課時(shí)作業(yè)(三十一)[第31講數(shù)列的綜合應(yīng)用][時(shí)間：45分鐘分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2022·惠州調(diào)研]“l(fā)gx，lgy，lgz成等差數(shù)列”是“y2＝xz”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．[2022·德州二模]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S9＝－18，S13＝－52，等比數(shù)列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，那么b15的值為()A．64B．－64C．128D．－1283．[2022·珠海綜測(cè)]設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，{lgan}成等差數(shù)列，公差d＝lg3，且{lgan}的前三項(xiàng)和為6lg3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．nlg3B．3nC．3nD．3n－14．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為()A．2B．3C.eq\f(1,2)\f(1,3)eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2022·忻州聯(lián)考]成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)a＋8，a＋2，a－2分別為等差數(shù)列的第1、4、6項(xiàng)，則這個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值為()A．120B．90C．80D．606．[2022·南平質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝eq\f(3,2)＋f(x)，x∈R，且f(1)＝eq\f(5,2)，則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)的前20項(xiàng)的和為()A．305B．315C．325D．3357．[2022·大連雙基檢測(cè)]已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，若a1>1，a4>3，S3≤9，設(shè)bn＝eq\f(1,nan)，則使b1＋b2＋…＋bn<eq\f(99,100)成立的最大n值為()A．97B．98C．99D．100圖K31－18．2022年，我國南方省市遭遇旱災(zāi)以及洪水災(zāi)害，為防洪抗旱，某地區(qū)大面積植樹造林，如圖K31－1，在區(qū)域{(x，y)|x≥0，y≥0}內(nèi)植樹，第一棵樹在點(diǎn)A1(0,1)，第二棵樹在點(diǎn)B1(1,1)，第三棵樹在點(diǎn)C1(1,0)，第四棵樹在點(diǎn)C2(2,0)，接著按圖中箭頭方向每隔一個(gè)單位種一棵樹，那么第2022棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(13,44)B．(12,44)C．(13,43)D．(14,43)9．[2022·陜西卷]植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為()A．①和?B．⑨和⑩C．⑨和?D．⑩和?10．[2022·永州調(diào)研]已知等差數(shù)列{an}，對(duì)于函數(shù)f(x)＝x5＋x3滿足：f(a2－2)＝6，f(a2010－4)＝－6，Sn是其前n項(xiàng)和，則S2011＝________.11．[2022·菏澤二模]已知an＝2n－1(n∈N＋)，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖K31－2所示的三角數(shù)陣，記S(m，n)表示該數(shù)陣中第m行中從左到右的第n個(gè)數(shù)，則S(10,6)對(duì)應(yīng)數(shù)陣中的數(shù)是________．135791113151719……圖K31－2圖K31－312．[2022·豐臺(tái)二模]如圖K31－3所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交BA的延長(zhǎng)線于P1，然后以B為圓心，BP1長(zhǎng)為半徑畫弧，交CB的延長(zhǎng)線于P2，再以C為圓心，CP2長(zhǎng)為半徑畫弧，交DC的延長(zhǎng)線于P3，再以D為圓心，DP3長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD的延長(zhǎng)線于P4，再以A為圓心，AP4長(zhǎng)為半徑畫弧，…，如此繼續(xù)下去，畫出的第8道弧的半徑是________，畫出第n道弧時(shí)，這n道弧的弧長(zhǎng)之和為________．13．[2022·紹興質(zhì)檢]已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{xn}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，滿足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，則x2011的值等于________．14．