第2章推理與證明

創(chuàng)造過程是一個艱苦曲折的過程.數(shù)學家創(chuàng)造性的工作是論證推理,即證明.但這個證明是通過合情推理、通過猜想而發(fā)現(xiàn)的．－－－Ｇ．波利亞．2.1.2演繹推理第2章推理與證明創(chuàng)造過程是一個艱苦曲折的過程.數(shù)學家創(chuàng)合情推理歸納推理從特殊到一般類比推理從特殊到特殊從具體問題出發(fā)觀察、分析比較、聯(lián)想提出猜想歸納類比復習回顧合情推理歸納推理從特殊到一般從具體問題出發(fā)觀察、分析問題情境

我們知道合情推理所得結論不一定正確,那么怎樣推理所得的結論就一定正確呢?又怎樣證明一個結論呢?---演繹推理問題情境我們知道合情推理所得結論不一定正確,那

觀察與思考1.所有的金屬都能導電,

2.一切奇數(shù)都不能被2整除,

銅能夠導電.銅是金屬,

(2100+1)不能被2整除.(2100+1)是奇數(shù),是合情推理嗎？學生活動觀察與思考1.所有的金屬都能導電,

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．2.注：■演繹推理是由一般到特殊的推理；■“三段論”是演繹推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般性原理；⑵小前提---所研究的特殊情況；⑶結論---據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷．

1.演繹推理建構數(shù)學:從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推3.三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（S是P）（大前提）（小前提）（結論）4.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點來理解:

若集合M的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質P.MSp3.三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（

觀察與思考1.所有的金屬都能導電,

2.一切奇數(shù)都不能被2整除,

所以，銅能夠導電.

銅是金屬,

所以,(2100+1)不能被2整除.(2100+1)是奇數(shù),大前提小前提結論結論小前提大前提觀察與思考1.所有的金屬都能導電,解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線（大前提）感受理解說明:為了方便,在運用三段論推理時,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線（大前提）感受理解說明:為了例2.已知lg2=m,計算lg0.8解（1）lgan=nlga(a>0)lg8=lg23∴l(xiāng)g8=3lg2(2)lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)lg0.8=lg(8/10)∴l(xiāng)g0.8=lg8-lg10=3lg2-1=3m-1大前提小前提結論大前提小前提結論數(shù)學應用例2.已知lg2=m,計算lg0.8解（1）lgan思考：例４的證明過程包含了幾個三段論？思考：例４的證明過程包含了幾個三段論？證(1)不等式兩邊乘以同一個正數(shù),不等式仍成立,(大前提)b﹤a,m﹥0,(小前提)

所以mb﹤ma(結論)(2)不等式兩邊加同一個數(shù),不等式仍成立,(大前提)mb﹤ma,ab=ab(小前提)

所以ab+mb﹤ab+ma

即b(a+m)﹤a(b+m)(結論)證(1)不等式兩邊乘以同一個正數(shù),(2)不等式兩邊加同一個數(shù)(3)不等式兩邊同除以一個正數(shù),不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)證(1)不等式兩邊乘以同一個正數(shù),不等式仍成立(大前提)b﹤a,m﹥0,(小前提)

所以mb﹤ma(結論)

(2)不等式兩邊加同一個數(shù),不等式仍成立,(大前提)mb﹤ma,ab=ab(小前提)所以ab+mb﹤ab+ma即b(a+m)﹤a(b+m)(結論)(結論)(3)不等式兩邊同除以一個正數(shù),不等式仍成立,(大前提)證·演繹推理具有如下特點:(1)演繹的前提是一般性原理,演繹所得的結論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實,結論完全蘊涵于前提之中。(2)在演繹推理中,前提與結論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結論也必定是正確的。因而演繹推理是數(shù)學中嚴格證明的工具。(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學的理論化和系統(tǒng)化。歸納小結·演繹推理具有如下特點:(1)演繹的前提是一般性原理,演繹所練習1：把下列推理恢復成完全的三段論:課堂練習練習1：把下列推理恢復成完全的三段論:課堂練習課堂練習課堂練習練習2.指出下列推理中的錯誤,并分析產(chǎn)生錯誤的原因;(1)整數(shù)是自然數(shù),-3是整數(shù),-3是自然數(shù);(2)無理數(shù)是無限小數(shù),是無限小數(shù),是無理數(shù).課堂練習大前提錯誤推理形式錯誤練習2.指出下列推理中的錯誤,并分析產(chǎn)生錯誤的原因;(1)

推理

合情推理演繹推理歸納(特殊到一般)類比(特殊到特殊)三段論(一般到特殊)回顧小結1.分類.推理合情推理演繹推理歸納類2.合情推理與演繹推理的區(qū)別:(1)特點①歸納是由特殊到一般的推理;

②類比是由特殊到特殊的推理;

③演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)

從推理的結論來看：合情推理的結論不一定正確,有待證明;

演繹推理得到的結論一定正確.回顧小結2.合情推理與演繹推理的區(qū)別:(1)特點①歸納是由特(1)數(shù)學結論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.(2)演繹推理是證明數(shù)學結論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.3.合情推理與演繹推理的相關說明：回顧小結(1)數(shù)學結論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.(2)布置作業(yè)1.