2021年中考必刷真題《第十專題：幾何綜合證明》

1.（2020.盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是射線AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CF,以CF

為對(duì)角線作正方形CGFE（C,G,F,E按逆時(shí)針排列），連接BE,DG.

⑴當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)。

①求證：BE=DG;

②求證：CD-FD=>/2BE;

⑵設(shè)正方形ABCD的面積為Si，正方形CGFE的面積為S2，以C,G,D,F為頂點(diǎn)的四邊形的

2.（2020.阜新）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE）,BG的延長(zhǎng)線與直線DE

交于點(diǎn)H。

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：BG=DE,BG±DE;

（2）將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周。

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：BH-DH=V2CH;

②當(dāng)NDEC=45°時(shí)，若AB=3CE=1,請(qǐng)直接寫出線段DH的長(zhǎng)。

3.（2020.營(yíng)口）如圖1.在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,點(diǎn)E、F分

別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且/EAF=60°,試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系。

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使GD=BE,連結(jié)AG,先證明4ABE里△ADG,

再證明△AEFgaAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

探索延伸：如圖2,若四邊形ABCD中,AB=AD,NB+ND=180°,點(diǎn)E、F分別是BC、DC上的點(diǎn),

且NEAF=』NBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由。

2

如圖3.在四邊形ABCD中，ADZ^BC（BOAD）,ZB=90°,AB=BC=6,E是邊AB上一點(diǎn)，當(dāng)/

DCE=45°,BE=2時(shí)，貝DE的長(zhǎng)為一.

1

4.(2020.鐵嶺)在等腰4ADC和等腰4BEC中，ZADC=ZBEC=90°,BC<CD,將ABEC繞點(diǎn)C逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AB,點(diǎn)0為線段AB的中點(diǎn)，連接D0,E0

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到CD邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段D0與E0的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程,

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若BC=4,CD=2>/6,在aBEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NACB=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫

出線段0D的長(zhǎng)。

5.(2020.錦州)已知AAOB和AMON都是等腰直角三角形(—OA<OM=ON),ZA0B=ZM0N=90°

2

(1)如圖1,連接AM,BN,求證：ZXAOM絲aBON

(2)若將△MON繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖2,當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證:BN2+AN2=2ON2;

②當(dāng)點(diǎn)A,M,N在同一條直線上時(shí)，若OB=4,ON=3,請(qǐng)直接寫出線段BN的長(zhǎng)。

2

6.(2020.沈陽(yáng))在aABC中，AB=AC,NBAC=a，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB,將

線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接DB,DC。

(1)如圖1,當(dāng)a=60"時(shí)，①求證：PA=DC；②求/DCP的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)a=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出PA和DC的數(shù)量關(guān)系。

(3)當(dāng)a=120°時(shí)，若AB=6,BP=JW1，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離為

7.(2020.朝陽(yáng))如圖,在RtZ\ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,M是AC邊上的一點(diǎn)，連接BM,

作AP1BM于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。

(1)如圖1,求證：AM=CE

GE

(2)如圖2,以AM、BM為鄰邊作AMBG,連接GE交BC于點(diǎn)N,連接AN,求——的值;

AN

(3)如圖3,若M是AC的中點(diǎn)，以AB,BM為鄰邊作AGMB,連接GE交BC于點(diǎn)N,連

接AN,經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)±NC士=上1，請(qǐng)直接寫出G匕E的值。

BC8AN

：.Mi=ylAH2+HN2=5k

.GE475

>,-----------

AN5

8.(2020.大連)如圖l.^ABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,AC上，BE=CE,點(diǎn)G在線

段CD上，CG=CA,GF=DE,ZAFG=ZCDE.

(1)填空：與NCAG相等的角是;

(2)用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明；

AC

(3)若NBAC=90°,NABC=2NACD,求——的值。

AB

3

A

D

kECBEC

國(guó)圖2

9.(2020.鞍山)在矩形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BF_LAE于

點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)F。

(1)當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形

形CFH,連接EH。

①如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上,則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;

②如圖2,若點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；

如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖3,若點(diǎn)E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF,M是BH中點(diǎn)，

連接GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值。

圖1圖2圖3

10.(2020.山西)如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),ZAEB=90",將RtZSABE繞點(diǎn)B按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到△CBE'(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C)。延長(zhǎng)AE交CE'于點(diǎn)F,連接DE.

