試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆重慶市高三上學(xué)期8月月度質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因為（是虛數(shù)單位），所以（是虛數(shù)單位），所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得，故，故選：A3．雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)捆綁法以及特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可由排列組合以及分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個整體安排共有種排法，將剩余的11名隊員全排列共有，由分步乘法計數(shù)原理可得總的站法有，故選:B.4．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，即，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求出其最小值.【詳解】由，得，則，所以，即.設(shè)，則0，可知在上為增函數(shù)，所以，則，即.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：將化為，再利用指對同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.5．已知雙曲線C：，直線與雙曲線C的兩條漸近線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若為等邊三角形，則雙曲線C的焦距為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】求雙曲線的漸近線，由條件求出坐標(biāo)，根據(jù)條件求，再求雙曲線的焦距.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，右焦點為，雙曲線的半焦距為，雙曲線的漸近線為和，不妨設(shè)直線與的交點為，則點的坐標(biāo)為，則直線與的交點為，則點的坐標(biāo)為，因為為等邊三角形，，所以，所以，所以雙曲線C的焦距，故選：D.

6．函數(shù)在在區(qū)間上單調(diào)遞增，則k得取值范圍是（

）A． B．C． D．（-，1]【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為即在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可求得k的范圍.【詳解】因為，由題意知在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.7．中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡得到，從而得到，得到，，利用正弦定理得到，從而得到的取值范圍.【詳解】，在中，，故或，當(dāng)時，，故，不合要求，舍去，所以，，因為，所以，即，因為，所以，由正弦定理得，故因為，所以，故，因為，所以，故，因為，所以，，，故.故選：B【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.8．在數(shù)列中，，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點，則的值為（

）．A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】A【分析】對應(yīng)函數(shù)求導(dǎo)，利用奇偶性定義判斷為偶函數(shù)，根據(jù)有唯一零點知，構(gòu)造法有，應(yīng)用等比數(shù)列定義寫出通項公式并求對應(yīng)項.【詳解】由在上有唯一零點，而，所以為偶函數(shù)，則，故，且，所以是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則，則.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而得到為關(guān)鍵.二、多選題9．已知圓錐頂點為，底面圓的直徑長為，.若為底面圓周上不同于，的任意一點，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若圓錐的底面水平放置，且可從頂點向圓錐注水，當(dāng)水的平面過的中點時，則水的體積為【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球半徑為的外接圓半徑，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對D，利用圓錐的體積公式即可求解．【詳解】對于A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B：的面積，在中，，故為鈍角，由題意可得，故當(dāng)時，面積的最大值為，故B正確；對于C：由選項B可得：，則為鈍角，可得，由題意可得圓錐的外接球半徑為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即，故圓錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D：當(dāng)水的平面過的中點時，則水的體積為，故D正確．

故選：BCD．10．已知圓與圓相交于兩點，則（

）A．圓的圓心坐標(biāo)為B．當(dāng)時，C．當(dāng)且時，D．當(dāng)時，的最小值為【答案】ABD【分析】由方程得出圓心坐標(biāo)；由兩圓的位置關(guān)系得出的范圍；由勾股定理結(jié)合距離公式判斷C；由為圓的直徑，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】由圓的方程可知圓的圓心坐標(biāo)為，即正確；當(dāng)時，圓，，所以有，即，解得，即B正確；因為，且，所以，即，解得或，即C錯誤；因為圓的直徑為2，所以當(dāng)時，為圓的直徑，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即D正確.故選：ABD.11．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，其導(dǎo)函數(shù)滿足（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上為減函數(shù) B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)必有2個零點 D．【答案】AD【分析】對于AB，對求導(dǎo)后，結(jié)合可求出的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)行判斷，對于C，求出的最小值分析判斷，對于D，由在上單調(diào)遞增分析判斷.【詳解】對于AB，因為，所以，因為（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，所以A正確，B錯誤；對于C，因為，所以當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，故C錯誤；對于D，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故D正確，故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對求導(dǎo)后，結(jié)合求出的單調(diào)區(qū)間，考查計算能力，屬于較難題.12．千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計算得到χ2≈19.05，下列小波對A地區(qū)天氣的判斷正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．依據(jù)α＝0.005的獨立性檢驗，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．依據(jù)α＝0.005的獨立性檢驗，若出現(xiàn)“日落云里走”，則認(rèn)為夜晚一定會下雨【答案】ABC【分析】用古典概型的計算公式判斷；由獨立性檢驗可判斷.【詳解】根據(jù)列聯(lián)表可知，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晩下雨的概率約為＝，A正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晩下雨的概率約為＝，B正確；χ2≈19.05＞7.879＝x0.005，因此依據(jù)α＝0.005的獨立性檢驗，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晩天氣有關(guān)，C正確；依據(jù)α＝0.005的獨立性檢驗，可判斷“日落云里走，雨在半夜后”的說法犯錯誤的概率小于0.005，但不代表一定會下雨，D錯誤.故選：ABC三、填空題13．已知平面向量與的夾角為，則.【答案】【分析】利用，展開后利用向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算即可求解.【詳解】平面向量與的夾角為，則，，故答案為：.14．正三棱錐底面邊長為為的中點，且，則正三棱錐外接球的體積為.【答案】【分析】首先求得正三棱錐的側(cè)棱長和高，然后求得正三棱錐外接球的半徑，從而求得外接球的體積.【詳解】設(shè)是正三棱錐底面三角形的中心，則平面，且三點共線，，設(shè)，依題意，，，是中點，，所以三角形和三角形是直角三角形，所以，即.由于平面，所以，所以，設(shè)正三棱錐外接球球心為，則三點共線，設(shè)正三棱錐外接球半徑為，則，即，解得，所以外接球的體積為.故答案為：

