方法技巧專題三整體思想解析在數(shù)學(xué)思想中整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想。它是通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，并對其進行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解的一種方法．簡單地說就是從整體去觀察、認(rèn)識問題、從而解決問題的思想。運用整體思想，可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維鄣礙，可以使繁難的問題得到巧妙的解決。它是數(shù)學(xué)解題中一個極其重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑。整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、整體改造等等．在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用，因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨特的作用．一、數(shù)與式中的整體思想【例題】（2017廣東）已知4a+3b=1，則整式8a+6b﹣3的值為﹣1．【考點】33：代數(shù)式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整體代入進行計算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案為：﹣1．【同步訓(xùn)練】（2017湖北江漢）已知2a﹣3b=7，則8+6b﹣4a=﹣6．【考點】33：代數(shù)式求值．【分析】先變形，再整體代入求出即可．【解答】解：∵2a﹣3b=7，∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，故答案為：﹣6．二、方程（組）與不等式（組）中的整體思想【例題】先閱讀,然后解方程組.解方程組x-可由①得x-y=1,③然后再將③代入②得4×1-y=5,求得y=-1,從而進一步求得x=0,y=-請用這樣的方法解下列方程組2解:2由①得2x-3y=2,③把③代入②得,2+57解得y=4,把y=4代入③得,2x-3×4=2,解得x=7,∴原方程組的解為x【同步訓(xùn)練】仔細(xì)觀察下圖，認(rèn)真閱讀對話根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價各是多少元？【考點】一元一次不等式組的應(yīng)用．【分析】設(shè)餅干的標(biāo)價是x元/袋，（x是整數(shù)）牛奶的標(biāo)價是y元/袋，由題意得，用整體代入的思想求出x的取值，注意為整數(shù)且小于10，代入②可求牛奶的價格．【解答】解：設(shè)餅干的標(biāo)價是x元/袋，（x是整數(shù)）牛奶的標(biāo)價是y元/袋，由題意得，由②③③代入①得x+＞10∴x＞8∵x是整數(shù)且小于10∴x=9∴把x=9代入③×9=1.1（元）答：餅干的標(biāo)價是9元/盒，牛奶的標(biāo)價是1.1元/袋．三、函數(shù)與圖像中的整體思想【例題】某學(xué)校藝術(shù)館的地板由三種正多邊形的小木板鋪成，設(shè)這三種多邊形的邊數(shù)分別為x、y、z，求+的值．【考點】平面鑲嵌（密鋪）．【分析】根據(jù)邊數(shù)求出各個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件列出方程，進而即可求出答案．【解答】解：由題意知，這3種多邊形的3個內(nèi)角之和為360度，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，那么這三個多邊形的內(nèi)角和可表示為：++=360，兩邊都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，兩邊都除以2得：+=．【點評】本題考查了平面鑲嵌（密鋪）．解決本題的關(guān)鍵是知道這3種多邊形的3個內(nèi)角之和為360度，據(jù)此進行整理分析得解．【同步訓(xùn)練】

（2017浙江衢州）“五?一”期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計劃第二天租用新能源汽車自駕出游．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）設(shè)租車時間為x小時，租用甲公司的車所需費用為y1元，租用乙公司的車所需費用為y2元，分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）請你幫助小明計算并選擇哪個出游方案合算．【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用；FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的信息，分別運用待定系數(shù)法，求得y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）當(dāng)y1=y2時，15x+80=30x，當(dāng)y1＞y2時，15x+80＞30x，當(dāng)y1＜y2時，15x+80＞30x，分求得x的取值范圍即可得出方案．【解答】解：（1）設(shè)y1=k1x+80，把點（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；設(shè)y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）當(dāng)y1=y2時，15x+80=30x，解得x=；當(dāng)y1＞y2時，15x+80＞30x，解得x＜；當(dāng)y1＜y2時，15x+80＞30x，解得x＞；∴當(dāng)租車時間為小時，選擇甲乙公司一樣合算；當(dāng)租車時間小于小時，選擇乙公司合算；當(dāng)租車時間大于小時，選擇甲公司合算．四、幾何與圖形中的整體思想：【例題】小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于（）A．180 B．210 C．360 D．270【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)分別表示出∠α和∠β，計算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故選：B．【點評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【同步訓(xùn)練】如圖，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，則△BCE的周長為13．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，則△BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案為：13．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．【達(dá)標(biāo)檢測】1.（2017.江蘇宿遷）若a﹣b=2，則代數(shù)式5+2a﹣2b的值是9．【考點】33：代數(shù)式求值．【分析】原式后兩項提取2變形后，將已知等式代入計算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=2，∴原式=5+2（a﹣b）=5+4=9，故答案為：92.已知是方程組的解，則a2﹣b2=1．【考點】97：二元一次方程組的解．【分析】根據(jù)是方程組的解，可以求得a+b和a﹣b的值，從而可以解答本題．【解答】解：∵是方程組的解，∴，解得，①﹣②，得a﹣b=，①+②，得a+b=﹣5，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣）=1，故答案為：1．3.四邊形中，如果有一組對角都是直角，那么另一組對角一定（）A．都是鈍角 B．都是銳角C．是一個銳角、一個鈍角 D．互補【考點】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】由四邊形的內(nèi)角和等于360°，又由有一組對角都是直角，即可得另一組對角一定互補．【解答】解：如圖：∵四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C=90°，∴∠B+∠D=180°．∴另一組對角一定互補．故選D．【點評】此題考查了四邊形的內(nèi)角和定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握四邊形的內(nèi)角和等于360°．4.四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂于探索，我們還會發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．（1）四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形（如圖①），其中相對的兩對三角形的面積之積相等．你能證明這個結(jié)論嗎？試試看．已知：在四邊形ABCD中，O是對角線BD上任意一點．（如圖①）求證：S△OBC?S△OAD=S△OAB?S△OCD；（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明：若不能，說明理由．【解析】證明：（1）分別過點A、C，做AE⊥DB，交DB的延長線于E，CF⊥BD于F，則有：S△AOB=BO?AE，S△COD=DO?CF，S△AOD=DO?AE，S△BOC=BO?CF，∴S△AOB?S△COD=BO?DO?AE?CF，S△AOD?S△BOC=BO?DO?CF?AE，∴S△AOB?S△COD=S△AOD?S△BOC．；（2）能．從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積相等．或S△AOD?S△BOC=S△AOB?S△DOC，已知：在△ABC中，D為AC上一點，O為BD上一點，求證：S△AOD?S△BOC=S△