惠臺(tái)學(xué)校2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把點(diǎn)沿軸方向向右平移一個(gè)單位，則得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．2．下列不等式中不一定成立的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．若分式中的的值同時(shí)擴(kuò)大到原來的3倍，則分式的值（）A．不變B．是原來的3倍C．是原來的6倍D．是原來的9倍4．已知一次函數(shù)，那么下列結(jié)論正確的是（）A．的值隨的值增大而增大B．圖象經(jīng)過第一、二、三象限C．圖象必經(jīng)過點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，5．小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測(cè)得，對(duì)角線，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中對(duì)角線的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．6．為計(jì)算某樣本數(shù)據(jù)的方差，列出如下算式，據(jù)此判斷下列說法錯(cuò)誤的是（）A．樣本容量是4B．樣本的平均數(shù)是4C．樣本的眾數(shù)是3D．樣本的中位數(shù)是37．若能用完全平方公式因式分解，則的值為（）A．B．C．或11D．13或8．關(guān)于的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，則滿足（）A．B．C．D．9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，當(dāng)直線與有交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是（）A．B．C．D．10．如圖，在中，是的中點(diǎn)，作，垂足在線段上，連接，則下列結(jié)論中一定成立的是（）①；②；③；④．A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．因式分解：________．12．如圖，已知一次函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解是________．13．如圖，長(zhǎng)方形中，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的面積是________．14．若關(guān)于的方程無解，則________．15．如圖，在矩形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，為垂足，連接．若，則的最小值是________．三、解答題（本大題共3小題，第16題共10分，第17、18題各7分，共24分）16．（1）解方程：．（2）計(jì)算．17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．18．如圖，已知中，，（1）用直尺和圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)，便得點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若，求證：．四、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共27分）19．某超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售．經(jīng)了解，甲種商品的進(jìn)價(jià)比乙種商品的進(jìn)價(jià)高50%，超市用1500元購(gòu)進(jìn)甲種商品比用2000元購(gòu)進(jìn)乙種商品的重量少50千克，已知超市對(duì)甲，乙兩種商品的售價(jià)分別為45元/千克和30元/千克．（1）求甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)分別是多少？（2）若超市購(gòu)進(jìn)這兩種商品共450千克，其中甲種商品的重量不高于乙種商品重量的2倍，則超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？20．如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)．與直線相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果在軸上存在一點(diǎn)，使是以為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使的面積等于6？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．21．我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三邊長(zhǎng)分別是和3，因?yàn)?，所以這個(gè)三角形是非凡三角形．（1）若非凡三角形，且，則________．（2）如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)，且是非凡三角形，求的值．五、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）22．【方法回顧】連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線，探索三角形中位線的性質(zhì)，方法如下：如圖1，分別是中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，連接；圖1圖2圖3（1）證明，再證四邊形是平行四邊形，從而得到線段與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別為________、________．（2）【初步運(yùn)用】如圖2，正方形中，為邊中點(diǎn)，分別在邊上，且，求長(zhǎng)．（3）【拓展延伸】如圖3，四邊形中，為中點(diǎn)，分別為邊上的點(diǎn)，若，求長(zhǎng)．23．已知，如圖①，在中，，點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，以為腰作等腰直角，連接．