-1-彈性力學(xué)簡述及平面問題的基本理論1、彈性力學(xué)簡述1.1彈性力學(xué)彈性力學(xué)是固體力學(xué)學(xué)科的一個分支。也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機械設(shè)計中所提出的強度和剛度問題。它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機械、化工、航天等工程領(lǐng)域。在研究對象上，彈性力學(xué)同材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)之間有一定的分工。材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學(xué)主要是在材料力學(xué)的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學(xué)研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。1.2彈性體彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過某一限度時，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當(dāng)作彈性體處理。1.3彈性力學(xué)的研究對象彈性力學(xué)的研究對象是完全彈性體。彈性是變形固體的基本屬性?！巴耆珡椥浴笔菍椥泽w變形的抽象。完全彈性使得物體變形成為一種理想模型。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間一一對應(yīng)的關(guān)系。這種關(guān)系與時間無關(guān)，也與變形歷史無關(guān)。材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系通常稱為本構(gòu)關(guān)系。1.4彈性力學(xué)的基本內(nèi)容彈性力學(xué)所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時，只考慮經(jīng)過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。求解一個彈性力學(xué)問題，就是設(shè)法確定彈性體中各點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力共15個函數(shù)。從理論上講，只有15個函數(shù)全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數(shù)，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數(shù)。所以常常用實驗和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，就可求解。1.5彈性力學(xué)基本假設(shè)工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍?；炯僭O(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。彈性力學(xué)有6個基本假設(shè)。1.5.1連續(xù)性假設(shè)假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙。變形后仍然保持連續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。1.5.2均勻性假設(shè)假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。1.5.3各向同性假設(shè)假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。1.5.4完全彈性假設(shè)對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。1.5.5小變形假設(shè)假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。忽略位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。1.5.6無初始應(yīng)力假設(shè)假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外力或溫度改變而產(chǎn)生的。彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。1.6彈性力學(xué)任一點的形變狀態(tài)和任一點的位移1.6.1彈性力學(xué)任一點的形變狀態(tài)彈性力學(xué)任一點的形變狀態(tài)與六個獨立的應(yīng)力分量相對應(yīng)，空間變形狀態(tài)共有六個應(yīng)變分量εx、εy、εz，、γyz、γzx。εx、εy、εz是沿x,y,z三個方向的線應(yīng)變，即各線段的單位伸縮γxy、γyz、γzx是三個角應(yīng)變(剪應(yīng)變)，例如γxy表示沿x,y方向相互垂直的兩線段之間的直角的改變，用弧度表示。應(yīng)變符號規(guī)定，正應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)剪應(yīng)變以直角變小時為正，變大時為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。正應(yīng)變和剪應(yīng)變都是無因次量1..6.2任一點位移物體內(nèi)任意一點的位移，用它在x、y、z三軸上的投影u、v、w來表示，以沿坐標(biāo)軸正方向時為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向時為負(fù)。一般而論，彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量，都是隨著該點的位置而變的，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。在彈性力學(xué)的問題里，通常是已知物體的形狀和大?。醇褐矬w的邊界），已知物體的彈性常數(shù)，物體所受的體力，物體邊界上的約束情況或面力，求物體內(nèi)部各點的應(yīng)力、形變分量和位移分量。2、平面問題的基本理論2.1平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題2.1.1平面應(yīng)力問題彈性體的形狀平面應(yīng)力彈性體的形狀為等厚度均勻薄板，厚度方向的尺寸小于其他兩個方向的尺寸。彈性體的受力：面力：平行于板面且不隨厚度變化。體積力：平行于板面且不隨厚度變化。平面應(yīng)力問題的特點平面應(yīng)力問題在垂直于厚度方向的截面內(nèi)，與Z坐標(biāo)相關(guān)的三個應(yīng)力都等于0，即：σZ、τzx、τzy=0；與Z坐標(biāo)無關(guān)的三個應(yīng)力都不等于0，即：σx、σy、τxy≠0。任一點的應(yīng)力分量只剩下平行于xy面的三個應(yīng)力分量。許多機器零件均可以近似地作為平面應(yīng)力問題進行計算，如發(fā)動機連桿，直齒圓柱齒輪等。2.1.2平面應(yīng)變問題彈性體的形狀平面應(yīng)變問題彈性體的形狀為無限長的長條形物體，任一橫截面形狀相同。彈性體的受力面力：平行于橫截面而且不沿長度變化。體積力：平行于橫截面而且不沿長度變化。平面應(yīng)變問題的特點平面應(yīng)變問題在垂直于軸線的任意橫截面內(nèi)，與Z坐標(biāo)相關(guān)的三個應(yīng)變都等于0，即：、γzx、γzy=0；與Z坐標(biāo)無關(guān)的三個應(yīng)變都不等于0，即：、、xy≠0。任一點的應(yīng)變分量只剩下平行于xy面的三個應(yīng)變分量許多機器零件均可以近似地作為平面應(yīng)變問題進行計算，如花鍵，滾針軸承中的滾子等。2.3彈性力學(xué)平面問題的基本方程2.3.1平衡方程平衡方程——應(yīng)力與外力間的關(guān)系2.3.2幾何方程幾何方程——表示位移與應(yīng)變的關(guān)系。說明：1）幾何方程反映反映任一點的位移與該點應(yīng)變間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。2）當(dāng)u、v已知，則εx、εy、γxy可完全確定；反之，εx、εy、γxy已知，不能確定u、v。3）γxy以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù)。2.3.3物理方程物理方程——應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系平面應(yīng)力問題的物理方程由于平面問題中，所以平面應(yīng)力問題的物理方程為:物理方程的另一形式為：平面應(yīng)變問題的物理方程由于平面應(yīng)變問題中，注：平面應(yīng)變問題中，，，。2.4邊界條件邊界條件是建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關(guān)系。是力學(xué)計算模型建立的重要環(huán)節(jié)。如果彈性體處于平衡狀態(tài)，則在內(nèi)部應(yīng)滿足平衡微分方程式，同時在邊界上滿足靜力邊界條件。2.4.1位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界用us、vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達為：說明：成為固定位移邊界。2.4.2應(yīng)力邊界條件給定面力分量邊界，得：式中：l、m為邊界外法線關(guān)于x、y軸的方向余弦。例：如圖示楔形體，其邊界條件為：2.5彈性力學(xué)平面問題的基本求解2.5.1求解方法按位移求解（位移法、剛度法）以u、v為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。2.5.1.2按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移?；旌锨蠼庖圆糠治灰品至亢筒糠謶?yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。2.5.2按位移求解平面問題的基本方程將平衡方程用位移表示