1/5歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題57概率統(tǒng)計第二緝1．【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】在1,2,3,?,9這9個自然數(shù)中,任取3個數(shù).記x為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如:若取3個數(shù)為1,2,【答案】2【解析】提示：做出如下分布列x012p(x)35427所以Ex=2．【2016年安徽預(yù)賽】等可能地隨機(jī)產(chǎn)生一個正整數(shù)x∈{1,2,?,2016}.則x在二進(jìn)制下的各位數(shù)字之和不超過8的概率為________.【答案】655【解析】設(shè)x∈{1，2，…，2016}的二進(jìn)制表示為x10x9特別地，2016的二進(jìn)制表示為111111000002接下來考慮滿足i=010p=i=010x如此x的個數(shù)為p≤5q≥9?p從而，二進(jìn)制下的各位數(shù)字之和不超過8的x的個數(shù)為2016?51=1965．因此，所求概率196520163．【2016年全國】袋子A中裝有兩張10元紙幣和三張1元紙幣，袋子B中裝有四張5元紙幣和三張1元紙幣．現(xiàn)隨機(jī)從兩個袋子中各取出兩張紙幣．則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為________.【答案】9【解析】一種取法符合要求，等價于從A中取走的兩張紙幣的總面值a小于從B中取走的兩張紙幣的總面值b，從而，a<b≤5+5=10.故只能從A中取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為C3又此時b>a=2，即從B中取走的兩張紙幣不能均為1元紙幣，相應(yīng)有C7因此，所求的概率為3×18C4．【2016年新疆預(yù)賽】在一個圓上隨機(jī)取三點(diǎn)，則以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率為______.【答案】1【解析】設(shè)△ABC是半徑為1的圓的任一內(nèi)接三角形，且∠A、∠B所對的弧長分別為x、y.則對于△ABC，有0<x<2該不等式組所表示的區(qū)域面積為S1若△ABC為銳角三角形，則0<x<該不等式組所表示的區(qū)域面積為S2從而，所求的概率為S25．【2016年江蘇預(yù)賽】若小張每天的睡眠時間在6～9小時之間隨機(jī)均勻分布，則小張連續(xù)兩天平均睡眠時間不少于7小時的概率為__________．【答案】7【解析】設(shè)小張連續(xù)兩天睡眠的時間分別為x、yx,y∈6,9將可能出現(xiàn)的事件記作x,y，其對應(yīng)坐標(biāo)平面中正方形ABCD的邊及其內(nèi)的點(diǎn)．小張連續(xù)兩天平均睡眠時間不少于7小時，即x+y≥14，因此，所求事件的概率為1?S6．【2016年湖南預(yù)賽】在一個均有小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)數(shù)字0，兩個面上標(biāo)數(shù)字1，一個面上標(biāo)數(shù)字2.將該小正方體拋擲兩次，則朝上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為______.【答案】49【解析】解：一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2．將這個小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為ξ=0，1，2，4，P(ξ=0)=7．【2016年湖北預(yù)賽】袋子中有五個白球、四個紅球和三個黃球，從中任意取出四個球，各種顏色的球均有的概率_______.【答案】6【解析】取出的球有三種可能：兩白一紅一黃，一白兩紅一黃，一白一紅兩黃.故所求概率為P=C8．【2016年河南預(yù)賽】甲乙兩人各自獨(dú)立地拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋10次，乙拋11次。則乙出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)比甲出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)多的概率為___________?！敬鸢浮?【解析】設(shè)“甲乙各自獨(dú)立拋10次時，乙出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)比甲出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)多”為事件A.則所求事件的概率為P=PA9．【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為 .【答案】9【解析】符合要求的取法，等價于從A中取走的兩張紙幣的總面值a小于從B中取走的兩張紙幣的總面值b，從而a<b≤5+5=10.故只能從A中取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為C32=3.又此時b>a=2，即從B因此，所求的概率為3×18C10．【2015年全國】在正方體中隨機(jī)取三條棱，它們兩兩異面的概率為______.【答案】2【解析】設(shè)正方體為ABCD?EFGH，共12條棱，從中任意取出三條棱的方法有C12下面考慮使三條棱兩兩異面的取法數(shù).由于正方體棱共確定三個互不平行的方向（即AB、AD、不妨設(shè)取的棱為AB.則AD方向只能取棱EH或FG，共兩種可能.當(dāng)AD方向取棱EH或FG時，綜上，三條棱兩兩異面的取法數(shù)為8.故所求概率為822011．【2015年上海預(yù)賽】投擲兩次色子，設(shè)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別a、b．