第第頁江蘇省啟東市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版含答案）啟東市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．B．C．D．

2．“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．已知，則（）

A．B．C．D．

4．已知且，則的最小值是（）

A．9B．10C．D．

5．塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑.如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為（）

A．B．

C．D．

6．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．

C．D．

7．已知函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

8．已知，，，則（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．下列命題正確的是（）

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

10．下列命題中，真命題的是（）

A．，都有B．，使得.

C．任意非零實(shí)數(shù)，都有D．函數(shù)的最小值為2

11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）

A．的圖象的一條對(duì)稱軸為直線

B．在上單調(diào)遞增

C．的圖像可由函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位得到

D．若函數(shù)為偶函數(shù)，則絕對(duì)值的最小值為

12．在中，，點(diǎn)在線段上，下列結(jié)論正確的是（）

A．

B．若是中線，則

C．若是角平分線，則

D．若，則是線段的三等分點(diǎn)

三、填空題

13．若命題：“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

14．在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，若，則.

15．已知函數(shù)若，則的值為．

16．設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，取最小值時(shí)，若在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

四、解答題

17．已知集合，集合．

(1)當(dāng)時(shí)，求；

(2)記，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18．已知向量，，其中，且.

(1)求的值；

(2)若，且，求角.

19．已知函數(shù)的部分圖象如圖.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求值域.

20．已知向量，設(shè)函數(shù)．

(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若的面積為，求a的值.

21．已知二次函數(shù)，且不等式的解集為.

(1)求解析式；

(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

22．在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬．設(shè)燈柱高，．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；

(2)求燈柱的高（用表示）；

(3)若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值．啟東市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷答案解析

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由集合，

所以.

故選：C.

2．“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分、必要條件結(jié)合任意角的正弦函數(shù)分析判斷.

【詳解】若，則成立；

若，則或，故不一定成立；

綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.

故選：A.

3．已知，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】將所求的式子利用兩角和的正弦公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)，拆分成兩個(gè)齊次式求解即可.

【詳解】由已知條件得，

，

故選：A.

4．已知且，則的最小值是（）

A．9B．10C．D．

【答案】D

【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.

結(jié)合可知，當(dāng)時(shí)，最小值.

故選：D.

5．塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑.如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】先在中利用正弦定理求出的長(zhǎng)，再在直角利用三角函數(shù)可求得結(jié)果.

【詳解】在中，，，

則，

，

由正弦定理得，即，

所以，得，

在直角中，，則

，

故選：D

6．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】首先求函數(shù)在時(shí)函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)椋_定時(shí)函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值的范圍，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【詳解】時(shí)，，

又的值域?yàn)?，則時(shí)，的值域包含，

，解得：.

故選：B

7．已知函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)列不等式，由此求得的取值范圍.

【詳解】依題意，

，

由得，

依題意在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，

，

所以，，

所以的取值范圍是.

故選：B

8．已知，，，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】由基本不等式可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，可比較的大小，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

，，

所以令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?，所以?/p>

即，所以，又因?yàn)?，所?

故選：A.

二、多選題

9．下列命題正確的是（）

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

【答案】AC

【分析】根據(jù)不等式得性質(zhì)即可判斷ABC，再利用作差法即可判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A，若，則，故A正確；

對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，

若，則，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若，則，故C正確；

對(duì)于D，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10．下列命題中，真命題的是（）

A．，都有B．，使得.

C．任意非零實(shí)數(shù)，都有D．函數(shù)的最小值為2

【答案】AB

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，作差比較可知A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，可知B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)異號(hào)時(shí)，可知C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)基本不等式取等的條件不成立可知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以對(duì)，都有，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，若異號(hào)，則0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，此式無解，所以函數(shù)的最小值不為2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB

11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）

A．的圖象的一條對(duì)稱軸為直線

B．在上單調(diào)遞增

C．的圖像可由函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位得到

D．若函數(shù)為偶函數(shù)，則絕對(duì)值的最小值為

【答案】ACD

【分析】A代入法判斷對(duì)稱軸；B整體法并結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性；C根據(jù)圖象平移寫出平移后解析式；D由為偶函數(shù)得，即可判斷.