【點睛】求解正棱錐有關(guān)問題，要把握住正棱錐的性質(zhì)，如底面是正多邊形，定點在底面的射影是底面的中心等等.求解幾何體外接球有關(guān)問題，關(guān)鍵點是判斷出球心的位置以及計算出球的半徑.另外要注意看清題目是求球的表面積還是求體積.15．如果，則為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.如果，則圖象關(guān)于點對稱.若已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為.【答案】2【分析】將化簡為，判斷為奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知，令，則，即為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為N，最小值為n，則，故，則，故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵,是判斷為奇函數(shù)，利用其最大值和最小值和為0，結(jié)合求解最終結(jié)果.16．定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列正確的是.（填序號）①

②函數(shù)關(guān)于對稱

③函數(shù)是周期函數(shù)

④【答案】①③④【分析】利用復(fù)合函數(shù)的奇函數(shù)定義及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，結(jié)合函數(shù)的對稱性及周期性即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，令，可得，即，故①正確；因為，所以，所以，又，所以，所以，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故②錯，因為，所以，所以，為常數(shù)，因為，所以，所以，取，可得.所以，由，得，所以，即，所以，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，又，即，所以函數(shù)也是以周期得周期函數(shù)，故③正確；因為，，所以，即，所以，則，所以，，故④正確.故答案為：①③④.四、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；（2）利用余弦定理和三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由得，利用正弦定理可得，化為，所以由余弦定理得，，.（2）由余弦定理可得，所以，所以.18．已知數(shù)列的前項和為，設(shè).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求出通項公式；（2）可得，利用裂項相消法可求．【詳解】（1）已知①，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，②，①②得：，因為，整理得，所以；（2）由，可得，由于，所以.19．某闖關(guān)游戲由兩道關(guān)卡組成，現(xiàn)有名選手依次闖關(guān)，每位選手成功闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率均為，兩道關(guān)卡能否過關(guān)相互獨立，每位選手的闖關(guān)過程相互獨立，具體規(guī)則如下：①每位選手先闖第一關(guān)，第一關(guān)闖關(guān)成功才有機(jī)會闖第二關(guān).②闖關(guān)選手依次挑戰(zhàn).第一位闖關(guān)選手開始第一輪挑戰(zhàn).若第位選手在10分鐘內(nèi)未闖過第一關(guān)，則認(rèn)為第輪闖關(guān)失敗，由第位選手繼續(xù)挑戰(zhàn).③若第位選手在10分鐘內(nèi)闖過第一關(guān)，則該選手可繼續(xù)闖第二關(guān).若該選手在10分鐘內(nèi)未闖過第二關(guān)，則也認(rèn)為第輪闖關(guān)失敗，由第位選手繼續(xù)挑戰(zhàn).④闖關(guān)進(jìn)行到第輪，則不管第位選手闖過第幾關(guān)，下一輪都不再安排選手闖關(guān).令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束闖關(guān).(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)若把闖關(guān)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑤：闖關(guān)的選手先闖第一關(guān)，若有選手在10分鐘內(nèi)闖過第一關(guān)，以后闖關(guān)的選手不再闖第一關(guān)，直接從第二關(guān)開始闖關(guān).令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束闖關(guān).（i）求隨機(jī)變量的分布列（ii）證明.【答案】(1)分布列見解析(2)（i）分布列見解析（ii）證明見解析【分析】（1）求出隨機(jī)變量的取值，求出對應(yīng)的概率即可列出分布列；（2）（i）求出隨機(jī)變量的取值，求出的概率即可列出分布列；（ii）求出，先判斷單調(diào)性，然后利用錯位相減法和不等式放縮證明.【詳解】（1）由題意，每位選手成功闖過兩關(guān)的概率為，易知取1,2,3,4，則，，，，因此的分布列為1234（2）（i）時，第人必答對第二題，若前面人都沒有一人答對第一題，其概率為，若前面人有一人答對第一題，其概率為，故.當(dāng)時，若前面人都沒有一人答對第一題，其概率為，若前面人有一人答對第一題，其概率為，故.的分布列為：123……（ii）由（i）知.，故，又，故，所以，①，②②－①，故.【點睛】方法點睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望.（在計算時，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）.20．已知四棱錐，底面為菱形，為上的點，過的平面分別交于點，且∥平面．

(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直可證平面，則，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證∥，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可證平面，根據(jù)線面夾角可知為等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求面面夾角.【詳解】（1）設(shè)，則為的中點，連接，因為為菱形，則，又因為，且為的中點，則，，平面，所以平面，且平面，則，又因為∥平面，平面，平面平面，可得∥，所以.（2）因為，且為的中點，則，且，，平面，所以平面，可知與平面所成的角為，即為等邊三角形，設(shè)，則，且平面，平面，可得平面，平面，且平面平面，所以，即交于一點，因為為的中點，則為的重心，且∥，則，設(shè)，則，如圖，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

21．已知曲線上任意一點滿足，且.(1)求的方程；(