(1)試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，若DA=DE,請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(3)如圖①，若AB=15,CF=3,請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)。

11.在AABC中，AB=AC,/BAC=a，點(diǎn)p為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB,將線段PB

4

繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接DB,DC。

(1)如圖，當(dāng)a=60°時(shí)，①求證：PA=DC;②求NDCP的度數(shù)

(2)如圖，當(dāng)a=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出PA和DC的數(shù)量關(guān)系為—

(3)當(dāng)a=120°時(shí)，若AB=6,BP=J51,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離為

12.(2020.蘇州)問(wèn)題1：如圖①，在四邊形ABCD中，NB=NC=90°,P是BC上一點(diǎn),PA=PD,

ZAPD=90".求證：AB+CD=BC.

問(wèn)題2：如圖②，在四邊形ABCD中，/B=NC=45,P是BC上一點(diǎn)，PA=PD,/APD=90°.求

D

13.(2020.北京)在AABC中,ZC=90",AOBC,D是AB的中點(diǎn),E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接

DE,過(guò)點(diǎn)D作DFJ_DE,交直線BCA于點(diǎn)F,連接EF.

(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AE=a,BF=b,求EF的長(zhǎng)(用含a、b的式子表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明。

5

AA

14.(2020.營(yíng)口)如圖，在矩形ABCD中，AD=kAB,點(diǎn)E是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接AE,過(guò)點(diǎn)A作AFLAE交射線DC于點(diǎn)F。

(1)如圖1,若k=l,則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,若kWl,試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；(用含k的式子

表示)

(3)若AD=2AB=4,連接BD交AF于點(diǎn)G,連接EG,當(dāng)CF=1時(shí)，求EG的長(zhǎng)

15.(2020.撫順)如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B,ZABC=a(0°<a<180°),且AB=CB,

點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合)，作射線AD,并在射線AD上取一點(diǎn)E,

使/AEC=a.連接CE,BE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，a=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出NAEB的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，a=120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)a=120°,12門/0八8=5時(shí)，請(qǐng)直接寫出要的值。

3BE

6

16.(2020.內(nèi)蒙古包頭)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90,AC=4,BC=2,RtZ\ABC繞點(diǎn)C按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到RtAA'B'C,A'C與AB交于點(diǎn)D。

(1)如圖，當(dāng)A'B'〃AC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BELA'C,垂足為E,連接AE.

①求證：AD=BD②求置6"的值;

(2)如圖，當(dāng)A'CJLAB時(shí),過(guò)點(diǎn)D作DM〃A'B',交B'C于點(diǎn)N,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求

DN

的值

NM

17.(2020.安徽)如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，AE=AD,EC與BD

相交于點(diǎn)G,與AD相交于點(diǎn)F,AF=AB.

(1)求證：BD±EC；

(2)若AB=1,求AE的長(zhǎng)；

(3)如圖，連接AG,求證:EG-DG=J^AG

7

參考答案

1.（2020.盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是射線AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CF,以CF

為對(duì)角線作正方形CGFE（C,G,F,E按逆時(shí)針排列），連接BE,DG.

⑶當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)。

①求證：BE=DG;

②求證：CD-FD=A/2BE;

⑷設(shè)正方形ABCD的面積為九,正方形CGFE的面積為S2，以C,G,D,F為頂點(diǎn)的四邊形的

FD

面積為S3,當(dāng)強(qiáng)=￡時(shí)，請(qǐng)直接寫出區(qū)的值。

25S]

s}

解析：（1）:四邊形ABCD,四邊形EFGC都是正方形

JBC=DCZCE=CG,/BCD二NECG二90

,ZBCE=ZDCG

/.△BEC^ADGC

:.BE=DG

(2)過(guò)點(diǎn)G,作GH_LDG,垂足為H,則NDGH=90°,

'/ZCGF=90°

,NDGF二NHGC

取FC的中點(diǎn)，連接0D,0G,則有0F=0D=0G=0C

，點(diǎn)F,D,G,C在同一個(gè)圓上

ZDFG=ZGCD

VGF=GC

AADFG^AHCG

ADF=CH,DG=HG

.'.DH=>/2DG

.?.CD-CH=V2DG

VDG=BE

.\CD-FD=V2BE;