【詳解】A：，故是一條對(duì)稱軸，正確；

B：，則在已知區(qū)間上不單調(diào)，錯(cuò)誤；

C：，正確；

D：為偶函數(shù)，則，，即，，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)絕對(duì)值最小，為，正確.

故選：ACD

12．在中，，點(diǎn)在線段上，下列結(jié)論正確的是（）

A．

B．若是中線，則

C．若是角平分線，則

D．若，則是線段的三等分點(diǎn)

【答案】BC

【分析】根據(jù)余弦定理可得，即可判斷A；根據(jù)向量的模長(zhǎng)即可求解B；根據(jù)面積公式即可求解為角平分線時(shí)的長(zhǎng)度,即可判斷C；根據(jù)向量的線性表示以及模長(zhǎng)公式即可求解D.

【詳解】對(duì)于A，在中，，，，

由余弦定理得，

又，，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若是中線，，即，

，故B正確；

對(duì)于：若是角平分線，則，

即，解得，故C正確；

對(duì)于D：若為線段的三等分點(diǎn)，

則或，

即或，

，或，

或，故D錯(cuò)誤．

故選：BC．

三、填空題

13．若命題：“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

【答案】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】由題意可知：命題：，.是真命題，

①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；

②當(dāng)時(shí)，則，解得；

故答案為：.

14．在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，若，則.

【答案】

【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)已知及數(shù)量積的定義即可求結(jié)果.

【詳解】由，

所以.

故答案為：

15．已知函數(shù)若，則的值為．

【答案】或

【分析】利用換元法，結(jié)合函數(shù)的解析式進(jìn)行代入求解即可.

【詳解】令，即.

當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意，

故答案為：或

16．設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，取最小值時(shí)，若在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

【答案】

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)得出，再由時(shí)，得出實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【詳解】，的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后變?yōu)?，且與重合，所以，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即.因?yàn)樵趨^(qū)間上有解，所以時(shí)，.因?yàn)?，，，所以?shí)數(shù)t的取值范圍為

故答案為：

四、解答題

17．已知集合，集合．

(1)當(dāng)時(shí)，求；

(2)記，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合，由交集和補(bǔ)集的定義求解即可；

（2）由是的必要不充分條件可得，則，解不等式即可得出答案.

【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，

故，當(dāng)，

∴，

所以

（2）∵，∴，

∴，

∵是的必要不充分條件，

即，

∴，解得，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．

18．已知向量，，其中，且.

(1)求的值；

(2)若，且，求角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后利用二倍角公式求解即可；

（2）先求出，進(jìn)而得到，得到，再利用兩角差的正弦公式求解即可.

【詳解】（1）由，得，即.

代入，得，

又，則，.

則.

（2）由，，則.

又，所以.

則=

=.

由，得.

19．已知函數(shù)的部分圖象如圖.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得，由函數(shù)周期求得，由特殊點(diǎn)求得，即可求得解析式；

（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得的解析式，再利用整體法求函數(shù)值域即可.

【詳解】（1）由圖象可知，的最大值為，最小值為，又，故，

周期，，，則，

從而，代入點(diǎn)，得，

則，，即，，

又，則.

.

（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，

故可得；

再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象

故可得；

，，

，.

20．已知向量，設(shè)函數(shù)．

(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若的面積為，求a的值.

【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

(2).

【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，并利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）求得，由三角形面積求得，然后利用余弦定理求得．

【詳解】（1）由題知，

，解得，

所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．

，解得，

所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知，因?yàn)椋?/p>

所以，，，所以，．

的面積，得，．

又，

所以，

．

21．已知二次函數(shù)，且不等式的解集為.

(1)求解析式；

(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集結(jié)合韋達(dá)定理求得，即得答案.

（2）不等式在上有解，即在上的最大值，采用換元法結(jié)合基本不等式求得的最大值，即得答案.

【詳解】（1）由題意知的解集為，

故方程的兩個(gè)根是1和3，

故，即，

故.

（2）由題意在上有解，即在上有解，

∵，∴在上的最大值，

設(shè)，則，則

又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，

∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

22．在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬．設(shè)燈柱高，．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；

(2)求燈柱的高（用表示）；

(3)若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，