則使得關(guān)于x的二次方程x2【答案】1【解析】由已知得Δ=注意到，a、b{1,2由式②得a≤b.進(jìn)而，由式①得a2當(dāng)a=5時，b=5或6；當(dāng)a=6時，b=6.故所求的概率為36×612．【2015年上海預(yù)賽】某地區(qū)的電話號碼由八個數(shù)碼組成，且首位數(shù)碼不為零，則電話號碼的八個數(shù)碼均不相同的概率為______（用小數(shù)表示）.【答案】0.018144【解析】所求即為913．【2015年陜西預(yù)賽】某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上和反面向上的概率均為12.構(gòu)造數(shù)列an，使an=1,【答案】13【解析】由S2當(dāng)前兩次均有為正面向上時，由S8=2，知后六次中必有三次正面向上、三次反面向上，其概率為當(dāng)前兩次均為反面向上時，由S8=2，知后六次中必有五次正面向上、一次反面向上，其概率為故所求概率為P114．【2015年遼寧預(yù)賽】一道數(shù)學(xué)競賽題,甲、乙、丙三人單獨(dú)解出此題的概率分別為1a、1b、【答案】4【解析】注意到,P(恰有一人解出此題)=P(僅甲解出)+P(僅乙解出)+P(僅丙解出)=b?1c?1=7故15|7abc?15|abc?5|abc?5|a不妨設(shè)5|a.因?yàn)?<a<10,所以,a=5.則式①為bc?b?c+1+4c+4b?4當(dāng)b=2時,c=3;當(dāng)b=3時,c=2.因此,a、b、c為故所求即為a?1a15．【2015年江蘇預(yù)賽】隨機(jī)拋擲三個大小、質(zhì)地相同的正方體色子.在三個色子所示數(shù)字中最小值是3的概率為_____【答案】37【解析】所有色子所示點(diǎn)數(shù)至少是3的概率為46所有色子所示點(diǎn)數(shù)至少是4的概率為36故三個色子所示點(diǎn)數(shù)最小值恰是3的概率為4616．【2015年河南預(yù)賽】一名籃球運(yùn)動員進(jìn)行投球練習(xí).若他投進(jìn)前一球，則投進(jìn)后一球的概率為23；若他投不進(jìn)前一球，則投進(jìn)后的一球概率為13.已知該隊(duì)員投進(jìn)第1球的概率為【答案】41【解析】設(shè)該隊(duì)員投進(jìn)第n?1個球的概率為an?1，投失的概率為則他投進(jìn)第n個球的概率為an又a從而，a17．【2015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在正方體中隨機(jī)取3條棱，它們兩兩異面的概率為 .【答案】2【解析】設(shè)正方體為ABCD－EFGH，它共有12條棱，從中任意取出3條棱的方法共有C12下面考慮使3條棱兩兩異面的取法數(shù).由于正方體的棱共確定3個互不平行的方向(即AB，AD，AE的方向)，具有相同方向的4條棱兩兩共面，因此取出的3條棱必屬于3個不同的方向，可先取定AB方向的棱，這有4種取法.不妨設(shè)取的棱就是AB，則AD方向只能取棱EH或棱FG，共2種可能.當(dāng)AD方向取棱是EH或FG時，AE方向取棱分別只能是CG或DH.由上可知，3條棱兩兩異面的取法數(shù)為4×2=8，故所求概率為822018．【2016年陜西預(yù)賽】從1，2，…，20這20個數(shù)中，任取三個不同的數(shù).則這三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）.A．319B．119C．3【答案】D【解析】從這20個數(shù)中任取三個數(shù)，可構(gòu)成的數(shù)列共有A20若取出的三個數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則a+c=2b.故a與c的奇偶性相同，且a、c確定后，b隨之而定.從而，所求概率為p=219．【2016年天津預(yù)賽】擲兩次色子,用X記兩次擲得點(diǎn)數(shù)的最大值.則下列各數(shù)中,與期望EXA．4B．412【答案】B【解析】易知,PX=1PX=2PX=3PX=4PX=5PX=6故EX與4120．【2015年湖南預(yù)賽】將某選手的9個得分去掉1個最高分,去掉1個最低分,7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊,無法辨認(rèn),在圖中以x表示，則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為（）A．B．C．36D．【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意及莖葉圖，這個數(shù)，去掉一個最高分，去掉一個最低分，剩余分?jǐn)?shù)的平均值表示為解得，所以個剩余分?jǐn)?shù)的方差為：，答案為B．21．【2015年黑龍江預(yù)賽】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中，a、b∈1,2,?,6A．49B．29C．7【答案】A【解析】由古典概型，知共有6×6=36種基本事件，符合a?b≤1（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（2,3），（3,2），（3,3），（3,4），（4,3），（4,4），（4,5），（5,4），（5,5），（5,6），（6,5），（6,6），共有16種。于是，所求概率為163622．【2020年甘肅預(yù)賽】某校高二男生體育課上做投籃球游戲,兩人一組.每輪游戲中,每小組兩人每人投籃兩次,投籃命中的次數(shù)之和不少于3次稱為“優(yōu)秀小組”.甲和乙同一小組,甲、乙投籃命中的概率分別為p1(1)若p1=(2)若p1+p2=【答案】(1)23；(2)【解析】(1)記“在第一輪游戲中他們獲得優(yōu)秀小組"為事件A.則P(A)=C2134×14(2)他們在第一輪游戲中獲得優(yōu)秀小組的概率為p=C21=2p=8因?yàn)??p113又p1p19令t=p1p2故p=?