V13

(3)由二■二一可設(shè)S2=13k,Sl=25k

M25

則CD=5〃，F(xiàn)G=y/13k

由勾股定理可得FC=J須

8

在RlzlXCDF中，CD=5〃，F(xiàn)C;而

：.m=^FC2-DC2=4k

過(guò)G作GH±AM,垂足為H,設(shè)IlG=x

,?ZHDG-ZFCG=450

.?.ZHDG=ZIIGD

/.DH=HG=x

.,.FH=FD+DG=4+X

FH2+GH2=FG2

解得：x=2〃或x=-3點(diǎn)（舍去）

.?.S3=SAFGC+SADGF=—+-IH7^2\/k=—

222

15攵

?.■--------_-3--

SI25k10

如圖當(dāng)點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)線上時(shí),

IQI1

S3=SAFGC+SADEC--+-liV^5々=9k

22

S.9k_9

~S^~25k~25

2.（2020.阜新）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE）,BG的延長(zhǎng)線與直線DE

交于點(diǎn)Ho

（1）如圖T,當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：BG=DE,BG±DE;

（2）將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周。

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：BH-DH=A/2CH;

②當(dāng)NDEC=45°時(shí)，若AB=3，CE=1,請(qǐng)直接寫出線段DI1的長(zhǎng)。

9

D

D

AA

H

解析：（1）,??四邊形ABCD,四邊形CEFG都是正方形

/.BC=CD,CG=CE,/BCG=NDCE=90°

.,.△BCG^ADCED

BG=DE/ZDEC=ZBGC

,/ZGBC+ZBGC=90°

ZGBC+ZDEC=90°

ZBHE=90°

BG±DE;

(2)①過(guò)點(diǎn)C作CK1DC交BH于點(diǎn)K

VABCG^ADCE

：.ZCBK=ZCDH

?/ZHCK-ZDCB=90°

ZKCB=ZHCD

VBC=DCD

.,.△KCB^AIICD

BK=DH,CK=CH

.,.HK=V2CH

,.,B11-BK=IIK,BK=DI1

.\BH-DH=V2CH;

②1）當(dāng)NDEC=45°時(shí)，點(diǎn)G與H重合，點(diǎn)D,H,E在同一條直

線上

運(yùn)用勾股定理可得CM=正而DC=3

2

/.DM-VDC2-CM2

734-V2

2

2)過(guò)點(diǎn)C作CM_LDE,垂足為M

10

容易求得CM=MC=也，DM=^DC'-CM12=、I9--=—

2\42

，34+5/2

DH=DM+HM=-----------—

2

3.(2020.營(yíng)口)如圖1.在四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=120°,NB=NADC=90°,點(diǎn)E、F分

別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且/EAF=60°,試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系。

(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使GD=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE^A

ADG,再證明AAEF絲△AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

探索延伸:(2)如圖2,若四邊形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180°,點(diǎn)E、F分別是BC、DC±

的點(diǎn)，且NEAF=1/BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由。

2

(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AD〃BC(BC>AD),NB=90°,AB=BC=6,E是邊AB上一點(diǎn),當(dāng)3

DCE=45°,BE=2時(shí)，貝ljDE的長(zhǎng)為—.

解析：(1)DF+BE=EF

(2)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使GD二BE,連結(jié)AG,

VZB+ZADF=180°,ZGDA+ZADF=180°

ZB-ZGDA

VAB=AD

AAADG^AABE

AAG=AE,ZGAD=ZEAB

1

'/ZEAF=-ZBAD

2

1

.\NEAB+NFAD二一NBAD

2

???NEAF=NEAB+NFAD

???ZGAF=ZGAD+DAF

???NGAF=NEAB+DAF

，ZEAF=ZGAF

VAF=AF

/.△EAF^AGAF

B

圖3

11

，GF=EF

；GF=GD+DF=BE+DF

，DF+BE=EF

(3)過(guò)點(diǎn)C作CM〃AB交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則四邊形ABCM是正方形

