第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1引言

給定一個(gè)線性方程組求解向量x。第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第一類是直接法。即按求精確解的方法運(yùn)算求解。第二類是迭代法。其思想是首先把線性方程組(3-1)等價(jià)變換為如下形式的方程組：數(shù)值解法主要有兩大類：然后構(gòu)造迭代格式這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.2解線性方程組的消去法

3.2.1高斯消去法與高斯若當(dāng)消去法

例1

第一步：先將方程（1）中未知數(shù)的系數(shù)2除（1）的兩邊，得到下列方程組：

解：1、消元過程矩陣的觀點(diǎn)第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

再將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的4倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍。

第二步：將方程中第二個(gè)方程的兩邊除以的系數(shù)4

第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

將第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程：

第三步：為了一致起見，將第三個(gè)方程中的系數(shù)變?yōu)?，

2、回代過程：第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面我們來討論一般的解n階方程組的高斯消去法，且就矩陣的形式來介紹這種新的過程：一、高斯消去法第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯消去法：

（1）消元過程：對(duì)k=1,2,…,n依次計(jì)算

(2)回代過程：第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3.1試用高斯消去法求解線性方程組

消元過程為解第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月即把原方程組等價(jià)約化為據(jù)之回代解得第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月為了避免回代的計(jì)算，我們可在消元過程中直接把系數(shù)矩陣A約化為單位矩陣I，從而得到解，即這一無回代的消去法稱為高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

二、高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月解歸一消元第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月歸一消元?dú)w一消元第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例2試用高斯-若當(dāng)消去法求解例3.1的線性方程組。

因?yàn)榻獾?4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

一般公式：

第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯約當(dāng)消去法是一個(gè)具有消去過程而無回代過程的算法。以上兩種消去法都是沿系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素進(jìn)行的，即第k次消元是用經(jīng)過前k-1次消元之后的系數(shù)陣位于（k,k)位置的元素作除數(shù)，這時(shí)的(k,k)位置上的元素可能為0或非常小，這就可能引起過程中斷或溢出停機(jī)。

3.2.2消去法的可行性和計(jì)算工作量

第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.1

如果的各階順序主子式均不為零，即有即消去法可行。推論若系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，即有

第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：高斯-若當(dāng)消去法求解矩陣方程和求矩陣的逆矩陣?yán)?.3試用高斯-若當(dāng)消去法求解如下矩陣方程解：其中X是矩陣第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.2.3選主元素的消去法

主元素的選取通常采用兩種方法：一種是全主元消去法；另一種是列主元消去法。下面以例介紹選主元的算法思想例3.4試用選主元消去法解線性方程組

第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）用全主元高斯消去法回代解出：還原得：解第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月故得解為（2）用全主元高斯-若當(dāng)消去法歸一、消元主元主元主元?dú)w一、消元?dú)w一、消元第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）用列主元高斯消去法回代解得第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.3解線性方程組的矩陣分解法

一、非對(duì)稱矩陣的三角分解法

矩陣分解法的基本思想是：可逆下三角矩陣可逆上三角矩陣對(duì)于給定的線性方程組（1）分解——解兩個(gè)三角形方程組。第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.3注意第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的Crout分解的計(jì)算公式第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(3-12)Crout分解的計(jì)算公式第26頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Crout分解的計(jì)算公式的記憶方法第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月注：第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.試用克洛特分解法解線性方程組0第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5試用克洛特分解法解線性方程組解第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.3.3對(duì)稱正定矩陣的三角分解

定義3.1若n階方矩陣A具有性質(zhì)且對(duì)任何n維向量成立，則稱A為對(duì)稱正定矩陣。定理3.4若A為對(duì)稱正定矩陣，則

(1)A的k階順序主子式(2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣L和對(duì)角矩陣D使得（3-16）這稱為矩陣的喬里斯基（Cholesky）分解。(3)有且僅有一個(gè)下三角矩陣，使（3-17）這稱為分解矩陣的平方根法。第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1）首先由A對(duì)稱正定知且對(duì)任何k維非零向量

故為k階對(duì)稱正定矩陣，所以

由惟一性得

證第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月把平方根法應(yīng)用于解方程組，則把Ax=b化為等價(jià)方程相應(yīng)的求解公式為第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月把喬里斯基分解法應(yīng)用于解方程組，則Ax=b化為等價(jià)方程相應(yīng)的求解公式為第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月j1jj-1由此可建立平方根法的遞推計(jì)算公式如下：第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月注：平方根法的遞推計(jì)算記憶法第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8試用平方根法求解對(duì)稱線性方程組

解

(1)第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由此，可先由上三角形線性方程組再由下三角形線性方程組第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地，由得從而可建立喬里斯基分解法的遞推計(jì)算公式為對(duì)于依次計(jì)算第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.7用喬里斯基分解法分解矩陣

解由式(3-9)第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3.9試用喬里斯基分解法解線性方程組解第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.4解線性方程組的迭代法

迭代法思想:(1)Ax=b(3-1)(2)建立迭代格式這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。第47頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.4.1雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法

約化便得從而可建立迭代格式對(duì)

（3-23）以分量表示即一、Jacob迭代法雅可比（Jacobi）迭代

第48頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月則雅可比迭代格式（3-24）可用矩陣表示為MJfJ第49頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月-------雅可比迭代例如解：修正-----高斯-塞德爾迭代第50頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月用矩陣表示為對(duì)雅可比迭代格式修改得高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代

fG-SMG-S二、Gauss-Seidel迭代法第51頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10分別用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組

解相應(yīng)的迭代公式為雅可比迭代高斯-塞德爾迭代令取四位小數(shù)迭代計(jì)算由雅可比迭代得

由高斯-塞德爾迭代得

第52頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.4.2迭代法的收斂性

定義3.2設(shè)n階線性方程組的精確解為x*

相應(yīng)的一階定常迭代格式為如果其迭代解收斂于精確解，即則稱迭代格式（3-26）收斂命題3.2記的充分必要條件為第53頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.5若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件

則該迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂。則該迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂。

定理3.6

若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件第54頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.7若雅可比迭代法的迭代矩陣滿足條件（3-28）或（3-29），則雅可比迭代法與相應(yīng)的高斯-塞德爾迭代法對(duì)任何初始向量均收斂。推論

如果線性代數(shù)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即則相應(yīng)的雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法對(duì)任何初始向量均收斂。

第55頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理3.8一階定常迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂的充分必要條件為其迭代矩陣的譜半徑小于1，即這里為M的特征值定理3.9

若線性方程組（3-1）的系數(shù)矩