第七章不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第七章不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容

流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析有旋流動(dòng)、無旋流動(dòng)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程渦線、渦管以及斯托克斯定理

本章主要討論三元流動(dòng)問題，即討論有關(guān)流動(dòng)問題的基本概念和基本原理以及描述不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的基本方程和定解條件。本章主要內(nèi)容流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析

本章主2第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析分析流場(chǎng)中任意流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是研究整個(gè)流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。流體運(yùn)動(dòng)要比剛體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多，流體微團(tuán)基本運(yùn)動(dòng)形式有平移運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)等，而變形運(yùn)動(dòng)又包括線變形和角變形兩種。第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析分析流場(chǎng)中任意流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是研究3不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課件4平面流動(dòng)平移

轉(zhuǎn)動(dòng)線變形角變形平面流動(dòng)平移轉(zhuǎn)動(dòng)5平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)右圖為任意t時(shí)刻在平面流場(chǎng)中所取的一個(gè)正方形流體微團(tuán)。由于流體微團(tuán)上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不一致，經(jīng)過微小的時(shí)間間隔后，該流體微團(tuán)的形狀和大小會(huì)發(fā)生變化，變成了斜四邊形。平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)右圖為任意t時(shí)刻在6流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)速度的變化有關(guān)。設(shè)方形流體微團(tuán)中心M的流速分量為ux和uy（圖7-1)，則微團(tuán)各側(cè)邊的中點(diǎn)A、B、C、D的流速分量分別為：流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)速度的變化有關(guān)。設(shè)方形流體微團(tuán)7可見，微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同所引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分?？梢?，微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不8平移運(yùn)動(dòng)速度微團(tuán)上各點(diǎn)公有的分速度ux和uy，使它們?cè)赿t時(shí)間內(nèi)均沿x方向移動(dòng)一距離uxdt,沿y方向移動(dòng)一距離uydt。因而，我們把中心點(diǎn)M的速度