(10分)[2022·江門調(diào)研]某旅游景點(diǎn)2022年利潤(rùn)為100萬元，因市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，若不開發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測(cè)從2022年起每年利潤(rùn)比上一年減少4萬元.2022年初，該景點(diǎn)一次性投入90萬元開發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測(cè)在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下，第n年(n為正整數(shù)，2022年為第1年)的利潤(rùn)為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n)))萬元．(1)設(shè)從2022年起的前n年，該景點(diǎn)不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)為An萬元，開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)為Bn萬元(須扣除開發(fā)所投入資金)，求An、Bn的表達(dá)式；(2)依上述預(yù)測(cè)，該景點(diǎn)從第幾年開始，開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)？15．(13分)[2022·合肥一中月考]已知直線l的方程為3x－2y－1＝0，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an，Sn)在直線l上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)bn＝eq\f(n2Sn＋1,an)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求f(n)＝eq\f(bn,Tn＋24)(n∈N＋)的最大值．eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)[2022·荊州質(zhì)檢]某市為了解決交通擁堵問題，一方面改建道路、加強(qiáng)管理，一方面控制汽車總量增長(zhǎng)，交管部門擬從2022年1月起，在一段時(shí)間內(nèi)，對(duì)新車上牌采用搖號(hào)(類似于抽簽)的方法進(jìn)行控制，制定如下方案：①每月進(jìn)行一次搖號(hào)，從當(dāng)月所有申請(qǐng)用戶以及以前沒有搖到號(hào)的申請(qǐng)用戶中，搖出當(dāng)月上牌的用戶，搖到號(hào)的用戶不再參加以后的搖號(hào)；②當(dāng)月沒有搖到號(hào)的申請(qǐng)者自動(dòng)加入下一個(gè)月的搖號(hào)，不必也不能重復(fù)申請(qǐng)，預(yù)計(jì)2022年1月申請(qǐng)車牌的用戶有10a個(gè)，以后每個(gè)月又有a個(gè)新用戶申請(qǐng)車牌．計(jì)劃2022年1月發(fā)放車牌a個(gè)，以后每月發(fā)放車牌數(shù)比上月增加5%.以2022年1月為第一個(gè)月，設(shè)前n(n∈N*)個(gè)月申請(qǐng)車牌用戶的總數(shù)為an，前n個(gè)月發(fā)放車牌的總數(shù)為bn，使得an>bn成立的最大正整數(shù)為n0.(參考數(shù)據(jù)：＝,＝,(1)求an、bn關(guān)于n的表達(dá)式，直接寫出n0的值，說明n0的實(shí)際意義；(2)當(dāng)n≤n0，n∈N*時(shí)，設(shè)第n個(gè)月中簽率為yn，求證：中簽率yn隨著n的增加而增大．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第n個(gè)月中簽率＝\f(第n個(gè)月發(fā)放車牌數(shù),第n個(gè)月參加搖號(hào)的用戶數(shù))))課時(shí)作業(yè)(三十一)【基礎(chǔ)熱身】1．A[解析]若lgx，lgy，lgz成等差數(shù)列，則2lgy＝lgx＋lgz，即lgy2＝lgxz，則y2＝xz，若y2＝xz，當(dāng)x，z都取負(fù)數(shù)時(shí)，lgx，lgz無意義，故選A.2．B[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－18，,S13＝13a1＋\f(13×12,2)d＝－52，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝－1，))∴b5＝a5＝a1＋4d＝－2，b7＝a7＝a1＋6d＝－4，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q2＝eq\f(b7,b5)＝2，b15＝b7q8＝－4×24＝－64，故選B.3．B[解析]依題意有3lga1＋3lg3＝6lg3，即a1＝3.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a2,a1)，lgq＝lga2－lga1＝d＝lg3，解得q＝3，所以an＝3×3n－1＝3n，故選B.4．D[解析]設(shè)公比為q，又4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解得{an}的公比q＝eq\f(1,3).【能力提升】5．B[解析]由a＋8，a＋2，a－2成等比數(shù)列，得(a＋2)2＝(a＋8)(a－2)，解得a＝10，設(shè)等差數(shù)列為{an}，公差為d，則a1＝18，a4＝12，a6＝8，∴2d＝a6－a4＝－4，d＝－2，則這個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn＝18n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋19n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(19,2)))2＋eq\f(192,4)，∴當(dāng)n＝10或n＝9時(shí)，Sn有最大值90，故選B.6．