第三章

圓3.4圓周角和圓心角關(guān)系第1課時(shí)圓周角和圓心角、

弧關(guān)系第1頁1課堂講解圓周角定義

圓周角和圓心角關(guān)系

同弧或等弧所正確圓周角2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升第2頁

在射門游戲中(如圖)，球員射中球門難易程度與他所處位置B對(duì)球門AC張角(∠ABC)相關(guān).當(dāng)球員在B，D，E處射門時(shí)，他所處位置對(duì)球門AC分別形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個(gè)角大小有什么關(guān)系？第3頁歸納（來自教材）

觀察圖中∠ABC，∠ADC，∠AEC，能夠發(fā)現(xiàn)，它們頂點(diǎn)都在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn).像這么角，叫做圓周角（angleofcircumference).第4頁1知識(shí)點(diǎn)圓周角定義定義：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)角叫做圓周角．特征：①角頂點(diǎn)在圓上；②角兩邊都與圓相交，這兩個(gè)特征是判定圓周角不可缺乏條件．關(guān)鍵點(diǎn)精析：圓周角概念與圓心角概念類似，它們區(qū)分主要是頂點(diǎn)位置不一樣，圓心角因?yàn)轫旤c(diǎn)在圓心，所以角兩邊必與圓相交，所以圓心角概念中無需說明這一點(diǎn)．知1－講第5頁如圖，以下各角是圓周角是(

)A．∠AOD

B．∠AOC

C．∠BAD

D．∠BOD知1－講（來自《點(diǎn)撥》）可依據(jù)圓周角定義進(jìn)行判斷，顯然∠AOD，∠AOC，∠BOD均是圓心角，只有∠BAD符合圓周角兩個(gè)特征．導(dǎo)引：

例1C第6頁總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）

判斷一個(gè)角是否為圓周角，關(guān)鍵是看這個(gè)角是否具備圓周角兩個(gè)特征：(1)角頂點(diǎn)在圓上；(2)角兩邊都與圓相交，二者缺一不可．第7頁(中考·柳州)以下四個(gè)圖中，∠x為圓周角是(

)知1－練（來自《典中點(diǎn)》）1第8頁如圖，圖中圓周角共有______個(gè)，其中

所正確圓周角是________，

所正確圓周角是________．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）2第9頁2知識(shí)點(diǎn)圓周角和圓心角關(guān)系知2－導(dǎo)如圖,∠AOB=80°.(1)請(qǐng)你畫出幾個(gè)

所正確圓周角，這幾

個(gè)圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.(2)這些圓周角與圓心角∠AOB大小有什么關(guān)系？你是

怎樣發(fā)覺？與同伴進(jìn)行交流.

在圖中，改變∠AOB度數(shù)，你得到結(jié)論還成立嗎？做一做第10頁歸納知2－導(dǎo)（來自教材）圓周角定理：圓周角度數(shù)等于它所對(duì)弧上圓心角度數(shù)二分之一.第11頁知2－講1.圓周角定理證實(shí)：

已知：如圖,∠C是

所正確圓周角，∠AOB是

所正確圓心角.

求證：∠C=∠AOB

分析：根據(jù)圓周角和圓心位置關(guān)系，分三種情況討論：第12頁知2－講(1)圓心O在∠C一條邊上，如圖(1);(2)圓心O在∠C內(nèi)部，如圖(2);(3)圓心O在∠C外部，如圖(3).

在三種位置關(guān)系中，我們選擇(1)給出證實(shí)，其它情況能夠

轉(zhuǎn)化為(1)情況進(jìn)行證實(shí).(1)圓心O在∠C一條邊上，如圖(1).

∵∠AOB是△AOC外角，∴∠AOB=∠

A+∠C.∵

OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.

請(qǐng)你完成圖(2)和圖(3)兩種情況證實(shí).證實(shí)：第13頁知2－講2.圓周角定理：

圓周角度數(shù)等于它所對(duì)弧上圓心角度數(shù)二分之一．關(guān)鍵點(diǎn)精析：(1)圓周角相對(duì)于圓心位置關(guān)系有三種，所以定理證實(shí)

必須分三種情況(如圖)：①圓心在圓周角一條邊上；②圓心在圓周角內(nèi)部；③圓心在圓周角外部．

(2)注意同一條弧所正確圓周角和圓心角度數(shù)才有這么數(shù)

量關(guān)系．第14頁知2－講如圖，A，B，C，D是同一圓上點(diǎn)，∠1＝68°，∠A＝40°，則∠D＝________．例2由圓周角定理推論1可知∠C＝∠A＝40°，由三角形外角性質(zhì)得∠D＝∠1－∠C＝68°－40°＝28°.導(dǎo)引：28°第15頁總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）