1。

VCB=CM,ZDCE-ZBCM,ZMCB+ZA=180°

2

.\DM+BE=DE

設(shè)DE為x,則DM=x-2,

VAB=BC=6

，AD=8-x,AE=6-2=4

AD2+AE2=DE2

.\(8-X)2+42

解得，x=5即DE=5

4.(2020.鐵嶺)在等腰AADC和等腰4BEC中，ZADC=ZBEC=90°,BC<CD,將aBEC繞點(diǎn)C逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AB,點(diǎn)0為線段AB的中點(diǎn)，連接D0,E0

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到CD邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段D0與E0的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程,

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若BC=4,CD=276,在ABEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,當(dāng)3ACB=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫

12

解析：(1)OD±OE,OD=OE

⑵過(guò)點(diǎn)A作AM〃BE,交E0延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接DM,DE。

VAM//BE

ZAMO-ZBEO,ZM0A=ZE0B,NMAD二NECD

\*OA=OB

AAMOA^AEOB

AOM=OE,AM=BE,

VBE=BC

AAM=CE

VDA=DC

AADMA^ADEC

???MOOE,DM=DE,NMDA二NEDC

VZADE+ZMDA=90°

???ZMDE=90°

Z.OD=OE=OM,OD1OE

(3)過(guò)點(diǎn)E做EM_LDC,垂足為M,連接DE

ZACB=60°,ZBCE=ZACD=45°

???ZACE=15°

AZD0C=30°

???BC=4,4BEC是等腰直角三角形

二EC=2>/2

.'.EM=V2,MC=>/6

VCD=AD=2>/6

ADM=CD-CM=V6

由勾股定理求得，DE二2j5

?.,OD=OE=OM,OD1OE

???0D=2

見另一圖，解法相同，可得0D=2近

13

5.(2020.錦州)已知AAOB和AMON都是等腰直角三角形(—OA<OM=ON),ZA0B=ZM0N=90°

2

(1)如圖1,連接AM,BN,求證：△AOMg^BON

(2)若將△MON繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),①如圖2,當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證:BN2+AN2=2ON2;

②當(dāng)點(diǎn)A,M,N在同一條直線上時(shí)，若OB=4QN=3,請(qǐng)直接寫出線段BN的長(zhǎng)。

(1)證明：VZA0B=ZM0N=90",

ZAOM=ZBON

,.,AO=BO,OM=ON

AAO.M^ABON

⑶①證明：如圖，連接AM

同法可證AAOM絲△BON,

.\AM=BN,Z0AM=Z0BN=450

,ZMAN=Z0AM+Z0AB=900

AM2+AN2=MN2

'：MN2=2ON2,AM=BN

.".BN2+AN2=2ON2;

②過(guò)點(diǎn)。作0E1AM垂足為E

oB

由勾股定理得MN=3jLOE=EM=--

2

再運(yùn)用勾股定理得AE=35

2

.746+372

..AM=AE+EM=----------

2

同理可求得人乂;邈乎

6.(2020.沈陽(yáng))在AABC中，AB=AC,NBAC=a，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB,將

線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接DB,DC。

(1)如圖1,當(dāng)a=60"時(shí)，①求證：PA=DC；②求/DCP的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)a=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出PA和DC的數(shù)量關(guān)系。

(3)當(dāng)a=120°時(shí)，若AB=6,BP=J^i，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離為

14

D

'DA

圖1圖2備用圖

解析：(1)VAB=AC,ZBAC=60°

??.AB=AC=BC,ZABC=60°,

同理可得，PB=PD=BD,ZPBD=600

?,.ZPBA=ZDBC

.,.△PBA^ADBC

,,.PA=DC,ZBCD=ZBAP

VZPAB+ZBAC=180°

.?.ZPAB=120"

VZACB=60°

ZDCP=ZBCD-ZACB=60°

(2)VZBPD=ZBAC=120°,BP=PD,BA=AC

BPPD

BAAC

.,.△PBD^AABC

BPAB

：.ZPBD=ZABC,—=——

BDBC

：.ZPBA-ZDBC

/.△PBA^ADBC

?_P__A___PB

"DC~BD

-BD

------=cos300

BP

.PB

BD3

PAy/3

(3)①當(dāng)aPAB是鈍角三角形時(shí),過(guò)點(diǎn)B作BE±PC垂足為E

".,△PBA^ADBC

ZPAB=ZDCB=60*)

/DCF=300

,?ZPAB=60\ZBEA=90°

ZEBA=30°Fp

D

15

B

.\Ab>-Afi=3,BF=3>/3

2

BP=V31,BF=373

；.EP=2

.\PA=1

..PA一G

■--------

DC3

;.DC=G

.hPG

..DF------

2

②當(dāng)APAB是銳角三角形時(shí)，與①解法相同可得

PA=5

由d=Y3得DC=5相，可求得DF=±?

