專題24平面向量的線性運算與坐標(biāo)運算一、關(guān)鍵能力了解向量的實際背景，理解平面向量的基本概念和幾何表示，理解向量相等的含義；理解向量加、減法和數(shù)乘運算，理解其幾何意義；理解向量共線定理；了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義。了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.二、教學(xué)建議從近三年高考情況來看，本講一般不直接考查．預(yù)測2022年高考中，平面向量的線性運算與坐標(biāo)運算是考查的熱點，常以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔試題.三、自主梳理 1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.4.平面向量的坐標(biāo)運算運算坐標(biāo)表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實數(shù)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)5.平面向量共線（1）線性表示向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.（2）坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0,四、高頻考點+重點題型考點一、線性運算例1-1（向量的拆分）(2020·新高考全國卷Ⅱ)若D為△ABC的邊AB的中點，則eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))例1-2（向量拆分求參）（2019·山東高考模擬（文））在正方形中，為的中點，若，則的值為（）A． B． C． D．1例1-3（向量化簡）已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上對點訓(xùn)練1.如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(CF,\s\up7(→))對點訓(xùn)練1.（2020·湖南衡陽·三模（文））在平行四邊形中，若，則（）A． B． C． D．對點訓(xùn)練2.（2019·山東高考模擬（文））如圖，在ΔABC中，AN=23NC，P是BN上一點，若AP對點訓(xùn)練3.在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))考點二、坐標(biāo)運算例2-1.（遼寧高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的邊，，已知點，，則D點的坐標(biāo)為___________.例2-2．已知點C為扇形AOB的弧eq\x\to(AB)上任意一點，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍為()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]對點訓(xùn)練1.（2021·全國高一專題練習(xí)）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).設(shè)，且.（1）求；（2）求滿足的實數(shù)m，n；（3）求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).對點訓(xùn)練2.如圖，在同一個平面內(nèi)，三個單位向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))滿足條件：eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))的夾角為α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))的夾角為45°.若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，求m＋n的值．對點訓(xùn)練3．已知在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點O，則eq\o(CO,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))考點三、共線向量例3-1（線性表示）（2020·全國高一課時練習(xí)）設(shè)，是平面內(nèi)不共線的向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則____.例3-2（坐標(biāo)表示）（2020·上海高二課時練習(xí)）已知三點共線，則，則______，______．對點訓(xùn)練1.已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．對點訓(xùn)練2.(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________。對點訓(xùn)練3.設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，其中O為坐標(biāo)原點，a＞0，b＞0.若A，B，C三點共線，則ab的最大值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,9)對點訓(xùn)練4．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)鞏固訓(xùn)練一、單項選擇題1.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B.2eq\o(OM,\s\up6(→)) C.3eq\o(OM,\s\up6(→)) D.4eq\o(OM,\s\up6(→))2.在平行四邊形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，則點D的坐標(biāo)為()A．(6,1) B．(－6，－1)C．(0，－3) D．(0,3)3．在△ABC中，點G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在點O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－14．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3) C.3 D.2eq\r(3)5.已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0成立的實數(shù)x的取值集合為()A.{0} B.C.{－1} D.{0，－1}二、多項選擇題7.在△ABC中，下列命題正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為等腰三角形D.若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，則△ABC為銳角三角形8.已知向量e1，e2是平面α內(nèi)的一組基向量，O為α內(nèi)的定點，對于α內(nèi)任意一點P，當(dāng)eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2時，則稱有序?qū)崝?shù)對(x，y)為點P的廣義坐標(biāo)．若點A，B的廣義坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，關(guān)于下列命題正確的是()A．線段AB的中點的廣義坐標(biāo)為B．A，B兩點間的距離為C．向量eq\o(OA,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1y2＝x2y1D．向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1x2＋y1y2＝0三、填空題9．已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________．10.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標(biāo)為________．11．在△ABC中，過中線AD