高二數(shù)學重難點知識匯總第九講拋物線一．重難點講解

知識點一拋物線定義

平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線。

(1)定義可歸結為”一動三定”：一個動點設為；一定點(即焦點)；一定直線(即準線)；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為1）。定義中的隱含條件：焦點不在準線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線。

(3)拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離(也稱焦半徑)與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉化使問題簡單化。

知識點二拋物線的標準方程

拋物線標準方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立直角坐標系，這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應用。如下圖所示，分別建立直角坐標系，設出，則拋物線的標準方程如下：（1）（2）（3）（4）（1），焦點：，準線；

（2），焦集點：，準線；

（3），焦點：，準線；

（4），焦點：，準線。

相同點：（1）拋物線都過原點；（2）對稱軸為坐標軸；（3）準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱。它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即。不同點：（1）圖形關于軸對稱時，為一次項，為二次項，方程右端為，左端為；圖形關于軸對稱時，為二次項，為一次項，方程右端為，左端為；（2）開口方向在軸（或軸）正向時，焦點在軸（或軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在軸（或軸）負向時，焦點在軸（或軸）負半軸時，方程右端取負號。

總之，①參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點到準線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點到拋物線頂點的距離。②方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向。

二.典型例題分析

題型1拋物線的定義及應用

【例1】已知拋物線，點是拋物線上的動點，點的坐標為（12，6）。求點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值。

解析由定義知，拋物線上的點到焦點的距離等于點到準線的距離，求與點到軸的距離之和的最小值，轉化成求的最小值。

答案如右圖易判斷知點在拋物線外側，

設，焦點，則到軸的距離即值。

設到準線的距離為，則。

故，由拋物線定義知。于是，由圖可知，當、、三點共線時，取最小值，為13。故所求距離之和的最小值為。

規(guī)律總結定義是解決問題的基礎和靈魂，要善于思考定義和應用定義，本題如果設點坐標為，利用兩點間距離公式求解，無法得到答案。由拋物線定義可知，等于點到準線的距離，當、、三點共線時，的距離最小，這體現(xiàn)了數(shù)學中的轉化思想題型2求拋物線的標準方程

【例2】若動圓與圓（外切，又與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程是（）

A.

B.C.

D.

解析利用拋物線定義的條件。

答案設動圓的半徑為，圓心為到點（2，0）的距離為，到直線的距離為，所以到（2，0）的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知。故選A。

規(guī)律總結處理求軌跡方程的選擇、填空類問題，可首先考慮畫維由線的定義，或者經(jīng)轉化后聯(lián)系圓錐曲線的定義來處理。題型3求拋物線的焦點坐標和標準方程

【例4】已知拋物線的方程，求它的焦點坐標和準線方程。

解析要根據(jù)的正負分類討論。

答案（1）當時，因為，所以，所以焦點，準線方程。

（2）當時，。因為，所以。所以焦點，即，準線方程。綜上所述，拋物線的焦點，準線方程。

規(guī)律總結可能是正的，也可能是負的，因此一定要分，兩種情況討論，此類題易忽略。題型4實際應用問題

【例5】一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱寬為m，求能使卡車通過的的最小整數(shù)值。

解析要求拱寬的最小值，需建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出拋物線方程，然后利用方程求解。

答案以拱頂為原點，拱寬所在直線為軸，建立直角坐標系，如圖，設拋物線方程為，則點的坐標為，由于點在拋物線上，

所以

所以，拋物線方程為。

將點代入拋物線方程，得。

所以，點到拱底的距離為。

解得，取整數(shù)，的最小值為13。規(guī)律總結實際問題中可由實際情況確立坐標系，要求坐標系要簡單，建好坐標系后要由實際情況寫出各點坐標及曲線方程，然后依題意解之即可。

規(guī)律方法總結（1）批物線的焦點坐標、準線方程，不論還是,總有：焦點，準線方程。

（2）正確理解拋物線的定義：拋物線定義中的定點不在定直線上，這一點不可忽視。當時，則動點到定點與到定直線的距離相等的軌跡是過且與垂直的一條直線。

（3）已知方程求拋物線的焦點、準線方程時，應先將方程化為標準形式。根據(jù)給定條件，求拋物線的標準方程時，由于標準方程有四種形式，故應先根據(jù)焦點位置