式；（2）若點P是第一象限內(nèi)⊙上一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP＝120°，求點的坐標(biāo)；（3）向左移動⊙（圓心始終保持在上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）連接，∵是⊙A的切線，∴．∴．∵，∴，∴．∴△∽△，∴．即，∴．∴點坐標(biāo)是（0，2）．設(shè)直線的解析式為，∵該直線經(jīng)過點B（－4，0）與點（0，2），∴解得∴該直線解析式為．（2）連接，過點作．由切線長定理知．在中，∵，∴．在中，由勾股定理得 ．∴．又∵．∴∽，∴，∴．則是點的縱坐標(biāo)，∴，解得．∴點的坐標(biāo)．(3)如圖示，當(dāng)在點的右側(cè)時∵、在⊙上，∴．若△是直角三角形，則，且為等腰直角三角形．過點作，在中由三角函數(shù)可知．又∵∽，∴，∴．∴，∴點坐標(biāo)是．當(dāng)在點的左側(cè)時：同理可求點坐標(biāo)是．41.（2022湖北隨州）如圖，點P為△ABC的內(nèi)心，延長AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長線上有一點E，滿足AD＝AB·AE，求證：DE是⊙O的切線.第20題圖【答案】證明：連結(jié)DC，DO并延長交⊙O于F，連結(jié)AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切線42.（2022四川樂山）如圖（10）AB是⊙O的直徑，D是圓上一點，＝，連結(jié)AC，過點D作弦AC的平行線MN。（1）求證明人：MN是⊙O的切線；（2）已知AB＝10，AD＝6，求弦BC的長?！敬鸢浮浚?）證明：連結(jié)OD，交AC于E，如圖（2）所示，因＝，所以O(shè)D⊥AC又AC∥MN，所以O(shè)D⊥MN所以MN是是⊙O的切線（2）解：設(shè)OE＝ｘ，因AB＝10，所以O(shè)A=5ED＝5－x又因AD=6在直角三角形OAE和直角三角形DAE中，因OA－OE＝AE－ED，所以5－x＝6－（5－x）解得x＝因AB是⊙O的直徑，所以∠ACB＝90所以O(shè)D∥BC所以O(shè)E是△ABC的中位線，所以BC＝2OE＝2＝43.（2022陜西西安）如圖，在，斜邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE。（1）若BE是△DEC外接圓的切線，求∠C的大??；（2）當(dāng)AB=1，BC=2時，求△DEC外接圓的半徑?！敬鸢浮拷猓海?）∵DE垂直平分AC，∴∠DEC=90°，∴DC為△DEC外接圓的直徑，∴DC的中點O即為圓心。連接OE，又知BE是⊙O的切線，∴∠EBO+∠BOE=90°在Rt△ABC中，E是斜邊AC的中點，∴BE=EC，∴∠EBC=∠C又∵∠BOE=2∠C，∴∠C+2∠C=90°∴∠C=30°（2）在，∵∠ABC=∠DEC=90°∴△ABC∽△DEC∴△DEC外接圓的半徑為44.（2022廣東東莞）如圖，PA與⊙O相切于A點，弦AB⊥OP，垂足為C，OP與⊙O相交于D點，已知OA＝2，OP＝4．⑴求∠POA的度數(shù)；⑵計算弦AB的長．AABCDPO第14題圖【答案】⑴∵PA與⊙O相切于A點∴∠PAO＝90°∵OA＝2，OP＝4∴∠APO＝30°∴∠POA＝60°⑵∵AB⊥OP∴△AOC為直角三角形，AC＝BC∵∠POA＝60°∴∠AOC＝30°∵AO＝2∴OC＝１∴在Rt△AOC中，∴AB＝AC＋BC＝45.（2022福建三明） 如圖，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，F(xiàn)B是⊙O的切線交AD的延長線于點F。（1）求證：DE是⊙O的切線；（6分）（2）若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長。（6分）【答案】（1）證明：連結(jié)OD …………1分∵AD平分∠BAC又OA=OD∴AE（2022湖北襄樊） 如圖6，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連結(jié)OP，弦CB（2022山東東營）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°．(1)試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若⊙O的半徑為5，求點A到CD所在直線的距離．OO(第21題圖)ABDCO(第21題圖)ABDCE【答案】解：（1）△O(第21題圖)ABDCE∠CAD=∠CDA=30°.連接OC,AO=CO,△AOC是等腰三角形．………2分∠CAO=∠ACO=30°,∠COD=60°．…………………3分在△COD中，又∠CDO=30°，∠DCO=90°．………………4分CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切．……………5分（2）過點A作AE⊥CD，垂足為E.………………6分在Rt△COD中，∠CDO=30°，OD=2OC=10．AD=AO+OD=15……………7分在Rt△ADE中，∠EDA=30°，點A到CD邊的距離為：．…………9分48.（2022湖北孝感）如圖1，⊙O是邊長為6的等邊△ABC的外接圓，點D在BC上運動（不與B、C重合），過點D作DE⌒4分）⌒【答案】解：（1）如圖1，又∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED…………2分 …………4分（2）①相切：②如圖2，當(dāng)D為弧BC的中點時，有弧BD=弧DC。 …………8分作Rt△ADC的內(nèi)切線圓⊙O′分別切AD、AC、DC于F、G、H點，易知CG=CH=r， …………10分49.（2022江蘇鎮(zhèn)江）推理證明（本小題滿分7分）如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連結(jié)OE，CD=，∠ACB=30°.（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）分別求AB，OE的長；（3）填空：如果以點E為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為1，則r的取值范圍為.【答案】（1）∵AB是直徑，∴∠ADB=90°（1分）∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線.（3分）（2）在，（4分）（3）（7分）50．（2022廣東汕頭）如圖，PA與⊙O相切于A點，弦AB⊥OP，垂足為C，OP與⊙O相交于D點，已知OA＝2，OP＝4．（1）求∠POA的度數(shù)；（2）計算弦AB的長．第14題圖第14題圖CBPDAO【答案】解：（1）∵PA與⊙O相切于A點∴OA⊥AP在Rt△OAP中，由OA＝2，OP＝4得∴∴．（2）∵弦AB⊥OP，∴，∵∴∴∴．51．（2022天津）已知是⊙的直徑，是⊙的切線，是切點，與⊙交于點.（Ⅰ）如圖①，若，，求的長（結(jié)果保留根號）；（Ⅱ）如圖②，若為的中點，求證直線是⊙的切線.AABCOP圖①ABCOPD圖②第（22）題【答案】解：（Ⅰ）∵是⊙的直徑，是切線，∴.在Rt△中，，，∴.由勾股定理，得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ)如圖，連接、，ABCOPD∵ABCOPD∴，有.在Rt△中，為的中點，∴.∴.又∵，∴.∵，∴.即.∴直線是⊙的切線.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分52．（2022內(nèi)蒙古包頭）如圖，已知是的直徑，點在上，過點的直線與的延長線交于點，，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）點是的中點，交于點，若，求的值．OONBPCAM【答案】ONBPONBPCAM又，．又是的直徑，，，即，而是的半徑，是的切線． （3分）（2），，又，． （6分）（3）連接，點是的中點，，，而，，而，，，，又是的直徑，，．，． （10分）53．（2022廣西桂林）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結(jié)BF．H（1）證明：AF平分∠BAC；H（2）證明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的長．【答案】證明（1）連結(jié)OFHH∵FH是⊙O的切線∴OF⊥FH……………1分∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC………2分∴∴AF平分∠BAC…………3分（2）證明：由（1）及題設(shè)條件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2……………4分H∴∠1+∠4=∠2+∠3H∴∠1+∠4=∠5+∠3……………5分∠FDB=∠FBD∴BF=FD………………6分（3）解：在△BFE和△AFB中∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F∴△BFE∽△AFB………………7分∴，……………8分∴∴……9分∴∴AD==…10分54．（2022廣西玉林、防城港）（8分）如圖8，MN是⊙O的切線，B為切點，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45，過點C的直線與⊙O、MN分別交于A、D兩點，過C作CE⊥BD于點E。（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若∠D＝30，BD＝2＋2，求⊙O的半徑r?！敬鸢浮浚?）證明：連接OB，OC，MN是⊙O的切線，所以O(shè)B⊥MN，又CE⊥MN，MN∥OB，又∠CBN＝45，OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝∠CBN＝∠BCE，所以有OB＝OC＝CE＝BE四邊形OBEC是正方形，所以O(shè)C⊥CE，故CE是⊙O的切線。（2）因BE＝CE，BD＝BE＋DE，設(shè)CE＝x，∠D＝30，所以CD＝2ｘ，DE＝x，故有：x＋x＝2＋2x＝2故圓的半徑為2。55．（2022四川自貢）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝30°，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于D，CD＝3cm，（1）求⊙O的直徑。（2）若動點M以3cm/s的速度從點A出發(fā)沿AB方向運動。同時點N以s的速度從B點出發(fā)沿BC方向運動。設(shè)運動的時間為t(0≤t≤2)，連結(jié)MN，當(dāng)t為何值時△BMN為Rt△？