[平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)]一、選擇題1.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,則下列說(shuō)法一定正確的是()A.AO=DO B.AO⊥DO C.AO=CO D.AO⊥AB2.證明:平行四邊形的對(duì)角線互相平分.已知:四邊形ABCD是平行四邊形,如圖所示.求證:AO=CO,BO=DO.以下是排亂的證明過(guò)程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO;②∵四邊形ABCD是平行四邊形;③∴AB∥CD,AB=CD;④∴△AOB≌△COD;⑤∴OA=OC,OB=OD.正確的順序應(yīng)是 ()A.②①③④⑤ B.②③⑤①④ C.②③①④⑤ D.③②①④⑤3.(2020益陽(yáng))如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.若AC=6,BD=8,則AB的長(zhǎng)可能是 ()A.10 B.8 C.7 D.64.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且AB⊥AC.若AD=5,AB=3,則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為()A.13 B.213 C.9 D.8二、填空題5.如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,則圖中有對(duì)全等三角形.

6.如圖,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為18cm,AC,BD相交于點(diǎn)O,△OBC的周長(zhǎng)比△OAB的周長(zhǎng)小2cm,則AB的長(zhǎng)度為cm.

7.如圖,?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AD≠CD,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC交AD于點(diǎn)M,△CDM的周長(zhǎng)為8,那么?ABCD的周長(zhǎng)是.

8.如圖,?ABCD的面積為16,對(duì)角線交于點(diǎn)O;以AB,AO為鄰邊作?AOC1B,對(duì)角線交于點(diǎn)O1;以AB,AO1為鄰邊作?AO1C2B,對(duì)角線交于點(diǎn)O2……依此類推,則?AOC1B的面積為;?AO4C5B的面積為;?AOnCn+1B的面積為.

三、解答題9.如圖,在?ABCD中,O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為E,F,那么OE與OF是否相等?為什么?圖10.如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O任作一條直線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.(1)求證:OE=OF;(2)若CD=6,AD=5,OE=2,求四邊形AEFD的周長(zhǎng).11.如圖①,四邊形ABCD和四邊形EBFD都是平行四邊形,點(diǎn)E,F在?ABCD的對(duì)角線AC上.(1)求證:∠ABE=∠CDF;(2)若點(diǎn)E,F不在對(duì)角線AC上,而在對(duì)角線AC所在的直線上,如圖②所示,則∠ABE=∠CDF是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.[操作設(shè)計(jì)]如圖①,四邊形ABCD是平行四邊形,E是AB邊上一點(diǎn),只用無(wú)刻度直尺在CD邊上作一點(diǎn)F,使得CF=AE.(1)作出滿足題意的點(diǎn)F,簡(jiǎn)要說(shuō)明你的作圖過(guò)程;(2)依據(jù)你的作圖,證明:CF=AE;(3)小明從圖①找到了一種將平行四邊形面積平分的方法.圖②是一塊紙片,其形狀是一個(gè)大的平行四邊形在一角剪去一個(gè)小的平行四邊形,小明發(fā)現(xiàn)可以用一條直線將其分割成面積相等的兩部分,請(qǐng)你幫助小明設(shè)計(jì)三種不同的分割方案.

答案1.C2.C3.D∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=12AC=3,OB=12BD=在△AOB中,4-3<AB<4+3,即1<AB<7,∴AB的長(zhǎng)可能為6.故選D.4.B∵?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∴BO=DO,OA=OC,BC=AD=5.∵AB⊥AC,AB=3,∴AC=BC2-AB2=4,∴OA=2,∴BO=∴BD=2BO=213.5.4△AOB≌△COD;△AOD≌△COB;△ADB≌△CBD;△ADC≌△CBA.6.5.5∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=DC,AD=BC,AO=CO.∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是18cm,∴AB+BC=9cm.∵△OBC的周長(zhǎng)比△OAB的周長(zhǎng)小2cm,∴AB-BC=2cm,∴AB=5.5cm.7.16依題意可知OM垂直平分AC,∴AM=CM,∴AD+CD=△CDM的周長(zhǎng)=8,∴?ABCD的周長(zhǎng)=2(AD+CD)=16.8.812∵?ABCD的面積為16,O為?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),∴?AOC1B的底邊AB上的高等于?ABCD的底邊AB上的高的12,∴?AOC1B的面積=12×16.∵?AOC1B的對(duì)角線交于點(diǎn)O1,∴?AO1C2B的邊AB上的高等于?AOC1B的底邊AB上的高的12,∴?AO1C2B的面積=12×12×16=122×16……依此類推,?AO4C5B的面積=125×16=12,?AOnC9.解:OE=OF.理由如下:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD.又∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠OEB=∠OFD=90°.又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF,∴OE=OF.10.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,OA=OC,∴∠OAE=∠OCF.在△AEO和△CFO中,∠∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.(2)∵△AEO≌△CFO,∴CF=AE,∴DF+AE=DF+CF=CD=6.又∵EF=2OE=4,∴四邊形AEFD的周長(zhǎng)=AD+DF+AE+EF=5+6+4=15.11.解:(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,如圖①.∵四邊形ABCD和四邊形EBFD都是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,OA=OC,OE=OF,∴∠BAE=∠DCF,AE=CF.在△ABE和△CDF中,AB∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠ABE=∠CDF.(2)∠ABE=∠CDF還成立.理由如下:連接BD交AC于點(diǎn)O,如圖②所示.∵四邊形ABCD和四邊形EBFD都是平行四邊形,∴BE∥DF,BE=DF,OA=OC,OE=OF,∴∠BEA=∠DFC,AE=CF.在△ABE和△CDF中,BE∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠ABE=∠CDF.[素養(yǎng)提