DC32

7.(2020.朝陽(yáng))如圖,在RtZkABC中,ZBAC=90°,AB=AC,M是AC邊上的一點(diǎn),連接BM,

作AP±BM于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。

(1)如圖1,求證：AM=CE

GE

(2)如圖2,以AM、BM為鄰邊作AMBG,連接GE交BC于點(diǎn)N,連接AN,求——的值;

AN

(3)如圖3,若M是AC的中點(diǎn)，以AB,BM為鄰邊作AGMB,連接GE交BC于點(diǎn)N,連

接AN,經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)N一C三=；1；,請(qǐng)直接寫出G、E一的值。

BC8AN

解析：(1)VAPXBM

/.ZAPB=900

.?.ZABP+ZBAP=900

VZBAC=90°

ZEAC+ZBAP=900

二ZABP=ZEAC

VEC±AC

/.ZACE=ZBAC=90°

16

VAB=AC

/.△ABM^AACE

AAM=CE

(2)過(guò)點(diǎn)E作EH〃AC交BC于H,則ZHEC=90°

VAC/7BG

，HG〃BG

???ZNHE=ZNBG,ZNElkZNGB

VZBAC=90°,AB=AC

.\ZACB=45°z

,/ZACE=90°,

???NECH=NEHC=45°

AEC=AM=EH=BG

/.△GNB^AENII

AGN=NE

VAABM^AACE

—E,ZAMB=ZAEC,AM=CE

???四邊形AMBG是平行四邊形

???AG二BM,ZAGB=ZAMB,BG=AM

ABG=CE/ZAGB=ZAEC,AG=AE,

AAAGB^AAEC

；?NBAG二NCAE

■:ZBAE+ZEAC=90°

???NBAE+NBAG=90"

⑶過(guò)點(diǎn)N作NH1AC垂足為H

設(shè)NC=k，則BC=8k

由勾股定理可得AB=4&k

?.?M是AC中點(diǎn)

.,.AM=2V2k

???由勾股定理得BM=2

在AGMB中，AG=BM=2VlOk,AG〃BM

???ZGAE=ZAPB=90°

VAE=BM

AAG=AE

???由勾股定理得GEE遙k

,/ZHCN=450,ZNIIC-9O0,NC=k

17

.\X1I-IIC--k

2

二AH=AC-HC=4V2k-—k=—k

22

：.^^AH2+HN2=5k

.GE4非

"AN~~5~

8.(2020.大連)如圖l.Z\ABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,AC±,BE=CE,點(diǎn)G在線

段CD上，CG=CA,GF=DE,ZAFG=ZCDE.

(1)填空：與NCAG相等的角是;

(2)用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明；

AC

(3)若NBAC=90°,ZABC=2ZACD,求一的值。

AB

解析：(1)VCG=CA

:.NAGC二NGAC

(2)在DC上截取GN二AF,連接AN,EN.

?/ZAGC=ZGAC,AG=GA

.,.△AGN^AGAF

AAG=FG,ZANG=ZGFA

VGF=DE/ZAFG=ZCDE.

AAN=DE,ZCDE=ZANG

AAN#DE圖1

???四邊形ANED是平行四邊形

AEN/7AB,EN=AD

VBE=CE,

???AI)二EN二,8。

2

(4)延長(zhǎng)DA到N,使AN=AD,連接NC

,/ZBAC=90°,

.,.CD=CN

AZACN=ZACD/

眇

18

ZCNB=90°-ZACN=90°-ZACD,

VZABC=2ZACD

ZACN=180°-ZABC-ZCNB

=180°-2ZACD-(900-ZACD)

=90°-ZACD

AZACN=ZCNB

BC=BN

'：M)=-BD

2

BC=BN=4AD,AB=3AD

AC=VBC2-AB2=SAD

.ACV7

"AB~

9.(2020.鞍山)在矩形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BFJ_AE于

點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)F。

(1)當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形

形CFH,連接EH。

①如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是;

