專題20正弦、余弦、正切函數(shù)圖像與性質(zhì)一、關(guān)鍵能力1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性．二、教學(xué)建議從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年會(huì)與三角恒等變換結(jié)合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，尤其是周期性、單調(diào)性及最值問(wèn)題，同時(shí)也要注意對(duì)稱軸及對(duì)稱中心的應(yīng)用．題型常以客觀題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)于解答題中，難度屬中、低檔題型.三、自主梳理 1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無(wú)對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無(wú)[微點(diǎn)提醒]1.對(duì)稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.2.對(duì)于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、正弦、余弦、正切函數(shù)的奇偶性考察例1.（2021·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高一月考）函數(shù)的部分圖像是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】:因?yàn)?，所以為偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故可以排除B，D.又因?yàn)楹瘮?shù)在上函數(shù)值為正，故排除C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·福建省高三其他（文））圖數(shù)，的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知：，所以為奇函數(shù)，故排除B，D.又因?yàn)闀r(shí)，，故排除C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·浙江高三其他模擬）函數(shù)y=在[-2，2]上的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系并注意利用正切函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的定義域，可以化簡(jiǎn)得到，考察當(dāng)趨近于0時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，可以排除A,考察端點(diǎn)值的正負(fù)可以評(píng)出CD.【詳解】,當(dāng)趨近于0時(shí)，函數(shù)值趨近于,故排除A;,故排除CD,故選：B對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文）函數(shù)f(x)=在的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A．又，排除B，C，故選D．考點(diǎn)二、正弦、余弦、正切函數(shù)圖像的考察例2.（2021·調(diào)兵山市第一高級(jí)中學(xué)）方程的根的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】分別作函數(shù)圖象，如圖，由圖可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，所以方程的根的個(gè)數(shù)是7對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·山西省高三其他（文））對(duì)于函數(shù).有下列說(shuō)法：①的值城為；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；③函數(shù)的最小正周期是；④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)的圖象，如圖所示：所以，的值城為，①錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期是，③錯(cuò)誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，②正確；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，④正確.考點(diǎn)三、正弦、余弦、正切函數(shù)單調(diào)性的考察函數(shù)y＝|cosx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))【答案】D【解析】將y＝cosx位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折到x軸上方，x軸上方(或x軸上)的圖象不變，即得y＝|cosx|的圖象(如圖)．故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2020·河南洛陽(yáng)（理））已知，，則，，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所?故選：.考點(diǎn)四、解三角不等式例4.（2021·武功縣普集高級(jí)中學(xué)）函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得：.所以函數(shù)的定義域是.【例1】函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ，\f(5π,4)＋2kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ，\f(5π,4)＋2kπ))(k∈Z)【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，需sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，解得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，故原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.函數(shù)y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域?yàn)開_______。【解析】函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx>0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx>0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ<x<π＋2kπ（k∈Z），,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ（k∈Z），))所以2kπ<x≤eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2．（2021·廣東佛山市·高三二模）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由條件即，由，得；反之不成立，可舉反例．再由充分必要條件的判定得答案．【詳解】由，則，即所以當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，即由可以得到.反之不成立，例如當(dāng)時(shí)，也有成立，但不成立.故“”是“”的充分不必要條件故選：A考點(diǎn)五、正弦、余弦、正切函數(shù)重組新函數(shù)例5-1．（2020·全國(guó)高考真題（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．②f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．③f（x）的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是__________．【答案】②③【解析】對(duì)于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確；對(duì)于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，命題③正確；對(duì)于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，命題④錯(cuò)誤.故答案為：②③.例5-2.（2021·全國(guó)高三其他模擬）函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用奇函數(shù)的定義證得是奇函數(shù)，即可排除BC，利用當(dāng)時(shí)，，排除D，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故排除B、C；當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，排除D．故選：A．例5-3．（2021·陜西省西安中學(xué)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值及取到最大值時(shí)的取值集合分別為（）A．3， B．1，C．3， D．1，【答案】C【解析】由于，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為.例5-4．函數(shù)y＝cos2x－2sinx的最大值與最小值分別為()A．3，－1 B．3，－2C．2，－1 D．2，－2【答案】D【解析】y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，則t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))－3cosx的最小值為________．【答案】－4【江西】f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令cosx＝t，則t∈[－1，1]．f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2(t＋eq\f(3,4))2＋eq\f(17,8)，易知當(dāng)t＝1時(shí)，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值為－4.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·廣西欽州一中高三開學(xué)考試（理））關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.②的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.③的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.④的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.其中所有真命題的序號(hào)是__________.【答案】①④【解析】對(duì)于①，定義域?yàn)?，顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，命題①正確；對(duì)于②，，，則，所以的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②錯(cuò)誤；對(duì)③，，，則，所以的圖象不關(guān)于對(duì)稱，命題③錯(cuò)誤；對(duì)④，，，則，命題④正確.故答案為：①④.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是____，最小值是_________.【答案】【解析】即，故答案為：；對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4.（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，最小值為，則_________，_________.【答案】【解析】由已知得，解得.故答案為：；.鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為()A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0答案：B2.已知函數(shù)f(x)＝tanx，則下列結(jié)論不正確的是()A．2π是f(x)的一個(gè)周期B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(3π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(3π,4)))C．f(x)的值域?yàn)镽D．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(π,2)，0))對(duì)稱【答案】B【解析】A．f(x)＝tanx的最小正周期為π，所以2π是f(x)的一個(gè)周期，所以該選項(xiàng)正確；B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(3π,4)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(3π,4)))＝－1，所以該選項(xiàng)不正確；C.f(x)＝tanx的值域?yàn)镽，所以該選項(xiàng)正確；D.f(x)＝tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2)，0))對(duì)稱，所以該選項(xiàng)正確．3．函數(shù)y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))內(nèi)的圖象是()答案：D解析：y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2tanx，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,2sinx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))).))結(jié)合選項(xiàng)中圖形知，D正確．4.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)下列函數(shù)中，以eq\f(π,2)為周期且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|【答案】A【解析】函數(shù)f(x)＝|cos2x|的周期為eq\f(π,2)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時(shí)，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A正確；函數(shù)f(x)＝|sin2x|的周期為eq\f(π,2)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時(shí)，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，故B不正確；函數(shù)f(x)＝cos|x|＝cosx的周期為2π，故C不正確；f(x)＝sin|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,－sinx，x<0，))由正弦函數(shù)圖象知，在x≥0和x<0時(shí)，f(x)均以2π為周期，但在整個(gè)定義域上f(x)不是周期函數(shù)，故D不正確，故選A。5．（2019·呼瑪縣高級(jí)中學(xué)高一月考）設(shè)，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】,因?yàn)榍沂菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以，故選A6.(2019年高考北京卷文)設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】時(shí)，，為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即，，得對(duì)任意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.7.（多選）已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)答案：ABC解析：由題意，可得f(x)＝－cosx，對(duì)于選項(xiàng)A，T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，y＝cosx在e