本題應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，利用“同弧所正確圓周角相等”將已知角轉(zhuǎn)化為與要求角在同一個(gè)三角形中角，然后利用三角形外角性質(zhì)求解．第16頁知2－講如圖，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC度數(shù)，并判斷∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之間度數(shù)關(guān)系．例3解題關(guān)鍵是分清同弧所正確圓心角和圓周角，如

所正確圓心角是∠AOC，所正確圓周角是∠ABC，

所正確圓心角是大于平角∠α，所正確圓周角是∠ADC.導(dǎo)引：第17頁知2－講∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝∠AOC＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝∠α＝105°.∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC與∠ADC相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC和∠ADC互補(bǔ)．解：第18頁(·張家界)將量角器按如圖所表示方式放置在三角形紙板上，使頂點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A，B讀數(shù)分別為100°，150°，則∠ACB＝________．知2－練（來自《典中點(diǎn)》）1第19頁知2－練（來自《典中點(diǎn)》）(·紹興)如圖，BD是⊙O直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，

，∠AOB＝60°，則∠BDC度數(shù)是(

)A．60°B．45°C．35°D．30°2第20頁知2－練（來自《典中點(diǎn)》）(·珠海)如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，則∠BOD度數(shù)是(

)A．25°B．30°C．40°D．50°3第21頁知2－練（來自《典中點(diǎn)》）(·海南)如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是

上一點(diǎn)，則∠APB度數(shù)為(

)A．45°B．30°C．75°D．60°4第22頁知3－導(dǎo)3知識(shí)點(diǎn)同弧或等弧所正確圓周角想一想

在如圖射門游戲中，當(dāng)球員在B，D，E處射門時(shí)，所形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證實(shí)你結(jié)論嗎？第23頁歸納知3－導(dǎo)（來自教材）推論

同弧或等弧所正確圓周角相等.第24頁2．圓周角定理推論1：同弧或等弧所正確圓周角相等．關(guān)鍵點(diǎn)精析：圓周角定理推論主要有兩個(gè)作用：一是用來證實(shí)角相等，從而證實(shí)兩個(gè)三角形相同或全等；二是角轉(zhuǎn)換，將一個(gè)圓周角轉(zhuǎn)換為同弧所正確其它圓周角；從而到達(dá)題目中要求．（來自《點(diǎn)撥》）知3－講第25頁（來自《點(diǎn)撥》）知3－講拓展：在同圓或等圓中，在圓心角、圓周角、弦、弧這四組量中，假如其中一組量相等，那么其余三組量也分別相等．注意：其中“等弦對(duì)等圓周角”，必須是弦同側(cè)圓周角．第26頁〈廣州〉如圖，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2cm.(1)求∠BAC度數(shù)；(2)求⊙O周長(zhǎng)．（來自《點(diǎn)撥》）知3－講例4(1)觀察圖形發(fā)覺∠BAC與∠BDC為同弧所正確圓周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；(2)要求圓周長(zhǎng)，需先求出半徑，可利用垂徑定理，即連接OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E，結(jié)構(gòu)直角三角形求出半徑．導(dǎo)引：第27頁（來自《點(diǎn)撥》）知3－講解：(1)在⊙O中，∠BDC與∠BAC均為

所正確圓周角，∴∠BAC＝∠BDC＝60°.(2)∵∠ACB＝60°，又由(1)知∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形．連接OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E，

如圖所表示．∵OE⊥AC，AC＝2cm，∴AE＝cm.

在Rt△AOE中，∠AOE＝∠ABC＝60°，∴∠OAE＝30°.∴OE＝

OA.

又∵OE2＋AE2＝OA2，∴OA＝2cm.∴⊙O周長(zhǎng)為2π×2＝4π(cm)．第28頁總

結(jié)知3－講（來自《點(diǎn)撥》）

同一條弧所正確圓周角有沒有數(shù)個(gè)，它們都相等，這里尤其要注意不要誤認(rèn)為“同弦所正確圓周角”相等,因?yàn)橐粭l弦(非直徑)所正確圓周角大小有兩種．第29頁知3－練（來自<典中點(diǎn)>）(·自貢)如圖，在⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，則∠B度數(shù)是(

)A．15°B．25°

C．30°

D．75°1第30頁知3－練（來自《典中點(diǎn)》）(·達(dá)州)如圖，半徑為3⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為(

)A.B．

C.D.2第31頁知3－練（來自《典中點(diǎn)》）(·莆田)如圖，在⊙O中，

，∠AOB＝50°，則∠ADC度數(shù)是(

)A．50°