②如圖2,若點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；

如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖3,若點(diǎn)E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF,M是BH中點(diǎn)，

連接GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值。

解析：（1）①過(guò)點(diǎn)H作HM_LBC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

則四邊形MHFC為正方形。r-----------

?.?矩形ABCD是正方形\

二警9°昆忐,

ZBGE=90°B￡CM

：.ZEBG+ZAEB=90°

XVZBAG+ZAEB=90°

?,.ZEBG=ZBAG

VAB=BC,ZABE=ZBCF=90°

19

.".△ABE^ABCF

BE=CF,BF=AE

VFC=FH,

；.BE=FH

VZZHFC=ZFCB=90(>

；.FH〃BE

...四邊形BEHF是平行四邊形

/.BF=EH,BF/7EH

ZI1EG=ZBGE=9O°,AE=EH

AAEIEH

圖2

②①中的結(jié)論成立

證明方法同（1）先證AABE-Z\BCF,然后再證明

四邊形BEI1F是平行四邊形（或者證明△EHMg/XAEB）

問(wèn)題就得到解決。

（2）由前兩問(wèn)我們知道四邊形BCIIF是平行四邊形，又知道M點(diǎn)

為BH的中點(diǎn)，所以連接EF必過(guò)點(diǎn)M,可得FM=ME.因?yàn)?FGE=900

所以GM=LEF。設(shè)EB=X,則CE=2-X。由△ABES/XBCE得

2

AB_BE3x2x

即士=—解得,FC=—

~BC~~FC2FC3

由律2=￡C2+EC2得,4x+4

當(dāng)》=—時(shí)，EF有最小值-----

1313

?1?GM的最小值為

13

10.（2020.山西）如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，ZAEB=90°,將RtaABE繞點(diǎn)B按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到ACBE'（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）。延長(zhǎng)AE交CE'于點(diǎn)F,連接DE.

（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖②，若DA=DE,請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（3）如圖①，若AB=15,CF=3,請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)。

20

解析：(1)四邊形BEFE'是正方形

理由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，ZCE'B=ZAEB=90o,

ZEBE'=90",由題意得NFEB=90°,

所以四邊形BEFE'是矩形，又BE=BE'

所以，四邊形BEFE'是正方形。

(2)CF=FE'

過(guò)點(diǎn)D作DHLEA,垂足為H,由DA=DE,知AH=；AE,由同角的余角相等可得

ZI1DA=ZEABM,ZDIIA=ZAEB=9O,

且AD=AB可得△DHA絲aAEB,

所以AH=BF=FE',又因?yàn)镃E'=AE,故

1

FE'=AH=]CE',即CF=FE'

(3)(參考圖②)可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為X,在Rt/XCE'B中，CE'=3+x,BE'=x,CB=15

勾股定理可求x=9。這樣就得出CE'=AE=12,HE=12-9=3,DH=12

在RtADHE中運(yùn)用勾股定理，得DE=3j方

11.在AABC中，AB=AC,ZBAC=a，點(diǎn)p為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB,將線段PB

繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接DB,DC。

(1)如圖，當(dāng)a=60°時(shí)，①求證：PA=DC;②求/DCP的度數(shù)

(2)如圖，當(dāng)a=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出PA和DC的數(shù)量關(guān)系為____

(3)當(dāng)a=120°時(shí)，若AB=6,BP=JJ1,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離為

解析：(1)由題意知,BC=BA,ZPBA=ZDBC,

BD=BP,所以△PBAg/XDBC,得出：PA=DC

ZBCD=ZBAP=120°,ZACB=60°,所以/DCP=60°.

BCBA

(2)由兩邊成比例且夾角相等可得△PDBs/XACB,所以==一且/DBC=/PBA,所以△

PAPB1

PBA^ADBC,則有一=—,即DC=GPA

DCBD

21

（3）過(guò)點(diǎn)B,D分別作PC的垂線，垂足為E,H

由△PBAs^DBC得NDCB=/PAB=60°,而NACB=30°

所以ZDCP=30°.設(shè)DH=x,則HC=V3x?

