4.2提取公因式法一、選擇題1.下列各組代數(shù)式中，沒有公因式的是()A.ax+y和x+yB.2x和4yC.a-b和b-aD.-x2+xy和y-x【答案】A【解析】【分析】找公因式即一要找系數(shù)的最大公約數(shù)，二要找相同字母或相同因式的最低次冪．【詳解】A．兩個(gè)沒有公因式，正確；B．顯然有系數(shù)的最大公約數(shù)是2，故錯(cuò)誤；C．只需把b﹣a=﹣（a﹣b），兩個(gè)代數(shù)式有公因式，故錯(cuò)誤；D．﹣x2+xy=x（y﹣x），顯然有公因式y(tǒng)﹣x，故錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的確定，掌握找公因式的正確方法，注意互為相反數(shù)的式子，只需改變符號(hào)即可變成公因式．2.下列分解因式正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)因式分解的步驟：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要徹底．【詳解】A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故C選項(xiàng)正確；D.=（x-2）2，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步驟：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要徹底．3.下列各式由左到右的變形正確的是()A.-x-y=-(x-y)B.-x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2)C.(y-x)2=(x-y)2D.(y-x)3=(x-y)3【答案】C【解析】【分析】提出－號(hào)即可．【詳解】A．-x-y=-(x+y)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，故本選項(xiàng)正確；D．(y-x)3=[－(x-y)]3=－(x-y)3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，提出負(fù)號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要變號(hào)．4.把10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是()A.5aB.(x+y)2C.5(x+y)2D.5a(x+y)2【答案】D【解析】找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)次冪，即可確定公因式．5.把多項(xiàng)式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是()A.m+1B.2mC.2D.m+2【答案】D【解析】試題分析：先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），=（m﹣1）（m+1+1），=（m﹣1）（m+2）．故選D．考點(diǎn)：因式分解-提公因式法．點(diǎn)評(píng)：先提取公因式，進(jìn)行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后還剩1．6.已知(2x-10)(x-2)-(x-2)(x-13)可分解為(x+a)(x+b)，則ab=()A.8或-B.-8或-C.8或D.-8或【答案】D【解析】【分析】首先利用提取公因式法分解因式進(jìn)而得出a，b的值即可得出答案．【詳解】（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）=（x﹣2）[（2x﹣10）﹣（x﹣13）]=（x﹣2）（x+3）．∵（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）可分解因式為（x+a）（x+b），∴a=﹣2，b=3或a=3，b=﹣2，則ab的值是：（﹣2）3=﹣8或3﹣2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了提取公因式法分解因式，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．二、填空題7.分解因式：a2-5a=________．【答案】a（a-5）【解析】分析:利用提公因式法，將各項(xiàng)的公因式a提出，將各項(xiàng)剩下的商式寫在一起，作為因式.詳解:原式=a（a-5）故答案為：a（a-5）.點(diǎn)睛:本題考查了用提公因式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.8.寫出下列各式分解因式時(shí)應(yīng)提取的公因式：(1)ax-ay應(yīng)提取的公因式是________；(2)3mx-6nx2應(yīng)提取的公因式是__________；(3)-x2+xy-xz應(yīng)提取的公因式是___________.【答案】(1).a(2).3x(3).-x【解析】【分析】根據(jù)分解因式，可得公因式．【詳解】（1）原式=a(x-y)，應(yīng)提取的公因式是a；（2）原式=3x（m－2nx），應(yīng)提取的公因式是3x；（3）原式=－x（x-y+z），應(yīng)提取的公因式是-x．故答案為：a；3x；-x．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的確定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再確定公共因式．9.在括號(hào)前面添上“+”或“-”號(hào)：(1)x-y=__________(y-x)；(2)(x-y)2=_________(y-x)2；(3)(3-x)(5-x)=___________(x-3)(x-5)；(4)(a-b)3=__________(b-a)3；(5)－x2＋8x－16＝____________(x2－8x＋16)．【答案】(1).-(2).+(3).+(4).-(5).-【解析】【分析】看等號(hào)兩邊的符號(hào)是否相同，相同的前面加正號(hào)，符號(hào)相反的前面加負(fù)號(hào)．【詳解】(1)x-y=－(y-x)；(2)(x-y)2=+(y-x)2；(3)(3-x)(5-x)=+(x-3)(x-5)；(4)(a-b)3=－(b-a)3；(5)－x2＋8x－16=－(x2－8x＋16)．故答案為：－，+，+，－，－．【點(diǎn)睛】本題考查了符號(hào)的變化．注意互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的平方相等，還要注意負(fù)負(fù)得正的應(yīng)用．10.若a-b=6，ab=7，則ab2-a2b的值為___________.【答案】-42【解析】【分析】先提公因式ab，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】當(dāng)a﹣b=6，ab=7時(shí)，ab2﹣a2b=ab（b﹣a）=7×（﹣6）=﹣42．故答案為：﹣42．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，整理成已知條件的形式，再運(yùn)用整體代入法求解是解題的關(guān)鍵．