并求此時該三角形的面積？【答案】56．（2022山東荷澤）（本題滿分12分）如圖，△OAB中，OA＝OB，∠A＝30°，⊙O經(jīng)過AB的中點E分別交OA、OB于C、D兩點，連接CD．⑴求證：AB是⊙O的切線．⑵求證：CD∥AB．⑶若CD＝，求扇形OCED的面積．AABCDEO22題圖【答案】⑴證明：連接OE，∵OA＝OB，E是BC的中點，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切線。⑵在△OAB，△OCD中，∠COD＝∠AOB，OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB，∴CD∥AB⑶∵CD∥AB，∠A＝30°，OE⊥AB，CD＝，∴∠OCD＝30°，OE⊥CD，CF＝，∠COD＝120°，OC＝＝4，∴S扇形OCED＝＝ABCABCDEO22題圖57．（2022湖北咸寧），在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．（1）直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說明理由；（2）若，求CD的長．AAFCGODEB（第20題）【答案】解：（1）直線FC與⊙O相切．……1分AFAFCGODEB（第20題）132連接．∵，∴……2分由翻折得，，．∴．∴OC∥AF．∴．∴直線FC與⊙O相切．……4分（2）在Rt△OCG中，，∴．……6分在Rt△OCE中，．……8分∵直徑AB垂直于弦CD，∴．……9分58．（2022廣西欽州市）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，AE切⊙O于點A，交BC的延長線于點E，連接AC．（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的長；（2）求證：AE2＝EB·EC．【答案】解：（1）解法一：解法二：∵AB為⊙O的直徑，∵AB為⊙O的直徑，∠B＝30°，∴∠ACB＝90°．……1分∴AC＝AB＝1，BC＝AB?cos30°＝…2分∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，∵弦CD⊥直徑AB于點M，∴BC＝AB?cos30°＝2×.…2分∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分∵弦CD⊥直徑AB，∠B＝30°，∴CD＝2CM＝2×∴CM＝BC=.……4分＝2×＝……5分CD＝2CM＝．……5分（其它解法請酌情給分）（2）證明：∵AE切⊙O于點A，AB為⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分∴∠ACE＝∠BAE＝90°． 7分又∵∠E＝∠E，∴Rt△ECA∽Rt△EAB． 8分∴． 9分∴AE2＝EB?EC． 10分59．（2022鄂爾多斯）如圖，AB為⊙O的直徑，劣弧，BD∥CE，連接AE并延長交BD于D。求證：（1）BD是⊙O的切線（2）【答案】證明：（1）∵∴∠1=∠2，AC=AE∴AB⊥CE∵CE∥BD∴AB⊥BD∴BD是⊙O的切線（2）連接CB∵AB是⊙O的切線∴∠ACB=90°∵∠ABD=90°∴∠ACB=∠ABD∵∠1=∠2∴△ACB∽△ABD∴∴（證法二，連接BE，證明略）60．（2022新疆維吾爾自治區(qū)新疆建設(shè)兵團）如圖是一個量角器和一個含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OE。（1）求證：DE∥CF；（2）當(dāng)OE=2時，若以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB的長。（3）若OE=2，移動三角形ABC且使AB邊始終與半圓O相切，直角頂點B在直徑DE的延長線上移動，求出點B移動的最大距離?！敬鸢浮拷猓海?）連結(jié)OF∵AB切半圓O于 F點∴OF⊥AB∴∠OFB=∠ABC=90°∴OF∥BC∵BC=OE=OF∴四邊形OFCB為平行四邊形∴CF∥OB即DE∥CF(2)在Rt△ABC中，∠A=30°BC=OE=2∴AC=4AB=∵△OFB∽△ABC∴（3）在Rt△ABC中，BC=OE=2∠A=30°則AC=4當(dāng)AB與半圓O相切于E點時，B點與E點重合，BE=0當(dāng)AB與半圓O相切于A點時，△OAB≌△CBAOB=AC=4BE=OB-OE=4-2=2即點B在直徑DE的延長線上移動的最大距離為2.61．（2022廣西梧州）如圖，⊙O的直徑AC=13，弦BC=12，過點A作直線MN，使∠BAM=eq\f(1,2)∠AOB，（1）求證：MN是⊙O的切線。（2）延長CB交MN于點D，求AD的長?！敬鸢浮緿ABCOMN（1）證明：∵∠BAM=eq\f(1,2)∠AOB(已知)，∠BCA=eq\f(1,2)∠AOB（同弧所對圓周角是圓心角的一半），∴∠BAM=∠BCA（等量代換），DABCOMN∵∠CBA=90°（直徑所對圓周角是直角）∴∠BCA+∠CAB=90°，∴∠BAM+∠CAB=90°，即：∠CAM=90°∴MN是⊙O的切線。（2）在Rt△ABC中，AC=13，BC=12，根據(jù)勾股定理得：AB=5∵∠BCA=∠ACD，∠CBA=∠CAD=90°,∴△DAB∽△CAB，∴,即：，∴AD=。62．（2022廣西南寧）如圖11-①，為⊙的直徑，與⊙相切于點,與⊙相切于點，點為延長線上一點，且．（1）求證：為⊙的切線；（2）連接，的延長線與的延長線交于點圖11-①圖11-②(如圖11-②所示)．