D[解析]由已知f(x＋1)－f(x)＝eq\f(3,2)，則數(shù)列{f(n)}是等差數(shù)列，公差為eq\f(3,2)，其前20項(xiàng)和為20×eq\f(5,2)＋eq\f(20×19,2)×eq\f(3,2)＝335，故選D.7．B[解析]由a4>3，S3≤9，得a1＋3d>3，且3a1＋3d≤∴3－a1<3d≤9－3a1,2a1<6，則a1<3，即1<a∵首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，∴a1＝2,1<3d≤3，則d＝1，∴等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，則bn＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，b1＋b2＋…＋bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)，由1－eq\f(1,n＋1)<eq\f(99,100)，得n<99，即n的最大值為98，故選B.8．A[解析]OA1B1C1設(shè)為第一個(gè)正方形，種植3棵樹，依次下去，第二個(gè)正方形種植5棵樹，第三個(gè)正方形種植7棵樹，前43個(gè)正方形共有43×3＋eq\f(43×42,2)×2＝1935棵樹，2022－1935＝76,76－44＝32,45－32＝13，因此第2022棵樹在(13,44)點(diǎn)處．9．D[解析]從實(shí)際問題中考慮將樹苗放在最中間的坑旁邊，則每個(gè)人所走的路程和最小，一共20個(gè)坑，為偶數(shù)，在中間的有兩個(gè)坑為10和11號(hào)坑，故答案選D.10．6033[解析]f(x)為奇函數(shù)，所以由f(a2－2)＋f(a2010－4)＝0得f(a2－2)＝f(4－a2010)，所以a2－2＝4－a2010，即a2＋a2010＝6，所以S2011＝eq\f(2011a1＋a2011,2)＝eq\f(2011a2＋a2010,2)＝6033.11．101[解析]觀察知每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1,3,7,13,21，…，相鄰兩項(xiàng)構(gòu)成遞推關(guān)系：a(m＋1,1)＝a(m,1)＋2m，所以a(10,1)＝a(9,1)＋18＝a(8,1)＋16＋18＝a(7,1)＋14＋34＝a(6,1)＋12＋48＝a(5,1)＋10＋60＝a(4,1)12．8eq\f(nn＋1π,4)[解析]從第一道弧開始，半徑依次為1,2,3,4，…，并且從第二道弧開始，每一道弧的半徑比前一道弧的半徑大1，所以第8道弧的半徑為8.弧長(zhǎng)依次為eq\f(π,2)×1，eq\f(π,2)×2，eq\f(π,2)×3，…，eq\f(π,2)×n，所以弧長(zhǎng)之和為eq\f(π,2)×(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(nn＋1π,4).13．4003[解析]設(shè)x8＝m，則x9＝m＋2，x10＝m＋4，x11＝m＋6，且x8＋x11＝x9＋x10，∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)＝0，且f(m)<f(m＋2)<f(m＋4)<f(m＋6)，∴f(m)<0，f(m＋6)>0.若m與m＋6關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則m＋2與m＋4也關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∵f(x)是奇函數(shù)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾，∴m與m＋6關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m＋2與m＋4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m＝－3，x8＝－3，x2011＝x8＋(2011－8)×2＝4003.14．[解答](1)依題意，An是首項(xiàng)為100－4＝96，公差為－4的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以An＝96n＋eq\f(nn－1,2)×(－4)＝98n－2n2；數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(100\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n)))))的前n項(xiàng)和為100n＋eq\f(100,3)×eq\f(1－\f(1,3n),1－\f(1,3))＝100n＋50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))，Bn＝100n＋50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))－90＝100n－40－eq\f(50,3n).(2)由(1)得，Bn－An＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100n－40－\f(50,3n)))－(98n－2n2)＝2n＋2n2－40－eq\f(50,3n)，Bn－An是數(shù)集N*上的單調(diào)遞增數(shù)列，觀察并計(jì)算知B4－A4＝－eq\f(50,81)<0，B5－A5>0，所以從第5年開始，開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)．15．[解答](1)由題意知3an－2Sn－1＝0，①則3an＋1－2Sn＋1－1＝0，②②－①得an＋1＝3an，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列．由3a1－2S1－1＝0，得a1所以an＝3n－1.(2)由①知，2Sn＝3an－1，所以bn＝eq\f(n2Sn＋1,an)