11.因式分解：(a-b)2-(b-a)=___________.【答案】（a﹣b）（a﹣b+1）【解析】【分析】先提取后邊項(xiàng)的負(fù)號(hào),再提取公因式（a-b）即可.【詳解】解:（a﹣b）2﹣（b﹣a）=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1）.故答案為：（a﹣b）（a﹣b+1）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解這一知識(shí)點(diǎn)，其步驟為：有公因式的先提公因式，沒有公因式的考慮運(yùn)用公式法，分解因式必須分解到每一步都不能再分解為止.三、解答題12.把下列各式分解因式：(1)4x3-6x2；(2)2a2b+5ab+b；(3)6p(p+q)-4q(p+q)；(4)(x-1)2-x+1；(5)－3a2b＋6ab2－3ab.【答案】(1)2x2(2x-3)；(2)b(2a2+5a+1)；(3)2(p+q)(3p-2q)；(4)(x-1)(x-2)；(5)－3ab(a－2b＋1).【解析】【分析】（1）直接利用提取公因式法，提取公因式2x2，進(jìn)而分解因式得出答案；（2）直接利用提取公因式法，提取公因式b，進(jìn)而分解因式得出答案；（3）直接利用提取公因式法，提取公因式2（p+q），進(jìn)而分解因式得出答案；（4）直接利用提取公因式法，提取公因式（x﹣1），進(jìn)而分解因式得出答案．（5）直接利用提取公因式法，提取公因式﹣3ab，進(jìn)而分解因式得出答案．【詳解】（1）原式==；（2）原式=b?2a2+b?5a+b?1=b(2a2+5a+1)；（3）原式=2(p+q)?3p-2(p+q)?2q=2(p+q)(3p-2q)；（4）原式=(x-1)2-（x-1）=(x-1)(x-1-1)=(x-1)(x-2)；（5）原式=-3ab?a+（-3ab）?（-2b）+（-3ab）?1=－3ab(a－2b＋1)．【點(diǎn)睛】本題考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵．13.利用因式分解進(jìn)行計(jì)算：(1)2003×99－27×11；×＋×－×.【答案】(1)198000；(2)17.【解析】【分析】（1）根據(jù)提公因式法可以解答本題；（2）根據(jù)提公因式法可以解答本題．【詳解】（1）原式=2003×99－3×99=99×(2003－3)=99×2000=198000；（2）原式=＋－2.5)=×31=17．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．14.如圖，操場的兩端為半圓形，中間是一個(gè)長方形．已知半圓的半徑為r，直跑道的長為l，請(qǐng)用關(guān)于r，l的多項(xiàng)式表示這個(gè)操場的面積．這個(gè)多項(xiàng)式能分解因式嗎？若能，請(qǐng)把它分解因式，并計(jì)算當(dāng)r＝40m，l＝30πm時(shí)操場的面積(結(jié)果保留π)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】πr2＋2rl；能分解因式；πr2＋2rl＝r(πr＋2l)；當(dāng)r＝40m，l＝30πm時(shí)，操場的面積＝4000π(m2)．【解析】【分析】根據(jù)操場面積=圓的面積+長方形面積列式即可，然后提公因式分解，最后代入求值．【詳解】操場面積=圓的面積+長方形面積=πr2＋2rl=r(πr＋2l)．當(dāng)r=40m，l=30πm時(shí)，操場的面積=40×（40π+2×30π）=4000π(m2)．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用．正確列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．15.小華認(rèn)為在多項(xiàng)式2x2+3x+1中一定有因式(x+1)，他是這樣想的：2x2+3x+1=2x2+2x+x+1=2x(x+1)+(x+1)=(x+1)(2x+1).你認(rèn)為他這樣做有道理嗎？如果你認(rèn)為有道理，試著看看x2+3x+2中有沒有因式(x+1)；如果你認(rèn)為沒有道理，試說出其中的錯(cuò)誤所在.【答案】有道理，x2+3x+2中有因式(x+1).【解析】【分析】根據(jù)材料提供的例子，把3x拆成2x+x，將原式變形，再提公因式分解即可．【詳解】有道理．理由如下：x2+3x+2=(x2+2x)+(x+2)=x(x+2)+(x+2)=(x+2)(x+1)∴x2+3x+2中有因式(x+1)．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解答本題的關(guān)鍵．16.計(jì)算(-2)2019+(-2)2018的結(jié)果.【答案】-22018【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式進(jìn)而計(jì)算得出答案．【詳解】（﹣2）2019+（﹣2）2018=（﹣2）2018×（﹣2+1）=﹣22018．【點(diǎn)睛】本題考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵．17.利用因式分解計(jì)算或說理：(1)523-521能被120整除嗎？(2)817-279-913能被45整除嗎？【答案】(1)523-521能被120整除；(2)817-279-913能被45整除.【解析】【分析】（1）先提取520，整理即可得出結(jié)論．（2）觀察817、279、913這三個(gè)數(shù)，都可以寫成底數(shù)為3的數(shù)：328、327、326，提取公因式326，整理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）中可以先提取520，則523-521=520(53-5)=520×120，故能被120整除；（2）∵45可以分解為5×3×3，∴只需說明817-279-913能分解為5×3×3即可．∵817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13=328-327-326=326×(32-3-1)=326×5=324×32×5=324×45．∴817-279-913能被45整除．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握提取公因式法的方法和同底數(shù)冪的乘法是解決問題的關(guān)鍵．18.閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.(1)上述因式分解的方法是________，共應(yīng)用了________次；(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，則需應(yīng)用上述方法______次，結(jié)果是________；(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n為正整數(shù)).【答案】(1)提取公因式法；2；(2)2018；(x+1)2019；(3)(1+x)n+1.【解析】【分析】本題由特殊推廣到一般