ux和uy，定義為流體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng)速度。平移運(yùn)動(dòng)速度微團(tuán)上各點(diǎn)公有的分速度ux和uy，使它們9線變形運(yùn)動(dòng)微團(tuán)左、右兩側(cè)的A點(diǎn)和C點(diǎn)沿x方向的速度差為當(dāng)這速度差值為正時(shí)，微團(tuán)沿x方向發(fā)生伸長(zhǎng)變形；當(dāng)它為負(fù)時(shí)，微團(tuán)沿x方向發(fā)生縮短變形。線變形運(yùn)動(dòng)微團(tuán)左、右兩側(cè)的A點(diǎn)和C點(diǎn)沿x方向的速10線變形速度單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線變形稱為線變形速度。以θx表示流體微團(tuán)沿x方向的線變形速度，則：線變形速度單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線變形稱為線變形速度。11三元流動(dòng)線變形速度三元流動(dòng)線變形速度12微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)和角變形流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)過程可以看作下述兩種基本運(yùn)動(dòng)的組合：流體微團(tuán)繞M點(diǎn)作無角變形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，ABCD-A’B’C’D’;由于過M點(diǎn)各直線的旋轉(zhuǎn)角速度不相等而產(chǎn)生角變形運(yùn)動(dòng)，使方形微團(tuán)變?yōu)榱庑?，即：A’B’C’D’-A’’B’’C’’D’’。微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)和角變形流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)過程可以看作下述兩種基本運(yùn)動(dòng)13旋轉(zhuǎn)角速度設(shè)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，則AMC線的旋轉(zhuǎn)角速度為：BMD線的旋轉(zhuǎn)角速度為：旋轉(zhuǎn)角速度設(shè)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，則AMC線的旋轉(zhuǎn)角速度為：14把對(duì)角線的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在平面上的旋轉(zhuǎn)角速度。因而，角速度矢量為：角速度的大小為：把對(duì)角線的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在平面上15角變形速度直角邊AMC（或BMD）與對(duì)角線EMF的夾角的變形速度定義為流體微團(tuán)的角變形速度。角變形速度直角邊AMC（或BMD）與對(duì)角線EMF的夾16亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理17亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理18第二節(jié)有旋流動(dòng)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在流場(chǎng)內(nèi)不完全為零的流動(dòng)稱為有旋流動(dòng)。自然界和工程中出現(xiàn)的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，例如:龍卷風(fēng)管道流體運(yùn)動(dòng)繞流物體表面的邊界層及其尾部后面的流動(dòng)。第二節(jié)有旋流動(dòng)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在流場(chǎng)內(nèi)不完全為零的流19無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)與無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)與無旋流動(dòng)20無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)與無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)與無旋流動(dòng)21渦量渦量22渦量連續(xù)性微分方程渦量連續(xù)性微分方程23渦線在渦量場(chǎng)中可以畫出表征某一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量方向的曲線，稱為渦線。在給定的瞬時(shí)，渦線上各點(diǎn)的角速度向量在該點(diǎn)處與渦線相切。渦線在渦量場(chǎng)中可以畫出表征某一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量方24渦線微分方程沿渦線取一微小線段ds，由于渦線與角速度向量的方向一致，所以，沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量dx，dy，dz必然與角速度向量的三個(gè)分量成正比，即：渦線微分方程沿渦線取一微小線段ds，由于渦線與25渦管在渦量場(chǎng)中任意畫一封閉曲線，通過這條曲線上的每一點(diǎn)所作出的渦線構(gòu)成一管狀的曲面，稱為渦管。渦管在渦量場(chǎng)中任意畫一封閉曲線，通過這條曲線上的每一點(diǎn)所作出26渦通量渦通量27渦管強(qiáng)度守恒定理渦管截面愈小的地方，流體的旋轉(zhuǎn)角速度愈大。可以證明：對(duì)于微元渦管，可以近似認(rèn)為截面上各點(diǎn)的渦量為常數(shù)，則由上式：渦管強(qiáng)度守恒定理渦管截面愈小的地方，流體的旋轉(zhuǎn)角速度愈大?？?8渦量場(chǎng)中的渦線、渦管、渦通量等概念分別與流速場(chǎng)中的流線、流管、流量等概念相對(duì)應(yīng)，而渦線方程與渦管的渦通量方程則分別與流線方程和元流連續(xù)性方程相對(duì)應(yīng)。渦量場(chǎng)中的渦線、渦管、渦通量等概念分別與流速場(chǎng)中的流線、流管29速度環(huán)量通常，渦通量是利用速度環(huán)量這個(gè)概念來計(jì)算的。在流場(chǎng)中任取一封閉曲線s，則流速沿曲線s的積分稱為曲線s上的速度環(huán)量。并規(guī)定積分沿s逆時(shí)針方向繞行為s的正方向。速度環(huán)量通常，渦通量是利用速度環(huán)量這個(gè)概念來計(jì)算的。30斯托克斯定理沿任意封閉曲線s的速度環(huán)量等于通過以該曲線為邊界的曲面A的渦通量。斯托克斯定理沿任意封閉曲線s的速度環(huán)量等于通過以該曲線為邊界31不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課件32微元體及其表面的質(zhì)量通量微元體內(nèi)的質(zhì)量變化率輸入微元體的質(zhì)量流量質(zhì)量守恒直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程－輸出微元體的質(zhì)量流量＝y(tǒng)

xz

dzdxdy第三節(jié)不可壓縮流體連續(xù)性微分方程微元體及其表面的質(zhì)量通量微元體內(nèi)的輸入微元體質(zhì)量守恒直角坐標(biāo)33連續(xù)性方程1、x方向：dt時(shí)間內(nèi)沿從六面體x處與x+dx處輸入與輸出的質(zhì)量差：2、dt時(shí)間內(nèi)，整個(gè)六面體內(nèi)輸入與輸出的質(zhì)量差：y方向：z方向：連續(xù)性方程1、x方向：dt時(shí)間內(nèi)沿從六面體x處與x+d343、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：從而有：或：連續(xù)性方程連續(xù)方程物理意義：流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。矢量形式：（適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體）3、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：從而有：或：連續(xù)性方程連續(xù)方程物理意35上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。適用范圍：恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體。連續(xù)性方程是流體流動(dòng)微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)均必須滿足。一維流動(dòng)的連續(xù)方程若流體不可壓縮：上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流入與流出36例：已知不可壓流體速度,

估算w。解：不可壓流體例：已知不可壓流體速度,估算w。解：不可壓流體37第四節(jié)以應(yīng)力表示的粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定律yxz微元體上X和Z方向的表面力粘性流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的應(yīng)力有9個(gè)分量，包括3個(gè)正應(yīng)力分量和6個(gè)切應(yīng)力分量：應(yīng)力狀態(tài)：切應(yīng)力互等定律在6個(gè)切應(yīng)力分量中，互換下標(biāo)的每一對(duì)切應(yīng)力是相等的。第四節(jié)以應(yīng)力表示的粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等38微元體表面力的總力分量x方向的表面力：y方向的表面力：z方向的表面力：微元體表面力的總力分量x方向的表面力：y方向的表面力：z方向39動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率y