(t)=?3t2當(dāng)t=49時,p他們小組在n輪游戲中獲優(yōu)秀小組的次數(shù)ξ~B(n,p).由(np)max=16,知故理論上至少要進(jìn)行27輪游戲,此時,p1+23．【2018年甘肅預(yù)賽】已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關(guān)小組，參加由某電視臺舉辦的知識類答題闖關(guān)活動，活動共有四關(guān)，設(shè)男生闖過一至四關(guān)的概率依次是56,4（1）求男生闖過四關(guān)的概率；（2）設(shè)ξ表示四人沖關(guān)小組闖過四關(guān)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望.【答案】（1）13【解析】分析：（1）利用相互獨(dú)立事件的概率計算公式即可得出；（2）記女生四關(guān)都闖過為事件B，則PB詳解：（1）記男生四關(guān)都闖過為事件A，則PA（2）記女生四關(guān)都闖過為事件B，則PB因?yàn)镻Pξ=1Pξ=2Pξ=3Pξ=4所以ξ的分布如下：Eξ點(diǎn)睛：本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式，隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力.24．【2017年甘肅預(yù)賽】在一次全省科普知識競賽中,某市3000名參賽選手的初賽成績統(tǒng)計如圖所示.(1)求t的值,并估計該市選手在本次競賽中,成績在[80(2)如果在本次競賽中該市計劃選取1500人人圍決賽,那么進(jìn)人決賽選手的分?jǐn)?shù)應(yīng)該如何制定?(3)如果用該市參賽選手的成績情況估計全省參賽選手的成績情況,現(xiàn)從全省參賽選手中隨機(jī)抽取4名選手,記成績在80(含80)分以上的選手人數(shù)為ξ,試求ξ【答案】(1)900人；(2)答案見解析；(3)答案見解析.【解析】(1)依題意,2t+3t+又成績在[80,90故所求選手人數(shù)為3000×(2)要選取1500人入圍決賽,就是要求該組數(shù)據(jù)的中位數(shù):70所以,進(jìn)入決賽選手的分?jǐn)?shù)應(yīng)該制定為77.14分.(3)依題意,ξ～B4,25,所以ξ01234P812162169616故Eξ25．【2017年黑龍江預(yù)賽】某單位甲、乙兩個科室人數(shù)及男女工作人員分布情況如下表.現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩個科室中共抽取3名工作人員進(jìn)行一項(xiàng)關(guān)于“低碳生活”的調(diào)查.(1)求從甲、乙兩科室各抽取的人數(shù);(2)求從甲科室抽取的工作人員中至少有1名女性的概率;(3)記ξ表示抽取的3名工作人員中男性的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)甲科室2人，乙科室1人；(2)2【解析】(1)從甲科室應(yīng)抽取的人數(shù)為3×1015(2)設(shè)事件A:“從甲科室抽取的工作人員中至少有1名女性”PA(3)ξ的可能取值為0,P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=3)=CP(ξ=2)=1?P(ξ=0)?P(ξ=1)?P(ξ=3)=34或P(ξ=2)=C所以ξ的分布列為：ξ0123P422341所以Eξ26．【2016年上海預(yù)賽】設(shè)n為給定的大于2的整數(shù)。有n個外表上沒有區(qū)別的袋子，第k(k=1,2,···,n)個袋中有k個紅球，n-k個白球。將這些袋子混合后，任選一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球(每次取出不放回)。求第三次取出的為白球的概率?！敬鸢浮縩?1【解析】設(shè)選出的是第k個袋子，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為n(n-1)(n-2).第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形:(白，白，白)取法數(shù)為(n-k)(n-k-1)(n-k-2)，(白，紅，白)取法數(shù)為k(n-k)(n-k-1)，(紅，白，白)取法數(shù)為k(n-k)(n-k-1)，(紅，紅,白)取法數(shù)為k(k-1)(n-k).從而，第三次取出的是白球的種數(shù)為（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）=（n-1）（n-2）（n-k）.則在第h個袋子中第三次取出的是白球的概率為P而選到第k個袋子的概率為1nP=27．【2016年甘肅預(yù)賽】在某電視娛樂節(jié)目的游戲活動中，每人需完成A、B、C三個項(xiàng)目.已知選手甲完成A、B、C三個項(xiàng)目的概率分別為34（1）選手甲對A、B、C三個項(xiàng)目各做一次，求甲至少完成一個項(xiàng)目的概率.（2）該活動要求項(xiàng)目A、B各做兩次，項(xiàng)目C做三次.若兩次項(xiàng)目A均完成，則進(jìn)行項(xiàng)目B，并獲得積分a；兩次項(xiàng)目B均完成，則進(jìn)行項(xiàng)目C，并獲積分3a；三次項(xiàng)目C只要兩次成功，則該選手闖關(guān)成功并獲積分6a（積分不累計），且每個項(xiàng)目之間互相獨(dú)立.用X表示選手甲所獲積分的數(shù)值，寫出X的分布列并求數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）4748【解析】（1）設(shè)選手甲對A、B、C三個項(xiàng)目記為事件A、B、C，且相互獨(dú)立，至少完成一個項(xiàng)目為事件D.則PD（2）X的取值分別0、a、3a、6a.則PX=0PX=aPX=3aPX=6a