若,求線段和的長．【答案】（1）連接1分∵∴∴2分又∵與⊙相切于點∴3分∴∴為⊙的切線4分（2）過點作于點，∵分別切⊙于點∴5分設(shè)為，則，在中，解得：6分∵∴∵∴∵∴∴7分∴∴8分解法一：連接，∴∴9分在中，10分解法二：∵∴9分∴,,解得10分63．（2022廣東茂名）已知⊙O1的半徑為R，周長為C．（1）在⊙O1內(nèi)任意作三條弦，其長分別是、、．求證：++<C；（3分）(第25題（1）圖)(第25題（1）圖)（第25題備用圖）（第25題備用圖）（2）如圖，在直角坐標(biāo)系O中，設(shè)⊙O1的圓心為O1．①當(dāng)直線：與⊙O1相切時，求的值；（2分）②當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與⊙O1有兩個交點時，求的取值范圍．（3分）（第25題備用圖）：（第25題備用圖）【答案】（1）證明：，，．++，因此，++<C．（2）解：①如圖，根據(jù)題意可知⊙O1與軸、軸分別相切，設(shè)直線與⊙O1相切于點M，則O1M⊥l，過點O1作直線NH⊥軸，與交于點N，與軸交于點H，又∵直線與軸、軸分別交于點E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，∴點N的坐標(biāo)為N（R，），把點N坐標(biāo)代入得：，解得：，②如圖，設(shè)經(jīng)過點O、O1的直線交⊙O1于點A、D，則由已知，直線OO1：是圓與反比例函數(shù)圖象的對稱軸，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與⊙O1直徑AD相交時（點A、D除外），則反比例函數(shù)的圖象與⊙O1有兩個交點．過點A作AB⊥軸交軸于點B，過O1作O1C⊥軸于點C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以O(shè)B＝AB＝sin45o＝，因此點A的坐標(biāo)是A，將點A的坐標(biāo)代入，解得：．同理可求得點D的坐標(biāo)為D，將點D的坐標(biāo)代入，解得：所以當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與⊙O1有兩個交點時，的取值范圍是：64．（2022云南昭通）如圖9，已知直線l的解析式為y=－x＋6,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線n從原點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒，運動過程中始終保持n∥l,直線n與x軸，y軸分別相交于C、D兩點，線段CD的中點為P，以P為圓心，以CD為直徑在CD上方作半圓，半圓面積為S，當(dāng)直線n與直線l重合時，運動結(jié)束．（1）求A、B兩點的坐標(biāo);（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）直線n在運動過程中，①當(dāng)t為何值時，半圓與直線l相切？②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=？若存在，求出t值．若不存在，說明理由.【答案】解：（1）∵y=－x＋6,令y=0，得0=－x＋6,x=6．∴A(6,0)．令x=0，得y=6,∴B（0,6）．……2分（2）∵OA=OB=6，∴△AOB是等腰直角三角形．∵n∥l，∴∠CDO=∠BAO=45°，∴△COD為等腰直角三角形，OD=OC=t．CD=∴．，∴．……8分（3）①分別過點D、P作DE⊥AB于點E，PF⊥AB于點F．AD=OA-OD=6-t,在Rt△ADE中，sin∠EAD=，DE=，∴PF=DE=．當(dāng)PF=PD時，半圓與l相切．即，t=3．當(dāng)t=3時，半圓與l相切．……11分②存在．∵．．若，則，，，．∴存在，使得．…………14分65．（2022遼寧大連）如圖10，△ABC內(nèi)接于⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，（1）判斷DC是否為⊙O的切線，并說明理由；（2）證明：△AOC≌△DBCCDCDB圖10AO【答案】66．（2022貴州遵義）如圖，在⊿ABC，∠C=90°，AC+BC=8，點O是斜邊AB上一點，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC、BC相切于點D、E.(1)當(dāng)AC=2時，求⊙O的半徑；(2)設(shè)AC=χ，⊙O的半徑為y,求y與χ的函數(shù)關(guān)系式?！敬鸢浮俊敬鸢浮拷夥ㄒ唬哼B接OD、OE、OC……1分∵D、E為切點，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………2分∵S△ABC=S△AOC+S△BOC∴AC×BC=AC×OD+BC×OE……3分∵AC+BC=8,AC=2,∴BC=6∴×2×6=×2×OD+×2×OE……4分而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半徑為………………5分解法二：連接OD、OE………1分∵D、E為切點，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE……………2分∴∠C＝90°，∴OECD為正方形∴OD＝OE＝EC＝CD＝t………3分而△AOD∽△ABC，∴………