xz

dzdxdy動(dòng)量在微元體表面的輸入與輸出動(dòng)量流量動(dòng)量通量動(dòng)量流量x流通面積＝圖中標(biāo)注的是動(dòng)量的輸入或輸出方向，而動(dòng)量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率yxzdzdxdy動(dòng)量在微元體表面40x方向：輸入輸出微元體的動(dòng)量流量y方向：z方向：微元體內(nèi)的動(dòng)量變化率x方向：y方向：z方向：流體的瞬時(shí)質(zhì)量為x方向的瞬時(shí)動(dòng)量為x方向：輸入輸出微元體的動(dòng)量流量y方向：z方向：微元體內(nèi)的動(dòng)41x方向的運(yùn)動(dòng)方程：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程y方向的運(yùn)動(dòng)方程：z方向的運(yùn)動(dòng)方程：注：上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程，適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。x方向的運(yùn)動(dòng)方程：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程y方向的運(yùn)動(dòng)方程：z方42方程的物理意義：方程左邊是：任意時(shí)刻t通過考察點(diǎn)A的流體質(zhì)點(diǎn)加速度的三個(gè)分量；方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標(biāo)上的分量。方程可簡(jiǎn)略表示成：這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準(zhǔn)的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律方程的物理意義：方程左邊是：任意時(shí)刻t通過考察點(diǎn)A的流體質(zhì)點(diǎn)43第五節(jié)應(yīng)力和變形速度的關(guān)系第五節(jié)應(yīng)力和變形速度的關(guān)系44粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程，需補(bǔ)充方程才能求解。Navier－Stokes方程對(duì)一維流動(dòng)問題：補(bǔ)充方程：牛頓剪切定律對(duì)粘性流體流動(dòng)問題：補(bǔ)充方程：廣義的牛頓剪切定律即：牛頓流體本構(gòu)方程目的將應(yīng)力從運(yùn)動(dòng)方程中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程，即N-S方程。關(guān)鍵：尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程，需補(bǔ)充方程才能求解45N-S方程牛頓流體的本構(gòu)方程引入的基本假設(shè)：為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，Stokes提出三個(gè)基本假設(shè)：應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系;應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；靜止流場(chǎng)中，切應(yīng)力為零，各正應(yīng)力均等于靜壓力N-S方程牛頓流體的本構(gòu)方程引入的基本假設(shè)：為了尋求流體應(yīng)力46牛頓流體的本構(gòu)方程：牛頓流體的本構(gòu)方程：47本構(gòu)方程的討論：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：流體正應(yīng)力與三個(gè)速度偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)(即:線變形率)，同固體力學(xué)中的虎克定律。線變形率與流體流動(dòng)：從流體流動(dòng)角度看，線變形率的正負(fù)反映了流體的流動(dòng)是加速還是減速；體變形率的正負(fù)反映了流動(dòng)過程中流體體積是增加還是減少。正應(yīng)力與線變形速率：附加粘性正應(yīng)力附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生是速度沿流動(dòng)方向的變化所導(dǎo)致的。本構(gòu)方程的討論：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：流體正應(yīng)力與三個(gè)速度偏導(dǎo)48正應(yīng)力與壓力：由于粘性正應(yīng)力的存在，流動(dòng)流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值。但有：這說明：三個(gè)正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。切應(yīng)力與角邊形率：流體切應(yīng)力與角變形率相關(guān)。牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系）。正應(yīng)力與壓力：由于粘性正應(yīng)力的存在，流動(dòng)流體的壓力在數(shù)值上一49流體運(yùn)動(dòng)微分方程——Navier－Stokes方程適用于牛頓流體第六節(jié)N-S方程流體運(yùn)動(dòng)微分方程——Navier－Stokes方程適用于牛頓50常見條件下N－S方程的表達(dá)形式：適用于牛頓流體常粘度條件下N－S方程：矢量形式：常見條件下N－S方程的表達(dá)形式：適用于牛頓流體常粘度條件下N51適用于牛頓流體不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：適用于牛頓流體不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：52適用于牛頓流體常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：非定常項(xiàng)定常流動(dòng)為0靜止流場(chǎng)為0對(duì)流項(xiàng)靜止流場(chǎng)為0蠕變流時(shí)≈0單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)）對(duì)靜止或理想流體為0高速非邊界層問題≈0適用于牛頓流體常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式53第八節(jié)流體流動(dòng)的初始條件和邊界條件連續(xù)方程和N－S方程是粘性流體流動(dòng)應(yīng)遵循的質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式。N-S方程應(yīng)用概述封閉條件：理論上方程是封閉的，但若要考慮到物性參數(shù)的變化，應(yīng)將物性變化的關(guān)系