可修編可修編可修編可修編可修編-可修編-將軍玄馬模型一、背景知識:【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜購他，向他請教一個百思不得其解的冋趣.將軍甸天從軍營A出發(fā)，先到河JJX弓，然后再去河岸同明的軍營B開會，應(yīng)域怎樣走才能使路樣晟短？迪個冋證的苔案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它.從此決后，Ji個被林為“耀軍玄馬”的冋胃便逍傳至今.【冋題原塑】將軍氏馬it橋選址貴馬點【涉及知識】兩點之同找段最短，垂線段最矯;三角形Wifiza關(guān)系；抽對禰；平移；【解題思路】找對禰點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)胃二、將軍玄馬網(wǎng)題常見模塑1兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小啊1：在定頁裁/上找一個動點P,便動點P到兩個定點A與B的卽離之和最小，RPPA+PB最小作法：連接AB,與IS/ffi交點Q,QRO為所要尋找的點，即當(dāng)朋點PIS到了點Q業(yè),PA+PB小，且最小值等于AB.原理：兩點之間找段最短。證明：連接AB,與頁線/的交點Q,P為言找/上任蔥一點,在ZPAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PBMAB（當(dāng)且僅當(dāng)PQ?合時取=）

?2：在定頁線/上找一個a）gP，使勸點P到兩個定點A與B的即離之相晟小,即PA+PB的和小關(guān)埶找對秫點、丿作迭：作定點B關(guān)于定IS/N對稱點C,連ftAC,與頁線I的交目0即為所要尋找的點,即當(dāng)動自P跑到了點Q5LPA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點之間，線目最矯證明：連接AC,與宜線/的交點Q,P為有找/上任蔥一點，在ZPAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP十PCMAC（當(dāng)目僅當(dāng)PQ4合時取=）2兩動一定型M3:在ZMON的部自一點A,在0M上找一點B,在ON上找-點C,便RABAC周長量短.作袪：作直A關(guān)TOM的對稱點AS作點A關(guān)于ON的對禰點A廠，連按A，A：與0M交干點B,與ON交于點C,連接AB,AC,△ABCIHl為所求.原理：兩直之同，線段最短1八4:在乙MON曲部有和直B,在0M上找一點C,在ON上找一點D,便得四邊形ABCD周長晟短n;\NB作袪：作關(guān)TOM對稱點X,作自B關(guān)于ON的對禰直連接A,BS與0M交于點C,與ON交于點D,連接AC,BD,AB,ffljflJPABCDRP為所求.原理：兩點之同，線段最矯3兩定兩動型最值側(cè)5：已111A.B是兩個定目，在定SS/上找兩個動點M與N,長度等于定長d（朋點M位于動點N左||）,便AM+MN+NB的値最小.提示：存在定長的朋點問題一定要考慮平務(wù)??■?A2修編-BBBB作S-:將點A向右平務(wù)長度〃得到點/V作A,關(guān)于I［線/的對稱點A”，連接A-B,交宜裁/于點N,將點N向左平朽長度％得到點餛作法二：作點A關(guān)于IS/的對禰點九，將點A1向右平移長度〃得到點A2,連接A2B,交SS/干點Q,將點Q向左平務(wù)長度/得到虎0。原理：兩自之間，線目最矯，最小18為A”B+MN例6：（jg橋薩址）將軍毎日需斯馬從軍營出發(fā)，去沼岸對側(cè)的瞭里臺現(xiàn)察故情，已知河浹的寬度為30米，請冋，在何地修浮桁，可便得將軍毎日的行程最短?.瞭望臺例6:iSh//k在IS//上找一fP，頁線厶上找一個點D,便得CD丄厶目AC+BD+CD最短.可修編可修編可修編可修編在ON在ON上找一點C,使得AB十BC靈職If作法：ACD方向向卞平移CD長度〃至j5A\SAT，交厶干點D,過點D作DC丄厶干AC,連8AC.iftCDHO為J#求.此時顯小值為A'B+CD原理：兩點之間，線段最矯，4垂?S9Sg?7：在乙MON的部有一點A,在OM上找一點B,原理：垂裁段最短是定點，OM,ON是定裁，&B.點C是OM、ON11找的點，是動自.?8：在定SS/土tt—個動點P,便動直P到兩f定JSA與B的即離之差最小,RPPA-PB此?8：在定SS/土tt—個動點P,便動直P到兩f定JSA與B的即離之差最小,RPPA-PB此HIPA-PB|=0原理：找段垂頁平分我上的目到裁段兩喘的即離柑等可修編可修編ft9：在定3S/上找一個勸點c,便動點C到兩f定點A與B的即離之差最大，HPIPA-PBI晟大作法：址KBA交/于fiC,SC即為所求，少/./即點B、A、C三點共我時，宦大伯為AB的長錢。一二￥原理：三角形□意兩迪之差小于第三迪?10：在定胃線/上找一個動自C,便動點C到兩f定點A與B的即離之差最大，即IPA-PBI作法：作點B關(guān)于/的對禰點B,連接AB,交交/于點P即力所求，最大值為AB的長度。原Sh三角形任意兩邊之差小于第三邊典塑例題三角形1?如圖，在等fflAABC中，AB=6,AD丄E是AC土的一點，M是AD土的一點，且AE解：點C關(guān)TISAD的對稱點是點B,連接BE,交AD干點M,則ME+MD晟小，過點B作BH丄AC于點H,IMEH=AH-AE=3-2=1,BH=八BC2—CH2=八?—32=3八3在頁角ABHE中，BE二pBH'+HE2=冷（3書）2+[2=2八72.如圖，在祝角,ABC中,AB=4八2zzBAC=45。.zBAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的族，則BM+MN的最小值—聲：作原B關(guān)于AD的對稱怎B,過點B作BE士AB于點E咬AD于點F,則踐段B'E的氏就是BM十MN的最小值在等腰RVAEBAr根菇勾段罡理得到,BE=43如塑，SBC中，AB=2,zBAC=3(T若在AC、AB上各取一爲(wèi)M.N使BM+MN的侑腳J、則這個最小值解：作AB關(guān)于AC的對粉線段AB?f過點B作B'N丄AB,垂足為N，交AC于點M.則BN=MB+MN=MB+MNBN的托就是MB+MN約最幻佰貝JzBAN=2zBAC=60°AB*=AB=2,zANB'=90°rzB*=30。.-AN=1在直角-AB*N中,根據(jù)勾股定理BN=y[i

Pa「t2.正方形1如圖，正方形ABCD1如圖，正方形ABCD的邊長為8川在DC上，且DM=2,N是AC上的一動點DN+MN的最小值為f蘭踐AC上求一點N，使DN+MN最小dB解：故作點D關(guān)于AC的對稱點B，連接BM,交AC于點N。貝UDN+MN二BN+MN二BM線段BM的長就是DN+MN的最小值角上BCM中，CM=6,BC二8,則BM=10故DN+MN的最小值是10可修編可修編可修編可修編PD+PE的和最小（則這個敷」、值為（）A.2A/3B#C.3D.A/6解:即在AC上手一點Pf使PE+PD的值最小點D關(guān)于直線AC的對稱點是亦B,連接BE交AC于點p,則BE二PB4PE二PD+PE,BE的長就是PD+PE的最小值BE=AB二護33在邊長為25的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點f點P為對角線AC上t點，醱PB?PQ，則二PBQ周長的33在邊長為25的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點f點P為對角線AC