因?yàn)锳B=6,ZBAE=60°,解RtZ\AEB得AE=3

BE=36,乂1^=用，解直角三角形得PE=2

所以PC=11,在Rt2\PDH中,WPH2+DH2=PD2

__j3

所以X2+(11-V3x)-=(V31)",解得x=工-或x=-^—

12.（2020.蘇州）問(wèn)題1：如圖①,在四邊形ABCD中,ZB=ZC=90°,P是BC上一點(diǎn)，PA=PD,

ZAPD=90°.求證：AB+CD=BC.

問(wèn)題2：如圖②，在四邊形ABCD中，NB=NC=45,P是BC上一點(diǎn)，PA=PD,NAPD=90".求

AB+CD

的值。

BC

解析：由同角的余角相等得

/APB=NPDC,又/B=/C=90,PA=PD,所以△APBgaPDC

；.AB=PC,DC=BP,

.,.AB+CD=BC.

22

D

過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC的垂線，垂足為E,F.由上一問(wèn)知

AE+DF=EFo又由題中條件

V241

可求得AE=BE=—AB,l)F=FC=——DC

22

V2痣八V2四八

----AB+—DC=BC-(AB+DC)

2--------222

BC=V2(AB+CD)

AB+CD也

BCT

13.（2020.北京）在AABC中，ZC=90,AC>BC,D是AB的中點(diǎn)，E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接

DE,過(guò)點(diǎn)D作DFLDE,交直線BCA于點(diǎn)F,連接EF.

（1）如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AE=a,BF=b,求EF的長(zhǎng)（用含a、b的式子表示）

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明。

1

解析：（1）由中位線定理知DE=/BC=BF=b,EC=AE=a。又知有三個(gè)角是直角的四邊形是矩

形，這樣就可得EF=Ja2+b2.

23

(2)補(bǔ)全圖形如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH〃EC,交ED延長(zhǎng)線于H,則容易證得△AEDgZ\BHD,...AEuBH,

ED=DH,又FD_LEH,/.EF=FH

在宜角三角形HFB中，有BF-+BIIMIF-,/.BF2+AE2=EF'

14.(2020.營(yíng)口)如圖，在矩形ABCD中，AD=kAB,點(diǎn)E是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接AE,過(guò)點(diǎn)A作AFLAE交射線DC于點(diǎn)F。

(1)如圖1,若k=l,則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,若kWl,試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；(用含k的式子

表示)

(3)若AD=2AB=4,連接BD交AF于點(diǎn)G,連接EG,當(dāng)CF=1時(shí)，求EG的長(zhǎng)

解析：(1)由AAS可證AABE絲ZXADF,；.AF=AE

AEAB1

(2)由兩角對(duì)應(yīng)相等，可得△ABEsaADF,.?.}===工

AFADK

即AF=kAE

GFDF122r-

(3)如圖當(dāng)點(diǎn)F在邊DC上時(shí)，由ADGEsZ\BGA,可得/===?=7,求出AG：;AF=彳Jl7.

GABA233

AEAB1V17

再由AABEsaADF,得大m=,求得AE=f—

/YJr/\Lz/L

5V17

再運(yùn)用勾股定理，可得EG=一

6

當(dāng)點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線時(shí)，解法同上，可求得EG=f

15.(2020.撫順)如圖,射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B,NABC=a(0°<a<180°),且AB=CB,

24

點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合)，作射線AD,并在射線AD上取一點(diǎn)E,

使/AEC=a.連接CE,BE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，a=90”時(shí)，請(qǐng)直接寫出NAEB的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，a=120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由；

1CE

(3)當(dāng)a=120°,tanNDAB^7時(shí)，請(qǐng)直接寫出工三的值。

3BE

解析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BFLBE,交AD于點(diǎn)F,由題意知容易得出NABF=NCBE,

ZBAF=ZBCE,又AB=BC,

??.△BAF^ABCE,.-.BF=BE,/.ZAEB=45°

（2）以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，BE為一邊作/FBE=120°,交AD于點(diǎn)F。

與（1）同理，可證aBAF絲ZXBCE,

.\BF=BE,AF=CE,AZBEF=ZBFE=30°

；.AE=AF+EF

乂解廣升加司V3BE.A\l'.（'I-V3BE

25

⑶過(guò)點(diǎn)B作BH_LAE,垂足為H。設(shè)BH=x,則BE=BF=2x,FHhgX,由AE=CE+gBE得

AH=CE+2A/3XV3X,